गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रचनाएँ यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ रचनाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 10 – रचनाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 10
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 10 – रचनाएँ
कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रचनाएँ
कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 10- रचनाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम
- एक रेखाखंड का आंतरिक रूप से एक दिये हुए अनुपात में विभाजन।
- एक दिये हुए त्रिभुज के समरूप एक दिये हुए स्वेफल गुणक के अनुसार त्रिभुज की रचना करना, जहाँ स्वेफल गुणक 1 से छोटा हो सकता है या 1 से बड़ा भी हो सकता है।
- किसी बाहरी ¯बदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं के एक युग्म की रचना करना।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक रेखाखंड AB को p : q के अनुपात में विभाजित करने के लिए (यहाँ p और q धनात्मक पूर्णांक हैं) एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो।फिर किरण AX पर समान दूरियों पर इतने बिंदु अंकित कीजिए कि इन बिंदुओं की न्यूनतम संख्या हो।
- (A) p और q में से बड़ी
- (B) p + q
- (C) p + q – 1
- (D) pq
उत्तर : (B)
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनवेफ बीच का कोण 35° हो, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए, जिनके बीच का कोण हो
- (A) 105°
- (B) 70°
- (C) 140°
- (D) 145°
उत्तर : (D)
प्रश्नावली 10.1
दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :
- एक रेखाखंड AB को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX खींचिये, ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो और फिर किरण AX पर सामान दूरियों पर बिंदु अंकित किये जाये ताकि इनकी न्यूनतम संख्या हो।
- (A) 8
- (B) 10
- (C) 11
- (D) 12
- एक रेखाखंड AB को 4:7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण ।AX इस प्रकार खींची जाती है कि ∠BAX एक न्यून कोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिंदु A₁, A₂, A₃…..अंकित किये जाते हैं और बिंदु B को निम्नलिखित से मिलाया जाता है।
- (A) A₁₂
- (B) A₁₁
- (C) A₁₀
- (D) A₉
- एक रेखाखंड AB को 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो, फिर किरण BY किरण AX के समांतर विपरीत दिशा में खींचिए। इसके बाद AX और BY किरणों पर क्रमशः समान दूरियों पर बिंदु A₁, A₂, A₃…. और B₁,,B₂,,B₃ अंकित किये जाएँ। फिर जिन बिंदुओं को मिलाया जाता है वे है
- (A) A₅ और B₆
- (B) A₆ और B₅
- (C) A₄ और B₅
- (D) A₅ और B₄
- एक दिये हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 3/7 हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर बिंदु B₁,,B₂,,B₃ अंकित कीजिए तथा उसके बाद अगला चरण मिलाने का है
- (A) B₁₀ को C से
- (B) B₃ को C से
- (C) B₇ को C से
- (D) B₄ को C से
- एक दिये हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 8/5 हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर अंकित किये जाने वाले बिंदुओं की न्यूनतम संख्या है।
- (A) 5
- (B) 8
- (C) 13
- (D) 3
- किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 60° हों, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए जिनके बीच का कोण हो।
- (A) 135°
- (B) 90°
- (C) 60°
- (D) 120°
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का कारण दीजिए।
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : ज्यामितीय रचना से, एक दिये हुए रेखाखंड का 2 + √3:2 – √3 के अनुपात में विभाजित करना संभव है।
उत्तर : असत्य। क्योंकि 2 + √3:2 – √3 को सरल करने पर 7 + 4 √3:1 प्राप्त होता है। यहां 7 + 4 √3 का धनात्मक पूर्णाक नहीं है, जबकि 1 है।
प्रश्नावली 10.2
निम्नलिखित में से प्रत्येक में, सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का कारण दीजिए:
- ज्यामितीय रचना से, एक दिये हुए रेखाखंड को √3 : 1/ √3 के अनुपात में विभाजित किया जा सकता है।
- एक दिये हुए त्रिभुज के समरूप एक ऐसे त्रिभुज की रचना करने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 7/3 हों, BC से एक न्यून कोण बनाती हुई एक किरण BX खींचिए, ताकि X भुजा BC के सापेक्ष । A के विपरीत ओर स्थित हो। BX पर समान दूरियों पर बिंदु B₁, B₂, B₇ अंकित कीजिए, B₃ को C से मिलाइए और फिर B₃C के समांतर एक रेखाखंड B₆C’ खींचा जाता है, जबकि बिंदु C’ बढ़ाई गयी भुजा BC पर स्थित है। अंत में, AC के समांतर रेखाखंड A’C’ खींचा जाता है।
- त्रिज्या 3.5 cm वाले वृत्त के केंद्र से 3 cm की दूरी पर स्थित एक बिंदु P से उस वृत्त की स्पर्श रेखाओं के एक युग्म की रचना की जा सकती है।
- किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं के एक ऐसे युग्म की रचना की जा सकती है कि जिनके बीच का कोण 170° हो।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक समबाहु त्रिभुज ABC खींचिए जिसकी प्रत्येक भुजा 4 cm हो। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्वेफल गुणक 3/5 हो । क्या नया त्रिभुज भी एक समबाहु त्रिभुज है?
