कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ बहुपद के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 2 – बहुपद के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 10 
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 2 – बहुपद

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद

कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 2- बहुपद  के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम

• बहुपद वेफ शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ : किसी बहुपद p(x) के शून्यक परिशु( रूप से उन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं, जहाँ y = p(x) का आलेख x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
• एक बहुपद वेफ शून्यकों और गुणांकों में संबंध् : यदि α और β एक द्विघात बहुपद ax² bx + c के शून्यक हैं, तो α + β = -b / a और αβ= c / a होता है
• यदि α, β और γ किसी त्रिघात बहुपद ax³ + bx² +cx + d के शून्यक है , तो α + β + γ = – b / a, α β + β γ + γ α =c /a = और α β γ = – b / a होता है।
• विभाजन एल्गोरिथ्म कहती है कि एक बहुपद p(x) और एक शून्येतर बहुपद g(x) दिए रहने पर, दो बहुपद q(x) और r(x) ऐसे होते हैं कि p(x) = g(x) q(x) + r(x) हो, जहाँ r(x) = 0 या घात r(x) < घात g(x) है।

(B) बहु विकल्पीय प्रश्न

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि द्विघात बहुपद x2 + 3x + k का एक शून्यक 2 है, तो k का मान है :

• (A) 10
• (B) –10
• (C) 5
• (D) –5

उत्तर : B

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : त्रिघात बहुपद ax³ + bx² cx + d के दो शून्यक 0 दिए हैं। तीसरा शून्यक है :

• (A) -b/a
• (B) b/a
• (C) c/a
• (D) -d/a

उत्तर : (A) संकेत : क्योंकि यदि तीसरा शून्यकα है, तो शून्यकों का योग = α + 0 + 0= -b / a है।

प्रश्नावली 2.1

निम्नलिखित प्रश्नों में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:

1. यदि द्विघात बहुपद (k–1) x2 + k x + 1 के शून्यकों में से एक शून्यक द-3 है, तो k का मान है।
   • (A) 4/3
   • (B) -4/3
   • (C) 2/3
   • (D) -2/3
2. शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है।
   • (A) x² – x + 12
   • (B) x² + x + 12
   • (C) x² /2 – x / 2 – 6
   • (D) 2 x² + 2x -24
3. यदि द्विघात बहुपद x2 + (a + 1) x + b के शून्यक 2 और -3 हैं, तो
   • (A) a = –7, b = –1
   • (B) a = 5, b = –1
   • (C) a = 2, b = – 6
   • (D) a = 0, b = – 6
4. शून्यक -2 और 5 वाले बहुपदों की संख्या है
   • (A) 1
   • (B) 2
   • (C) 3
   • (D) 3 से अधिक
5. त्रिघात बहुपद ax3 + bx2 + cx + d का एक शून्यक 0 दिया हुआ है। अन्य दोनों शून्यकों का गुणनपफल है।
   • (A) – c / a
   • (B) c / a
   • (C) 0
   • (D) – b / a
6. यदि त्रिघात बहुपद का एक शून्यक -1 है। अन्य दोनों शून्यकों का गुणनपफल है।
   • (A) b – a + 1
   • (B) b – a – 1
   • (C) a – b + 1
   • (D) a – b –1
7. द्विघात बहुपद x² +99x + 127 के शून्यक है।
   • (A) दोनों ध्नात्मक
   • (B) दोनों ऋणात्मक
   • (C) एक धनात्मक और एक ऋणात्मक
   • (D) दोनों बराबर
8. द्विघात बहुपद x2 + kx + k, k ≠ 0 के शून्यक
   • (A) दोनों ध्नात्मक नहीं हो सकते
   • (B) दोनों ऋणात्मक नहीं हो सकते
   • (C) सदैव असमान होते है
   • (D) सदैव बराबर होते है
9. यदि द्विघात बहुपद ax2 + bx + c, c ≠ 0 के शून्यक बराबर हैं, तो
   • (A) c और a विपरीत चिन्हों के है
   • (B) c और b विपरीत चिन्हों के है
   • (C) c और a एक ही चिन्ह के है
   • (D) c और b एक ही चिन्ह के है
10. यदि x2 +ax + b के रूप एक द्विघात बहुपद का एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक हो, तो
    • (A) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ऋणात्मक होता है
    • (B) इसमें कोई रैखिक पद नहीं होता तथा अचर पद ध्नात्मक होता है
    • (C) इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद ऋणात्मक होता है
    • (D) इसका रैखिक पद हो सकता है, परंतु अचर पद ध्नात्मक होता है
11. इसका रैखिक पद हो सकता हैए परंतु अचर पद ध्नात्मक होता है।

