कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 3 – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 10 
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 3 – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म

कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 3- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म  के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम

• एक ही (या समान) दो चरों वाले रैखिक समीकरण दो चरों वाले समीकरणों का एक युग्म बनाते हैं।
• रैखिक समीकरणों के एक युग्म का व्यापक रूप है :

a₁ x + b₁y + c₁ = 0

a₂ x + b₂ y + c₂ = 0,

जहां a₁ , a₂ , b₁ , b₂ , c₁ , c₂ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि …

• यदि रैखिक समीकरणों का एक युग्म संगत (या अविरोधी) होता है तो इसका या अद्वितीय हल हो या अपरिमित रूप से अनेक हल हों। अपरिमित रूप से अनेक हलों की स्थिति में, रैखिक समीकरणों का यह युग्म आश्रित कहलाता है। इस प्रकार, इस स्थिति में, रैखिक समीकरणों का युग्म आश्रित और संगत होता है।
• रैखिक समीकरण का युग्म असंगत (या अविरोधी) होता है, यदि उसका कोई हल नहीं हो।
• मान लीजिए कि a₁ x + b₁ y + c₁ = 0 और a₂ x + b₂ y + c₂ = दो चरों वाली रैखिक समीकरणों का एक युग्म है।

1. यदि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ है, तो
   1. रैखिक समीकरणों का युग्म संगत होता है ;
   2. युग्म का आलेख एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक युग्म होता है तथा यही प्रतिच्छेद बिंदु समीकरणों के युग्म का हल प्रदान करता है।
2. यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है, तो
   1. रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत (या विरोधी) होता है ;
   2. यहाँ आलेख समांतर रेखाओं का एक युग्म होगा और इसलिए समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं होगा।
3. यदि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ है, तो
   1. रैखिक समीकरणों का युग्म आश्रित और संगत होता है ;
   2. यहाँ आलेख संपाती रेखाओं का एक युग्म होगा। इन रेखाओं पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक हल होगा। इसलिए, समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।

• रैखिक समीकरण के एक युग्म को बीजीय रूप से निम्नलिखित विधियों में से किसी एक विधि हल किया जा सकता हैः
  1. प्रतिस्थापना विधि
  2. विलोपन विधि
  3. वज्र – गुणन विधि
• रैखिक समीकरणों के युग्म को ज्यामितीय/आलेखीय विधि द्वारा भी हल किया जा सकता है।

(B) बहु विकल्पीय प्रश्न

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : समीकरण 5x – 15y = 8 और 3x – 9y = 24/5 के युग्म का / के

• (A) एक हल है
• (B) दो हल है
• (C) अपरिमित रूप से अनेक हल है
• (D) कोई हल नहीं है

उत्तर : (C)

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : दो अंको की एक संख्या के अंको का योग 9 है। यदि इसमें 27 जोड़ें, तो इस संख्या के अंक पलट जाते हैं। वह संख्या है