उत्तर : कक्षा X की गणित की पाठ्यपुस्तक में दिये हुए चरणों का अनुसरण कीजिए। हाँ, नया त्रिभुज भी समबाहु है।
प्रश्नावली 10.3
- लंबाई 7 cm का एक रेखाखंड खींचिए। इस पर स्थित एक बिंदु P ज्ञात कीजिए जो इस रेखाखंड को 3:5 के अनुपात में विभाजित करे।
- एक समकोण त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें BC = 12 cm, AB = 5 cm और ∠B = 90° है। इस त्रिभुज के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक 2/3 हो। क्या नया त्रिभुज भी एक समकोण त्रिभुज है?
- एक त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें BC = 6 cm, CA = 5 cm और AB = 4 cm है। इस त्रिभुज के समरूप और स्वेफल गुणक 5/3 के एक त्रिभुज की रचना कीजिए।
- एक 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर उस बिंदु से एक स्पर्श रेखा खींचिए, जो इस वृत्त के केंद्र से 6 cm की दूरी पर है।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक समचतुर्भुज ABCD दिया है, जिसमें AB = 4 cm और ∠ABC = 60° है। इसे दो त्रिभुजों ABC और ADC में विभाजित कीजिए। मान लीजिए, ∆ABC के समरूप एक त्रिभुज AB’C’ की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक 2/3 हो। एक रेखाखंड C’D’ की रचना कीजिए, जो CD के समांतर हो, जहाँ D भुजा AD पर स्थित है। क्या AB’C’D’ भी एक समचतुर्भुज है? कारण दीजिए।
उत्तर : पहले एक समचतुर्भुज ABCD खींचिए, जिसमें AB = 4 cm और ∠ABC = 60° हो, जैसा आकृति 10.1 में दर्शाया गया है। AC को मिलाइए। त्रिभुज ABC के समरूप स्केल गुणक 2/3 वाले एक त्रिभुज AB’C’ की रचना कीजिए, जैसा कि कक्षा X की गणित की पाठ्यपुस्तक में वर्णित है। (देखिए आकृति 10.1) । अंत में C’D’ भुजा CD के समांतर खींचिए।
अब AB’/AB =2/3 =A ‘C ‘/ AC
साथ ही, AC’/AC = C D’/CD = AD’/ AD = 2/3
अत: AB’ = B’C’ = C’D’ = AD’ = 2/3 AB
अर्थात AB’C’D’ एक समचतुर्भुज है।
प्रश्नावली 10.4
- दो रेखाखंडों AB और AC के बीच का कोण 60° है, जहाँ AB = 5 cm और AC = 7 cm है। AB और AC पर क्रमशः बिंदु P और Q इस प्रकार निर्धरित कीजिए कि AP = 3/4 AB और AQ = 1 /4 AC हो। P और Q को मिलाइए तथा PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
- एक समांतर चतुर्भुज ABCD खींचिए, जिसमें BC = 5 cm, AB = 3 cm और ∠ABC = 60° है। विकर्ण BD द्वारा इसे दो त्रिभुजों BCD और ABD में विभाजित कीजिए। ∆BDC के समरूप स्वेफल गुणक 4/3 के एक त्रिभुज BD’ C’ की रचना कीजिए। DA के समांतर D’A’ खींचिए, जहाँ A बढ़ाई गयी भुजा BA स्थित है। क्या A’BC’D’ भी एक समांतर चतुर्भुज है?
- त्रिज्याओं 3 cm और 5 cm वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए। बाहरी वृत्त पर एक बिंदु लेकर उससे दूसरे वृत्त की स्पर्श रेखाओं के युग्म की रचना कीजिए। एक स्पर्श रेखा की लंबाई मापिये तथा वास्तविक परिकलन से इसका सत्यापन कीजिए।
- एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें AB = AC = 6 cm और BC = 5 cm है। ∆ ABC के समरूप, एक त्रिभुज PQR की रचना कीजिए, जिसमें PQ = 8 cm हो। अपनी रचना का औचित्य भी दीजिए।
- एक त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें AB = 5 cm, BC = 6 cm और ∠ABC = 60º है। ∆ ABC के समरूप, स्केल गुणक 5/7 के एक त्रिभुज की रचना कीजिए। रचना का औचित्य दीजिए।
- त्रिज्या 4 cm का एक वृत्त खींचिए। इस पर स्पर्श रेखाओं के एक ऐसे युग्म की रचना कीजिए कि इनके बीच का कोण 60º हो। रचना का औचित्य भी दीजिए। वृत्त के केंद्र और स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के बीच की दूरी को मापिये।
- एक त्रिभुज ABC खींचिए, जिसमें AB = 4 cm, BC = 6 cm और AC = 9 cm है। इस ∆ABC के समरूप, स्वेफल गुणक 3/2 के एक त्रिभुज की रचना कीजिए। रचना का औचित्य दीजिए क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हैं? ध्यान दीजिए कि यहाँ दोनों त्रिभुजों में तीनों कोण और दो भुजाएँ बराबर हैं।
कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रचनाएँ
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कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर
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