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : क्या बहुपद p (x) को 2x + 3 से भाग देने पर शेषपफल x – 1 हो सकता है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

उत्तर : नहीं, क्योंकि घात (x – 1) = 1 = घात (2x + 3)

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : क्या निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। यदि एक द्विघात बहुपद ax² + bx +c के दोनों शून्यक ऋणात्मक हैं, तो a, b और c में से प्रत्येक का एक ही चिन्ह होता है।

उत्तर : सत्य क्योंकि – a / b = शून्यकों का योग < 0, इसलिए b / a > 0 है। साथ ही शून्यकों का गुणनफल = c /a > 0 है।

प्रश्नावली 2.2

1. निम्नलिखित प्रश्नों वेफ उत्तर दीजिए और उनका औचित्य दीजिए :
   1. क्या x6 + 2×3 + x – 1 को x में घात 5 के एक बहुपद से भाग देने पर भागफल x² – 1 हो सकता है ?
   2. ax² + bx + c को px² + qx² + rx + s, p ≠ 0 से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्या होंगे ?
   3. यदि बहुपद p (x) को बहुपद g (x) से भाग देने पर भागफल शून्य हो, तो p (x) और g (x) की घातों में क्या संबंध् है ?
   4. यदि एक शून्येतर बहुपद p (x) को एक बहुपद g (x) से भाग देने पर शेषपफल 0 हो, तो p (x) और g (x) की घातों में क्या संबंध् है ?
   5. क्या किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए, द्विघात बहुपद x² + kx + k के बराबर शून्यक हो सकते हैं ?
2. क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य? अपने उत्तरों वेफ लिए औचित्य दीजिए।
   1. यदि एक द्विघात बहुपद ax² bx + c के दोनों शून्यक ध्नात्मक हैं, तो a, b और c में से सभी का समान चिन्ह होता है।
   2. यदि एक बहुपद का आलेख x अक्ष को केवल एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करे, तो यह एक द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
   3. यदि एक बहुपद का आलेख x अक्ष को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, तो यह आवश्यक नहीं है कि वह एक द्विघात बहुपद हो।
   4. यदि एक त्रिघात बहुपद वेफ दो शून्यकों में से प्रत्येक शून्य है, तो इसवेफ रैखिक और अचर पद नहीं हो सकते।
   5. यदि एक त्रिघात बहुपद वेफ सभी शून्यक ऋणात्मक हैं, तो इस बहुपद के सभी गुणांक और अचर पद एक ही चिन्ह होते हैं।
   6. यदि एक त्रिघात बहुपद ax³ + ax²  – bx + c के तीनों शून्यक ध्नात्मक हैं, तो a, b और c में से कम से कम एक अवश्य ही ऋणेतर होगा।
   7. k का वेफवल वह मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k शून्यक बराबर है।

अर्थात x³ + 2x²– 9x – 18 = (x – 3) (x² + 5x + 6)

= (x – 3) (x + 2) (x + 3)

अत: x³ + 2x² + kx – 18 के शून्यक 3, – 2 और -3 हैं।

प्रश्नावली 2.4

1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में बहुपद ज्ञात कीजिए, जिनके शून्यकों के क्रमशः योग और गुणनफल दिए हुए हैं। साथ ही, गुणनखंडन द्वारा, इन बहुपदों के शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
   1. -8 / 3 , 4 / 3
   2. 21 / 8 , 5 / 16
   3. -2 √3, -9
   4. -3 / 2 √5 , -1 / 2
2. दिया है कि त्रिघात बहुपद x³ – 6x² + 3x + 10 के शून्यक a, a + b और a + 2b के हैं, जहाँ a और b, इए कोई वास्तविक संख्याएँ हैं। a और b के मान तथा साथ ही दिए हुए बहुपद के शून्यक ज्ञात कीजिए।
3. त्रिघात बहुपद ६x³ + √2 x² – 10x – 4 √2 का एक शून्यक √2 दिया है। इसके अन्य दो शून्यक ज्ञात कीजिये।
4. k का ऐसा मान ज्ञात कीजिये कि x² + 2x + k बहुपद 2x⁴ + x³ – 14 x² + 5x + 6 का एक गुणनखंड हो जाए। इन दोनों बहुपदों के सभी शून्यक भी ज्ञात कीजिए।
5. त्रिघात बहुपद x³ – 3 √5x² + 13x – 3 √5 का एक गुणनखंड x – √5 दिया है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
6. a और b के किन मानों के लिए, q(x) = x³ + 2 x² + a के शून्यक बहुपद p(x) = x⁵ – x⁴ – 4x³ + 3 x² + 3x + b के भी शून्यक होंगे ? p(x) के कौन से शून्यक q (x) के शून्यक नहीं हैं ?

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