कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वास्तविक संख्याएँ

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वास्तविक संख्याएँ यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ वास्तविक संख्याएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 1 – वास्तविक संख्याएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 10
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 1 – वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वास्तविक संख्याएँ

कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 1- वास्तविक संख्याएँ  के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

(ए ) मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम

• यूक्लिडीय विभाजन प्रमेयिका : दो ध्नात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसे अद्वितीय पूर्णांकों q और r का अस्तित्व है जो a = bq + r, 0 ≤ r < b को संतुष्ट करते हैं।
• दो ध्नात्मक पूर्णांकों, मान लीजिए c और d, c > d का HCF प्राप्त करने वेफ लिए यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म :
  • चरण 1 : ऐसी पूर्ण संख्याएँ q और r प्राप्त करने वेफ लिए कि c = dq + r, 0 ≤ r < d हो, c और d पर यूक्लिडीय विभाजन प्रमेयिका का अनुप्रयोग कीजिए।
  • चरण 2 : यदि r = 0 है, तो c और d का HCF संख्या d है। यदि r ≠ 0 हैए तो d और r पर विभाजन प्रमेयिका का अनुप्रयोग कीजिए।
  • चरण 3 : इस प्रक्रिया को तब तक शारी रखिए, जब तक कि शेषपफल शून्य न प्राप्त हो जाए। इस स्तर पर भाजक ही वाँछित HCF होगा।
• अंकगणित की आधरभूत प्रमेय : प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्यों के गुणनपफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है तथा यह व्यंजक (गुणनखंडनद्ध), अभाज्य गुणनखंडों के आने वेफ क्रमों पर ध्यान न देते हुए अद्वितीय होता है।
• मान लीजिए कि p एक अभाज्य संख्या है। यदि p, a2 को विभाजित करता है तो p, a को भी विभाजित करता है, जहाँ a एक ध्नात्मक पूर्णांक है।
• 2 , 3 , 5 अपरिमेय संख्याएँ हैं।
• एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर एक अपरिमेय संख्या होती है।
• एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनपफल या भागपफल एक अपरिमेय
• संख्या होती है।
• दो ध्नात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF (a, b) × LCM (a, b) = a × b होता है।
• मान लीजिए कि x = p/q , जहाँ p और q सहअभाज्य हैं, एक परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार सांत है। तब q का अभाज्य गुणनखंडन 2m.5n के रूप का होता है; जहाँ m, n ऋणेतर पूर्णांक हैं।
• मान लीजिए कि x = p/q एक परिमेय संख्या इस प्रकार है कि q का अभाज्य गुणनखंडन 2m.5n के रूप का नहीं है; जहाँ m, n ऋणेतर पूर्णांक हैं। तब, x का असांत आवर्ती दशमलव प्रसार होता है।

(बी) बहु विकल्पीय प्रश्न

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

प्रतिदर्श प्रश्न : परिमये संख्या 33/2².5 का दशमलव प्रसार निम्नलिखित के बाद समाप्त होता है

• (ए) एक दशमलव स्थान
• (बी) दो दशमवल स्थान
• (सी) तीन दशमलव स्थान
• (डी) तीन से अधिक दशमलव स्थान

उत्तर : बी

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : यूक्लिडीय विभाजन प्रमेयिका कहती है कि दो ध्नात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, ऐसे अद्वितीय पूर्णांकों q और r का अस्तित्व है कि a = bq + r, जहाँ r निम्नलिखित को अवश्य ही संतुष्ट करेगा।

• (A) 1 < r < b
• (B) 0 < r ≤ b
• (C) 0 ≤ r < b
• (D) 0 < r < b

उत्तर : (C)

प्रश्नावली 1.1

निम्नलिखित प्रश्नों में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

1. किसी पूर्णाक m के लिए, प्रत्येक सम पूर्णाक निम्नलिखित रूप का होता है
   • (A) m
   • (B) m + 1
   • (C) 2m
   • (D) 2m + 1
2. किसी पूर्णाक q के लिए,, प्रत्येक विषम पूर्णाक निम्नलिखित रूप का होता है
   • (A) q
   • (B) q + 1
   • (C) 2q
   • (D) 2q + 1
3. संख्या n2 – 1, 8 से विभाज्य होती है, यदि n है एक
   • (A) पूर्णाक
   • (B) प्राकृत संख्या
   • (C) विषम संख्या
   • (D) सम संख्या
4. यदि 65 और 117 वेफ HCF को 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सके, तो m का मान है
   • (A) 4
   • (B) 2
   • (C) 1
   • (D) 3
5. वह सबसे बड़ी संख्या, जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषपफल 5 और 8 प्राप्त हो, है
   • (A) 13
   • (B) 65
   • (C) 875
   • (D) 1750
6. यदि दो ध्नात्मक पूर्णांकों a और b को a = x3 y2 और b = xy3 के रूप में व्यक्त किया जाए, जहाँ x और y अभाज्य संख्याएँ हैं तो HCF (a, b) है
   • (A) xy
   • (B) xy2
   • (C) x 3 y3
   • (D) x2 y 2
7. यदि दो ध्नात्मक पूर्णांकों p और q को p = ab2 और q = a3 b के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैए जहाँ a और b अभाज्य संख्याएँ हैं, तो LCM (p, q) है :
   • (A) ab
   • (B) a2 b2
   • (C) a3 b2
   • (D) a3 b3
8. एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनपफल होता है :
   • (A) सदैव अपरिमेय संख्या
   • (B) सदैव परिमेय संख्य
   • (C) परिमेय या अपरिमेय संख्या
   • (D) एक
9. 1 से 10 तक की संख्याओं (दोनों सम्मिलित हैं) में से सभी संख्याओं से विभाज्य न्यूनतम संख्या है :
   • (A) 10
   • (B) 100
   • (C) 504
   • (D) 2520
10. परिमेय संख्या 14587 / 1250 का दशमलव प्रसार निम्नलिखित किन दशमलव स्थानों वेफ बाद समाप्त हो जायेगा।
    • (A) एक
    • (B) दो
    • (C) तीन
    • (D) चार