• (A) 25
• (B) 72
• (C) 63
• (D) 36

प्रश्नावली 3.1

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

1. आलेखीय रूप से, (6x – 3y + 10 = 0 ) (2x – y + 9 = 0)
   • समीकरणों का युग्म दो रेखाएँ निरूपित करता है, जा
     • (A) ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
     • (B) ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।
     • (C) संपाती है।
     • (D) समांतर हैं।
2. समीकरण x + 2y + 5 = 0 और –3x – 6y + 1 = 0 के युग्म
   • (A) का एक अद्वितीय हल है
   • (B) के ठीक दो हल हैं
   • (C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
   • (D) का कोई हल नहीं है
3. यदि रैखिक समीकरणों का कोई युग्म संगत है, तो इसवेफ आलेख की रेखाएँ होंगी
   • (A) समांतर
   • (B) सदैव संपाती
   • (C) प्रतिच्छेदी या संपाती
   • (D) सदैव प्रतिच्छेदी
4. समीकरण y = 0 और y = –7 के युग्म
   • (A) का एक हल है
   • (B) के दो हल हैं
   • (C) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
   • (D) का कोई हल नहीं है
5. समीकरण x = a और y = b का युग्म आलेखीय रूप से वे रेखाएं निरूपित करता है, जो
   • (A) समांतर हैं
   • (B) (b, a) पर प्रतिच्छेद करती हैं
   • (C) संपाती हैं
   • (D) (a, b) पर प्रतिच्छेद करती हैं
6. k के किन मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = –16 संपाती रेखाएं निरूपित करते हैं ?
   • (A) 1/2
   • (B) – 1 /2
   • (C) 2
   • (D) –2
7. यदि 3x + 2ky = 2 और 2x + 5y + 1 = 0 द्वारा दी जाने वाली रेखाएं परस्पर समांतर हैं, तो k का मान है
   • A) –5/4
   • (B) 2/5
   • (C) 15/4
   • (D) 3/2
8. . c का वह मान, जिसके लिए समीकरणों cx – y = 2 और 6x – 2y = 3 के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, है
   • (A) 3
   • (B) – 3
   • (C) –12
   • (D) कोई मान नहीं
9. आश्रित रैखिक समीकरणों के युग्म का एक समीकरण –5x + 7y = 2 है। दूसरा समीकरण हो सकता है
   • (A) 10x + 14y + 4 = 0
   • (B) –10x – 14y + 4 = 0
   • (C) –10x + 14y + 4 = 0
   • (D) 10x – 14y = –4
10. एक अद्वितीय हल x = 2, y = –3 वाले समीकरण का एक युग्म है
    • (A) x + y = –1
      2x – 3y = –5
    • (B) 2x + 5y = –11
      4x + 10y = –22
    • (C) 2x – y = 1
      3x + 2y = 0
    • (D) x – 4y –14 = 0
      5x – y – 13 = 0
11. यदि x = a और y = b समीकरणों x – y = 2 और x + y = 4, का हल है, तो a और b के मान क्रमशः हैं
    • (A) 3 और 5
    • (B) 5 और 3
    • (C) 3 और 1
    • (D) –1 और –3
12. अरुणा के पास केवल 1 रु और 2 रु के सिक्के हैं। यदि उसके पास कुल 50 सिक्के हैं तथा कुल धनराशि 75 रु है, तो 1 रु और 2 रु के सिक्कों की संख्याएँ क्रमशः हैं
    • (A) 35 और 15
    • (B) 35 और 20
    • (C) 15 और 35
    • (D) 25 और 25
13. पिता की आयु पुत्रा की आयु की 6 गुनी है। चार वर्ष के बाद, पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पुत्र और पिता की वर्तमान आयु (वर्षों में) क्रमशः हैं
    • (A) 4 और 24
    • (B) 5 और 30
    • (C) 6 और 36
    • (D) 3 और 24

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : क्या यह कहना सत्य है कि समीकरणों – x + 2y + 2 = 0 और 1/2 x – 1/4 y – 1 =0 के युग्म का एक अद्वितीय हल है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

उत्तर : हां।

यहाँ, a₁/a₂ = -1/ ½ = -2 है, b₁/b₂ = 2 / -¼ = -8 है।

चूँकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ है, इसलिए समीकरणों के इस युग्म का एक अद्वितीय हल है।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : क्या समीकरणों 4x + 3y – 1 = 5 और 12x + 9y = 15 संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिये।

उत्तर : नहीं

हम समीकरणों को पुन: निम्नलिखित रूप से लिख सकते हैं :

4x + 3y = 6

12x + 9y = 15

यहाँ, a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = 1/3 और c₁/c₂ = 2/5 है।

चूँकि a₁/a₂ =b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ , इसलिए दी हुई समीकरण संपाती रेखाओं का युग्म निरूपित नहीं करती हैं।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : क्या समीकरणों x + 2y – 3 = 0 और 6y + 3x – 9 = 0 का युग्म संगत है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिये।

उत्तर : हाँ। समीकरणों में, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x + 2y – 3 = 0
3x + 6y – 9 = 0

