कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 11 – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 10 
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 11 – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 11 –  वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम

सरल बंद आकृतियों के परिमाप और क्षेत्राफल। वृत्त की पारिधि और क्षेत्रफल। वृत्ताकार पथ (अर्थात् एक वलय) का क्षेत्रफल। वृत्त का त्रिज्यखंड और उसका केंद्रीय कोण-दीर्घ और लघु त्रिज्यखंड। वृत्तखंड-दीर्घ और लघु वृत्तखंड।

(B) बहुविकल्पीय प्रश्न

दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो उसका परिमाप है

• (A) 11 cm
• (B) 22 cm
• (C) 44 cm
• (D) 55 cm

उत्तर : (C)

प्रश्नावली 11.1

दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

1. यदि R₁ और R₂ वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग त्रिज्या R वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो

3. यदि एक वृत्त की परिधि और एक वर्ग का परिमाप बराबर है, तो

• (A) वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
• (B) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
• (C) वृत्त का क्षेत्रफल < वर्ग का क्षेत्रफल
• (D) वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों के बीच के संबंध् में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता।

5. यदि एक वृत्त का परिमाप एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

• (A) 22 : 7
• (B) 14 : 11
• (C) 7 : 22
• (D) 11: 14

6.किसी स्थान पर 16 m और 12 m व्यास वाले दो वृत्ताकार पार्को के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल का एक अकेला वृत्ताकार पार्क बनाने का प्रस्ताव है। नये पार्क की त्रिज्या होगी

• (A) 10 m
• (B) 15 m
• (C) 20 m
• (D) 24 m

7. भुजा 6 cm वाले एक वर्ग के अंतर्गत खीचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रफल है

• (A) 36 π cm²
• (B) 18 π cm²
• (C) 12 π cm²
• (D) 9 π cm²

8. त्रिज्या 8 cm वाले एक वृत्त के अंतर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल है

• A) 256 cm²
• (B) 128 cm²
• (C) 64√2 cm²
• (D) 64 cm²

9. व्यासों 36 cm और 20 cm वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले एक वृत्त की त्रिज्या है

• (A) 56 cm
• (B) 42 cm
• (C) 28 cm
• (D) 16 cm

10. त्रिज्याओं 24 cm और 7 cm वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का व्यास है

• (A) 31 cm
• (B) 25 cm
• (C) 62 cm
• (D) 50 cm

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : क्या निम्नलिखित कथन सत्य है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल

उत्तर : कथन सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखंड के लिए ही सत्य है। दीर्घ वृत्तखंड के क्षेत्रफल के लिए संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में त्रिभुज का क्षेत्रफल जोड़ना पड़ेगा।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 11.2 में, भुजा 5 cm वाले एक वर्ग के अंतर्गत एक वृत्त खींचा गया है तथा इस वर्ग के परिगत एक अन्य वृत्त खींचा गया है। क्या यह सत्य है कि बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल आंतरिक वृत्त के क्षेत्रफल का दुगुना है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

प्रश्नावली 11.2

1 . क्या भुजा a cm वाले वर्ग वेफ अंतर्गत खींचे गये वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm² होता है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

2. क्या यह कहना सत्य होगा कि त्रिज्या a cm वाले एक वृत्त के परिगत वर्ग का परिमाप 8 cm है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।

3. आकृति 11.3 में, व्यास क वाले एक वृत्त के अंतर्गत एक वर्ग खींचा गया है तथा एक अन्य वर्ग इसी वृत्त के परिगत है। क्या बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल आंतरिक वर्ग वेफ क्षेत्रफल का चार गुना है? उपने उत्तर का कारण दीजिए।

4. क्या यह कहना सत्य है कि एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखंड वेफ क्षेत्रफल से कम होता है? क्यों?

5. क्या यह कहना सत्य है कि व्यास d cm वाले एक वृत्ताकार पहिए द्वारा एक परिभ्रमण में चली गयी दूरी 2 π d cm होती है? क्यों?

7. एक वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान से अधिक होता है। क्या यह कथन सत्य है? क्यों?