(C) तर्क वेफ साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : जब एक ध्नात्मक पूर्णांक a को 3 से भाग दिया जाता है, तो शेषपफल r के मान केवल 0 और 1 हो सकते हैं। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

उत्तर : नहीं

यूक्लिडीय विभाजन प्रमेयिका वेफ अनुसार,

a = 3q + r, जहाँ 0 ≤ r < 3 है और r एक पूर्णांक है। अतः r के मान 0, 1 या 2 हो सकते हैं।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : क्या संख्या 6n जहाँ, n एक प्राकृत संख्या है, अंक 5 पर समाप्त हो सकती है? कारण दीजिए।

उत्तर : नहीं, क्योंकि 6n = (2 × 3)n = 2n × 3n है, अर्थात 6n वेफ गुणनखंडन में आने वाली अभाज्य संख्याएँ केवल 2 और 3 हैं, 5 नहीं है। अतः, यह संख्या 5 पर समाप्त नहीं हो सकती।

प्रश्नावली 1.2

1. क्या प्रत्येक ध्नात्मक पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है जहाँ q एक पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
2. दो क्रमागत ध्नात्मक पूर्णांकों का गुणनपफल 2 से विभाज्य है। ” क्या यह कथन सत्य है या असत्य कारण दीजिए।
3. ”तीन क्रमागत ध्नात्मक पूर्णांकों का गुणनपफल 6 से विभाज्य है। ” क्या यह कथन सत्य है या असत्य ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
4. लिखिए कि क्या किसी ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
5. एक ध्नात्मक पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ q एक प्राकृत संख्या है। क्या इसके वर्ग को 3m + 1 से भिन्न रूप में, अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
6. दोनों ही संख्याएँ 525 और 3000 वेफवल 3, 5, 15, 25 और 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
7. स्पष्ट कीजिए कि 3 × 5 × 7 + 7 एक भाज्य संख्या क्यों है।
8. क्या किन्हीं दो संख्याओं का HCF 18 और LCM 380 हो सकता है ? कारण दीजिए।
9. बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए, ज्ञात कीजिए कि क्या 987 / 10500 का दशमलव प्रसार सांत होगा या असांत आवर्ती होगा। अपने उत्तर वेफ लिए कारण दीजिए।
10. एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार 327.7081 है। जब इस संख्या को p / q के रूप में व्यक्त किया जाएगा, तो आप q के अभाज्य गुणनखंडों के बारे में क्या कह सकते हैं? कारण दीजिए।

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन से संख्या-युग्म सहअभाज्य हैंः

(i) 231, 396 (ii) 847, 2160

उत्तर : आइए, संख्याओं वेफ प्रत्येक युग्म का HCF ज्ञात करें।

• 396 = 231 × 1 + 165
  231 = 165 × 1 + 66
  165 = 66 × 2 + 33
  66 = 33 × 2 + 0

अंत : HCF = 33 है। इसलिए संख्याएँ सहअभाज्य नहीं हैं।

• 2160 = 847 × 2 + 466
  847 = 466 × 1 + 381
  466 = 381 × 1 + 85
  381 = 85 × 4 + 41
  85 = 41 × 2 + 3
  41 = 3 × 13 + 2
  3 = 2 × 1 + 1
  2 = 1 × 2 + 0

अतः, HCF = 1 है। इसलिए संख्याएँ सहअभाज्य हैं।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : सिद्द कीजिए कि √2+√3 अपरिमेय संख्या है।

उत्तर : आइये कल्पना करें कि √2+√3 एक परिमेय संख्या है। मान लीजिए √2+√3=a, जहाँ एक परिमेय संख्या है।

अंत : √2=a – √3

दोनों पक्षों का वर्ग करने परए हमें प्राप्त होता हैः

2 = a² +3 – 2a √3

अंत : √3=a²+1 / 2a है, जिससे एक विरोधाभास या अंतर्विरोध प्राप्त होता है, क्योंकि दायाँ पक्ष एक परिमेय संख्या है जबकि √3 एक अपरिमेय संख्या है। अतः √2+√3 अपरिमेय संख्या है।