यहाँ, a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = 1/3 और c₁/c₂ = 1/3 है। क्योंकि a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ है, इसलिए समीकरणों का युग्म संगत है।

प्रश्नावली 3.2

1. क्या समीकरणों के निम्नलिखित युग्म का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
   1. 2x + 4y = 3
      12y + 6x = 6
   2. x = 2y
      y = 2x
   3. 3x + y – 3 = 0
      2x +2/3 y = 2
2. क्या निम्नलिखित समीकरण संपाती रेखाओं का एक युग्म निरूपित करती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
   1. 3x + 1/7 y = 3
      7x + 3y = 7
   2. –2x – 3y = 1
      6y + 4x = – 2
   3. x/2 + y + 2/5 = 0
      4x + 8y + 5/16 = 0
3. क्या रैखिक समीकरणों के निम्नलिखित युग्म संगत हैं? अपने उत्तरों का औचित्य दीजिए।
   1. –3x– 4y = 12
      4y + 3x = 12
   2. 3/5 x – y = 1/2
      1/5 x – y = 1/2
   3. 2ax + by = a
      4ax + 2by – 2a = 0 ; a, b ≠ 0
   4. x + 3y = 11
      2 (2x + 6y) = 22
4. समीकरण
   λx + 3y = –7
   2x + 6y = 14
   के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए, λ का मान 1 होना चाहिए। क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
5. c के सभी वास्तविक मानों के लिए, समीकरण-युग्म
   x – 2y = 8
   5x – 10y = c
   का एक अद्वितीय हल है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य।
6. x = 7 द्वारा निरूपित रेखा x– अक्ष के समांतर है। औचित्य के साथ उत्तर दीजिए कि यह सत्य है या असत्य।

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : p और q के किन मानों के लिए समीकरण-युग्म
4x + 5y = 2
(2p + 7q) x + (p + 8q) y = 2q – p + 1
के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?

उत्तर : यहाँ a₁/a₂ = 4/2p + 7q
b₁/b₂ = 5/p + 8q
और c₁/c₂ = 2/2q – p + 1

किसी समीकरण-युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए,

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ होता है।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : निम्नलिखित समीकरण-युग्म को हल कीजिए:

21x + 47y = 110
47x + 21y = 162

उत्तर : हमें प्राप्त है :

21x + 47y = 110 …(1)
47x + 21y = 162 …(2)

समीकरण (1) को 47 से और समीकरण (2) को 21 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है :

987x + 2209 y = 5170 …(3)
987x + 441y = 3402 …(4)

समीकरण (3) में से समीकरण (4) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :

1768y = 1768
या y = 1

समीकरण (1) में y का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है :

21x + 47 = 110
या 21x = 63
या x = 3
अत:, x = 3, y = 1

वैकल्पिक हलः हमें प्राप्त हैः

21x + 47y = 110 …(1)
47x + 21y = 162 …(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है :

68x + 68y = 272
या x + y = 4 …(5)

समीकरण (1) को समीकरण (2) में से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है :

26x – 26y = 52
या x – y = 2 …(6)

समीकरण (5) और (6) को क्रमशः जोड़ने और पर, हमें प्राप्त होता है :

x = 3, y = 1

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : समीकरण x – y + 2 = 0 और 4x – y – 4 = 0 के युग्म का आलेख खींचिए इस प्रकार खींची गयी रेखाओं और x- अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

उत्तर : दिए हुए समीकरणों का आलेख खींचने के लिए, हम इन समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल ज्ञात करते हैं, जो सारणी 3.1 में दिए गए है :