8. यदि त्रिज्या r वाले एक वृत्त के एक चाप की लंबाई त्रिज्या 2 r वाले एक वृत्त के चाप की लंबाई के बराबर हो, तो पहले वृत्त के संगत त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना होता है? क्या यह कथन असत्य है? क्यों?

9. दो भिन्न वृत्तों के बराबर लंबाइयों वाले चापों के संगत त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। क्या यह कथन सत्य है? क्यों?

10. दो भिन्न वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों वेफ क्षेत्रफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन त्रिज्यखंडों के संगत चापों की लंबाइयाँ बराबर होंगी? क्यों?

11. क्या लंबाई a cm और चैड़ाई b cm (a > b) वाले एक आयत के अंदर खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm² है? क्यों?

12. दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों के क्षेत्रफल भी बराबर हों? क्यों?

13. दो वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि इन वृत्तों की परिधियाँ भी बराबर हों? क्यों?

14. क्या यह कहना सत्य है कि व्यास p cm वाले एक वृत्त के अंतर्गत वर्ग का क्षेत्रफल p² cm² है? क्यों?

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : उस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रापफल 20 cm और 48 cm व्यास वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

प्रश्नावली 11.3

1 . वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि त्रिज्याओं 15 cm और 18 cm वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।

2. आकृति 11.5 में, विकर्ण 8 cm वाला एक वर्ग एक वृत्त के अंतर्गत है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

3. त्रिज्या 28 cm वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केंद्रीय कोण 45° है।

4. एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 cm है। 66 km/h की चाल रखने के लिए, पहिये को प्रति मिनट कितने चक्कर लगाने चाहिए?

5. विमाओं 20m × 16m वाले एक आयताकार खेत के कोने पर एक गाय 14m लंबी रस्सी से बँधी हुई है। खेत का वह क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें गाय चर सकती है।

6. आकृति 11.6 में दर्शायी गयी फूलों की क्यारी (अर्धवृत्ताकार सिरों वाली) का क्षेत्रापफल ज्ञात कीजिए।

7. आकृति 11.7 में, AB वृत्त का व्यास है, AC = 6 cm और BC = 8 cm है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।

8. आकृति 11.8 में दर्शाये गये छायांकित खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

9. आकृति 11.9 में, छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त के लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिज्यखंड का कोण 60° है।

11. आकृति 11.10 में, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ A, B, C और D को केंद्र मान कर खींचे गये चाप युग्म में वर्ग ABCD की क्रमशः AB, BC, CD और DA भुजाओं वेफ मध्य-¯बदुओं P, Q, R और S पर प्रतिच्छेद करते हैं (π = 3.14 का प्रयोग कीजिएद)

12. आकृति 11.11 में, 10 cm भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षां A, B और C को केंद्र लेकर चाप खींचे गये हैं, जो परस्पर क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बदुओं D, E और F पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।

13. आकृति 11.12 मेंए 14 cm की त्रिज्याएँ लेकर तथा P, Q और R को केंद्र मान कर चाप खींचे गये हैं। छायांकित क्षेत्रा का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

14. एक वृत्ताकार पार्क के अनुदिश बाहर की ओर 21m चैड़ी एक सड़क है। यदि पार्क की त्रिज्या 105 m है, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

15. आकृति 11.13 में, चतुर्भुज ABCD के A, B, C और D शीर्षां को केंद्र मानकर और 21 cm की त्रिज्या लेकर चाप खींचे गये हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

16. एक 20 cm लंबे तार के टुकड़े को मोड़कर एक वृत्त का चाप बनाया गया है, जो इस वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : व्यास 20 cm वाले वृत्त की एक जीवा उसके केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। इस वृत्त के संगत दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।

प्रश्नावली 11.4

1 . किसी वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m² है। इस मैदान पर 50 रु प्रति मीटर की दर से बाड़ लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।

2. किसी ट्रैक्टर के अगले और पिछले पहियों के व्यास क्रमशः 80 cm और 2 m हैं। ज्ञात कीजिए कि पिछले पहिए द्वारा उतनी दूरी तय करने में कितने चक्क्र लगाने होंगे, जितनी दूरी अगला पहिया 1400 चक्कर लगाने पर तय करता है।