प्रश्नावली 1.3

1. दर्शाइए कि किसी ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या तो 4q या 4q + 1 के रूप का होता है
2. दर्शाइए कि किसी ध्नात्मक पूर्णांक का घन, किसी पूर्णांक m के लिए, 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का होता है।
3. दर्शाइए कि किसी ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक q के लिए, या 5q + 2 के रूप का नहीं हो सकता।
4. दर्शाइए कि किसी ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए, 6m +2 या 6m + 5 के रूप का नहीं हो सकता।
5. दर्शाइए कि किसी पूर्णांक q के लिए, किसी विषम पूर्णांक का वर्ग4q + 1 के रूप का होता है।
6. यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n² -1, 8 से विभाज्य है।
7. सिद्द ( कीजिए कि यदि x और y दोनों ध्नात्मक विषम पूर्णांक हैं, तो x²+y² एक सम संख्या है, परंतु 4 से विभाज्य नहीं है।
8. 441, 567 और 693 का HCF ज्ञात करने के लिए, यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए
9. यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हुए, ऐसी सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 1251, 9377 और 15628 को भाग देने पर शेषफल क्रमशः 1ए 2 और 3 प्राप्त हो।
10. कीजिए कि √3+√5 एक अपरिमेय संख्या है।
11. दर्शाइए कि किसी प्रावृफत संख्या n के लिए संख्या 12nअंक 0 या 5 पर समाप्त नहीं होगी।
12. एक प्रातःकालीन सैर के समय, तीन व्यक्ति एक साथ किसी स्थान से चलना प्रारंभ करते हैं तथा उनके कदमों के माप क्रमशः 40cm 42cm और 45cm हैं। इनमें से प्रत्येक कितनी न्यूनतम दूरी चले कि वह इस दूरी को पूर्ण कदमों में तय करें।
13. परिमेय संख्या 257 / 5000 के हर को 2m × 5m के रूप में लिखिए, जहाँ m और n ऋणेतर पूर्णांक है। इसके बाद, बिना वास्तविक विभाजन वेफ इस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार लिखिए।
14. सिद्द कीजिए कि √p + √q एक अपरिमेय संख्या है, जहाँ p और q अभाज्य संख्याएँ हैं।

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : दर्शाइए कि किसी पूर्णांक q के लिए, एक विषम ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग
6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है।

उत्तर : हम जानते हैं कि कोई भी ध्नात्मक पूर्णांक, एक पूर्णांक m के लिए, ] 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4 या 6m + 5 वेफ रूप का हो सकता है।

इसलिए एक विषम ध्नात्मक पूर्णांक 6m + 1, 6m + 3, या 6m + 5 वेफ रूप का हो सकता है। इस प्रकार हमें प्राप्त होते हैं :

• (6 m +1)2 = 36 m2 + 12 m + 1 = 6 (6 m2 + 2 m) + 1 = 6 q + 1 है, जहाँ q एक पूर्णांक है।
• (6 m + 3)2 = 36 m2 + 36 m + 9 = 6 (6 m2 + 6 m + 1) + 3 = 6 q + 3, जहाँ q एक पूर्णांक है।
• (6 m + 5)2 = 36 m2 + 60 m + 25 = 6 (6 m2 + 10 m + 4) + 1 = 6 q + 1, जहाँ q एक पूर्णांक है।

इस प्रकार, एक विषम ध्नात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है।

प्रश्नावली 1.4

1. दर्शाइए कि 6q+ r के रूप वेफ एक ध्नात्मक पूर्णांक का घन भी, जहाँ q एक पूर्णांक है तथा r = 0,1, 2, 3, 4, 5 हैं, 6m+r के रूप का होता है। जहाँ m एक पूर्णांक है।
2. कीजिए कि n, n + 2 और n + 4 में से एक और वेफवल एक ही 3 से विभाज्य हैए जहाँ n कोई ध्नात्मक पूर्णांक है।
3. सिद्द कीजिए कि किन्हीं तीन क्रमागत ध्नात्मक पूर्णांकों में से एक पूर्णांक 3 से अवश्य ही विभाज्य होना चाहिए।
4. सिद्द कीजिए कि किसी ध्नात्मक पूर्णांक n के लिए संख्या n3 – n, 6 से विभाज्य है।
5. दर्शाइए कि n, n + 4, n + 8, n + 12 और n + 16 में से एक और वेफवल एक ही 5 से विभाज्य हैए जहाँ द कोई ध्नात्मक पूर्णांक है।

संकेत : किसी भी ध्नात्मक पूर्णांक को 5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3, 5q + 4 के रूप में लिखा जा सकता है।

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वास्तविक संख्याएँ

यूनिट 1 – वास्तविक संख्याएँ के प्रश्नों के उत्तर यहां से प्राप्त करें।

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