शीर्षलंब = RM = R की कोटि = 4 इकाई

अत: त्रिभुज BQR का क्षेत्रफल = 1/2 ×3 × 4 =6 वर्ग इकाई

प्रश्नावली 3.3

1. λ के किस (किन) मान (मानों) के लिए रैखिक समीकरण-युग्म
   λx + y = λ2
   x + λy = 1
   1. का कोई हल नहीं होगा है ?
   2. के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे ?
   3. का एक अद्वितीय हल होगा ?
2. k के किस (किन) मान (मानों) के लिए, समीकरण – युग्म
   kx + 3y = k – 3
   12x + ky = k
   का कोई हल नहीं होगा ?
3. a और b के किन मानों के लिए, निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे ?
   x + 2y = 1
   (a – b)x + (a + b)y = a + b – 2
4. निम्नलिखित समीकरण – युग्मों (1) से (4) में p और (v) में p तथा q के मान ज्ञात कीजिए :
   1. 3x – y – 5 = 0 और 6x – 2y – p = 0,
      यदि इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं समांतर हैं।
   2. – x + py = 1 और px – y = 1,
      यदि समीकरण -युग्म का कोई हल नहीं है।
   3. – 3x + 5y = 7 और 2px – 3y = 1,
      यदि इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाएं एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
   4. 2x + 3y – 5 = 0 और px – 6y – 8 = 0,
      यदि समीकरण – युग्म का एक अद्वितीय हल है।
   5. 2x + 3y = 7 और 2px + py = 28 – qy,
      यदि समीकरण -युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

5. दो सीधे पथ समीकरणों x – 3y = 2 और –2x + 6y = 5 द्वारा निरूपित हैं। जाँच कीजिये कि ये पथ परस्पर काटते हैं या नहीं।

6. रैखिक समीकरणों का एक ऐसा युग्म लिखिए जिसका एक अद्वितीय हल x = – 1, y =3 हो। आप ऐसे कितने युग्म लिख सकते हैं?

7. यदि 2x + y = 23 और 4x – y = 19 है, तो 5y – 2x और y/x -2 के मान ज्ञात कीजिये।

8. निम्नलिखित आयत (देखिए आकृति 3.2) में x और y के मान ज्ञात कीजिए :

10. समीकरण x/10 + y/5 – 1 = और x/8 + y/8 = 15 के युग्म का हल ज्ञात कीजिये। इसके बाद λ ज्ञात कीजिये, यदि y = λx + 5 है।

11. आलेखीय विधि से ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित समीकरण-युग्म संगत हैं या नहीं। यदि संगत हैं, तो इन्हें हल कीजिए।

(i) 3x + y + 4 = 0
6x – 2y + 4 = 0

(ii) x – 2y = 6
3x – 6y = 0

(iii) x + y = 3
3x + 3y = 9

12. समीकरण 2x + y = 4 और 2x – y = 4 के युग्म का आलेख खींचिए। इन रेखाओं और y अक्ष से बनने वाले त्रिभुज के शीर्ष बिंदुओं के निर्देशांक लिखिए। साथ ही, इस त्रिभुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिये।

13. रैखिक समीकरण x+y = 2 और 2x–y = 1 के युग्म के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से हो कर जाने वाली एक रेखा की समीकरण ज्ञात कीजिये। हम ऐसी कितनी रेखाएं ज्ञात कर सकते हैं ?

14. यदि 2x³ + ax² + 2bx + 1 का एक गुणनखंड x + 1 है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिये, जब कि 2a–3b = 4 दिया हुआ है।

15. किसी त्रिभुज के कोण x, y और 40° हैं। दोनों कोणों x और y का अंतर 30° है। x और y ज्ञात कीजिये।

16. दो वर्ष पहले, सलीम की आयु अपनी पुत्री की आयु तिगुनी थी तथा छः वर्ष बाद उसकी आयु पुत्राी की आयु के दुगुने से चार वर्ष अधिक होगी। उनकी वर्तमान आयु क्या है ?