3. एक त्रिभुजाकार खेत की भुजाएँ 15 m, 16 m और 17 m हैं। इस खेत में चरने के लिए, इसके तीनों कोनों से एक गाय, एक भैंस और एक घोड़े को अलग- अलग 7 m लंबी रस्सियों से बाँध दिया गया है। खेत के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें ये तीनों पशु चार नहीं पाएंगे।

4. त्रिज्या 12 cm वाले वृत्त के उस वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके संगत त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 60° है (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

5. एक वृत्ताकार तालाब का व्यास 17.5 m है। इसके अनुदिश बाहर की ओर 2 m चैड़ा एक पथ बना हुआ है। 25 रु प्रति वर्ग मीटर की दर से इस पथ के निर्माण की लागत ज्ञात कीजिए।

6. आकृति 11.17 में, ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm तथा AB और DC के बीच की दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C और D को केंद्र मानकर त्रिज्याओं 7 cm के चाप खींचे गये हैं, तो इस आकृति के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

7. बराबर त्रिज्या 3.5 cm वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गये हैं कि इनमें से प्रत्येक अन्य दो वृत्तों को स्पर्श करता है। इन वृत्तों से परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

8. त्रिज्या 5 cm वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लंबाई 3.5 cm है।

9. बराबर त्रिज्या 7 cm त्रिज्या वाले चार वृत्ताकार गत्ते के टुकड़ों को एक कागज पर इस प्रकार रखा गया है कि प्रत्येक टुकड़ा अन्य दो टुकड़ों को स्पर्श करता है। इन टुकड़ों के बीच में परिबद्ध भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

10. 784 cm² क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार गत्ते की शीट पर, अधिकतम माप की चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक वृत्ताकार प्लेट अन्य दो प्लेटों को स्पर्श करती है तथा वर्गाकार शीट की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों को स्पर्श करती है। वर्गाकार शीट के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो वृत्ताकार प्लेटों द्वारा ढका नहीं गया है।

11. किसी कमरे के फर्श की विमाएँ 5 m × 4 m हैं और इस पर वृत्ताकार टाइलें लगायी जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक का व्यास 50 cm है, जैसा कि आकृति 11.18 में दर्शाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर टाइल नहीं लगी हैं (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

12. एक समचतुर्भुज के सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त का क्षेत्रफल 1256 cm² है (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।

13. किसी धनुर्विद्या (या तीरंदाजी) लक्ष्य के तीन क्षेत्र हैं, जो आकृति 11.19 में दर्शाए अनुसार तीन संकेंद्रीय वृत्तों से बने हैं। यदि इन संकेंद्रीय वृत्तों के व्यास 1 रू 2 रू 3 के अनुपात में हैं, तो इन तीनों क्षेत्रों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

14. एक घड़ी की मिनट वाली सुई की लंबाई 5 cm है। प्रातः 6 : 05 बजे से प्रातः 6 : 40 बजे तक के समय काल में इस सुई द्वारा तय किये गये (या घूमे गये) क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

15. किसी वृत्त के 200° केंद्रीय कोण वाले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 770 cm² है। इस त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।

16. त्रिज्याओं 7 cm और 21 cm वाले दो वृत्तों के दो त्रिज्यखंडों के केंद्रीय कोण क्रमशः 120° और 40° हैं। इन दोनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल तथा साथ ही संगत चापों की लंबाई ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं?

17. आकृति 11.20 में, दिये छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

18. 176 m की दूरी तय करने (घूमने) में, 1.54 m² क्षेत्रफल वाले एक वृत्ताकार पहिये द्वारा लगाये जाने वाले चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए।

19. वृत्त की उस जीवा द्वारा निर्मित दोनों वृत्तखंडों के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए, जिसकी लंबाई 5 cm है और जो केंद्र पर 90° का कोण अंतरित करती है।

20. त्रिज्या 21 cm वाले एक वृत्त के 120° कोण वाले त्रिज्यखंड और उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों का अंतर ज्ञात कीजिए।

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

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