17. पिता की आयु अपने दोनों बच्चों की आयु वेफ योग की दाुगुनी है। 20 वर्ष बाद, उसकी आयु अपने बच्चों की आयु के योग के बराबर होगी। पिता की आयु ज्ञात कीजिए।

18. दो संख्याएँ 5:6 के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक संख्या में से 8 घटा दिया जाए, तो यह अनुपात 4:5 हो जाता है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

19. दो परीक्षा कक्षों A और B में कुछ विद्यार्थी हैं। दोनों कक्षों में विद्यार्थियों की संख्याएँ बराबर करने के लिए, A से B में 10 विद्यार्थी भेजे जाते हैं। परंतु यदि B से 20 विद्यार्थी A में भेज दिए जाएँ, तो A में विद्यार्थियों की संख्या B के विद्यार्थियों की संख्या की दुगुनी हो जाती है। दोनों कक्षों में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

20. कोई दुकानदार पढ़ने के लिए पुस्तकें किराए पर देता है। वह प्रथम दो दिन के लिए एक निश्चित शुल्क लेता है और उसके बाद प्रत्येक दिन के लिए एक अतिरिक्त शुल्क लेता है। लतिका ने एक पुस्तक छः दिन तक रखने के लिए 22रु दिए, जबकि आनंद ने एक पुस्तक चार दिन तक रखने के लिए 16 रु दिए। निश्चित शुल्क तथा प्रत्येक दिन का अतिरिक्त शुल्क ज्ञात कीजिए।

21. किसी प्रतियोगात्मक परीक्षा में, प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक दिया जाता है, जब कि प्रत्येक गलत उत्तर के लिए 1/2 अंक काट लिया जाता है। जयंती ने 120 प्रश्नों के उत्तर दिए और 90 अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए?

22. एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण हैं :

∠A = (6x + 10)° ∠B = (5x)°
∠C = (x + y)°, और ∠D = (3y – 10)°

x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर चारों कोणों के मान ज्ञात कीजिए।

(E) दीर्ध उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : रेखाओं x = –2 और y = 3 के आलेख खींचिए। इन रेखाओं x- अक्ष और y – अक्ष द्वारा बनी आकृति के शीर्ष लिखिए। इस आकृति का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिये।

उत्तर : हम जानते हैं कि x = –2 का आलेख y- अक्ष के समांतर उसके बाईं ओर 2 इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है। अतः, x = –2 का आलेख रेखा / है (देखिए आवृफति 3.3)। y = 3 का आलेख x- अक्ष के समांतर उसके ऊपर 3 इकाई की दूरी पर स्थित एक रेखा है। अतः, y = 3 का आलेख रेखा m है।

रेखाओं x = –2, y = 3, x अक्ष और y- अक्ष से बनी आकृति OABC है, जो एक आयत है। (क्यों ?)

y- अक्ष पर A वह बिंदु है, जो x- अक्ष के ऊपर 3 इकाई की दुरी पर है। अत : A के निर्देशांक (0, 3) है ;

x- अक्ष पर C वह बिंदु है, जो y- अक्ष के बाई ओर 2 इकाई की दुरी पर है। अत: C के निर्देशांक (–2, 0) हैं ;

समीकरण x = –2 और y = 3 के युग्म का हल B है। अत: B के निर्देशांक (–2, 3) हैं।
अत :, आयत OABC के शीर्ष O (0, 0), A (0, 3), B (–2, 3) और C (–2, 0) हैं।

इस आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 2 इकाई और 3 इकाई हैं। क्योंकि एक आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है, इसलिए आयत OABC का क्षेत्रफल = 2 × 3 = 6 वर्ग इकाई।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : रेखाओं 5x – y = 5, x + 2y = 1 और 6x + y = 17 द्वारा बनने वाले त्रिभुज के शीर्ष बीजीय विधि से निर्धारित कीजिये।

उत्तर : एक त्रिभुज का शीर्ष उस त्रिभुज की दो भुजाओं को बनाने वाली दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ हल होता है। अतः, दी हुई समीकरणों को युग्मों में हल करने पर, त्रिभुज के शीर्ष प्राप्त हो जाएँगे। दी हुई समीकरणों से हमें समीकरणों के निम्नलिखित तीन युग्म प्राप्त होंगे:

5 x – y = 5 और x + 2y = 1
x + 2y = 1 और 6x + y = 17
5x – y = 5 और 6x + y = 17

समीकरण – युग्म

5x – y = 5
x + 2y = 1

को हल करने पर, हमें x = 1, y = 0 प्राप्त होता है। अत:, त्रिभुज का एक शीर्ष (1, 0) है। दूसरे समीकरण -युग्म

x + 2y = 1
6x + y = 17

को हल करने पर, x = 3, y = –1 प्राप्त होता है। अत: त्रिभुज का दूसरा शीर्ष (3, –1) है।

5x – y = 5
6x + y = 17,

को हल करने पर, x = 2, y = 5 प्राप्त होता है। अत: त्रिभुज का तीसरा शीर्ष (2, 5) है।
इस प्रकार, त्रिभुज के शीर्ष (1, 0), (3, –1) और (2, 5) हैं।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : जमीला ने एक मेश और एक वुफर्सी 1050 रु में बेचा, जिससे उसे मेज पर 10% लाभ और कुर्सी पर 25% लाभ हुआ। यदि उसने मेज पर 25% लाभ और कुर्सी पर 10% लाभ लिया होता, तो उसे कुल 1065 रु प्राप्त होते। प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

प्रतिदर्श प्रश्न 4 : दो पाइपों द्वारा एक स्वीमिंग पूल को भरने में 12 घंटे लगते हैं। यदि इनमें से बड़े व्यास वाले पाइप का प्रयोग 4 घंटे करें और छोटे व्यास वाले पाइप का प्रयोग 9 घंटे करें, तो स्वीमिंग पूल केवल आधा ही भरा जा सकता है। प्रत्येक पाइप पृथक-पृथक रूप से स्वीमिंग पूल को कितने समय में भर पाएगा?

उत्तर : मान लीजिए कि बड़े व्यास वाले पाइप को पूल को अवेफले भरने में x घंटे लगते हैं तथा छोटे व्यास वाले पाइप को अकेले भरने में y घंटे लगते हैं। x घंटे में बड़े व्यास वाला पाइप पूल को पूरा भर देता है।

इसलिए, 1/4 घंटे में बड़े व्यास वाला पाइप पूल का 1/x भाग भरेगा और इसलिए 4 घंटे में यह पाइप पल का 4/x भाग भरेगा।

इसी प्रकार, 9 घंटे में व्यास वाला पाइप पल का 9/y भाग भरेगा।

प्रश्न के अनुसार, 4/x + 9/y = 1/2 …(1)

साथ ही, दोनों पाइपों का प्रयोग करने पर पूल 12 घंटे में भर जाता है। अत: 12/x + 12/y = 1 …..…(2)

प्रश्नावली 3.4

1. निम्नलिखित समीकरण-युग्म को आलेखीय रूप से हल कीजिए:
   2x + y = 6
   2x – y + 2 = 0
   उन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए, जो इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाओं द्वारा क्रमशः x- अक्ष और y-अक्ष द्वारा बनाए जाते हैं।

2. रेखाओं y = x, 3y = x और x + y = 8 से बनने वाले त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक आलेखीय विधि से निर्धरित कीजिए।

3. समीकरण x = 3, x = 5 और 2x – y – 4 = 0 के आलेख खींचिए। इन रेखाओं और x- अक्ष द्वारा बनाए गए चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

4. 4 पेन और 4 पेंसिल बाॅक्सों का मूल्य 100 रु है। एक पेन के मूल्य का तीन गुना एक पेंसिल बाॅक्स के मूल्य से 15 रु अधिक है। उपरोक्त स्थिति के लिए, रैखिक समीकरणों का एक युग्म बनाइए। एक पेन और एक पेंसिल बाॅक्स वेफ मूल्य भी ज्ञात कीजिए।

5. रेखाओं
3x – y = 3
2x – 3y = 2
x + 2y + =8
से बनने वाले त्रिभुज वेफ शीर्ष बीजीय विधि से निर्धरित कीजिए।

6. अंकिता अपने घर तक 14 km की दूरी आंशिक रूप से रिक्शा से और आंशिक रूप से बस द्वारा तय करती है। यदि वह 2 km दूरी रिक्शा से तथा शेष दूरी बस से तय करे, तो उसे कुल दूरी चलने में आधा घंटा लगता है। दूसरी ओर, यदि वह 4 km दूरी रिक्शा से और शेष दूरी बस से चले, तो उसे 9 मिनट अधिक लगते हैं। रिक्शा की चाल और बस की चाल ज्ञात कीजिए।

7. एक व्यक्ति शांत जल में 5 km/h की चाल से नाव खेने पर 40 km की दूरी धारा प्रतिकुल जाने में उस समय से तिगुना समय लेता है जितना 40 km की दूरी धारा के अनुकूल जाने में लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

8. एक मोटरबोट धारा के प्रतिकुल 30 km और धारा के अनुकूल 28 km जाने में 7 घंटे का समय लगाती है। वह धरा के प्रतिकुल 21 km जाकर 5 घंटे में वापस आ सकती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

9. दो अंकों की एक संख्या या तो अंकों के योग को 8 से गुणा कर और फिर उसमें से 5 घटा कर प्राप्त होती है या अंकों के अंतर को 16 से गुणा करके और फिर उसमें 3 जोड़ने पर प्राप्त होती है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

10. रेल वेफ एक आधे टिकट के लिए, पूरे किराए का आधा तथा आरक्षण शुल्क उतना ही देना पड़ता है जितना पूरे टिकट के लिए देना होता है। स्टेशन A से स्टेशन B तक के लिए एक प्रथम श्रेणी के आरक्षित टिकट की लागत 2530 रु है। साथ ही, A से B तक के लिए, एक प्रथम श्रेणी टिकट और एक प्रथम श्रेणी आधे टिकट की लागत 3810 रु है। स्टेशन A से स्टेशन B तक का प्रथम श्रेणी का पूरा किराया ज्ञात कीजिए तथा साथ ही एक टिकट पर आरक्षण शुल्क भी ज्ञात कीजिए।

11. एक दुकानदार ने एक साड़ी 8% लाभ पर और एक स्वेटर 10% बट्टे पर बेचा, जिससे उसे 1008 रु की धनराशि प्राप्त हुई। यदि उसने साड़ी 10% लाभ और स्वेटर को 8% बट्टे पर बेचा होता, तो उसे 1028 रु की धनराशि प्राप्त होती। साड़ी का क्रय मूल्य और स्वेटर का सूची मूल्य (बट्टे से पहले का मूल्य) ज्ञात कीजिए।

12. सुषान ने कोई धनराशि दो योजनाओं A और B में निवेशित की, जो क्रमशः 8% और 9% वार्षिक ब्याज देती हैं। उसे कुल वार्षिक ब्याज के रूप में 1860 रु प्राप्त हुए। परंतु यदि उसने इन योजनाओं में निवेशित राशियों को परस्पर बदल लिया होता, तो उसे वार्षिक ब्याज के रूप में 20 रु अधिक प्राप्त होते। उसने प्रत्येक योजना में कितनी राशि निवेशित की?

13. विजय के पास कुछ केले थे और उसने उन्हें दो समूहों (ढेरियों) A एवं B में विभाजित कर लिया। उसने पहले समूह के केलों को 2 रु के 3 केले की दर से बेचा तथा दूसरे समूह के केलों को 1 रु प्रति केले की दर से बेचा और कुल 400 रु प्राप्त किए। यदि उसने पहले समूह के केलों को 1 रु प्रति केले की दर से बेचा होता तथा दूसरे समूह के केलों को 4 रु के 5 केले की दर से बेचा होता, तो उसे कुल 460 रु प्राप्त होते। ज्ञात कीजिए कि उसके पास कुल कितने केले थे।

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – दो चरों वाले रैखिक समीकरणों वेफ युग्म

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कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर