गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 12 – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 10
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 12 – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन
कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन
कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 12 – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम
- मौलिक ठोसों, अर्थात् घनाभ, शंकु, बेलन, गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन से बनी वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल।
- मौलिक ठोसों, अर्थात् घनाभ, शंकु, बेलन, गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन से बनी वस्तु का आयतन।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक किप (फनॅल) (आकृति 12.1) निम्नलिखित का संयोजन है।
- (A) एक शंकु और एक बेलन
- (B)शंकु का छिन्नक और एक बेलन
- (C) एक अर्धगोला और एक बेलन
- (D) एक अर्धगोला और एक शंकु
उत्तर : (B)
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : यदि पानी से पूरा भरे हुए, त्रिज्या 5 cm और ऊँचाई 6 cm वाले एक बेलनाकार कप में त्रिज्या 2.1 cm का एक कंचा डाला जाये, तो बेलनाकार कप में से कितना पानी बाहर निकल जायेगा?
- (A) 38.8 cm³
- (B) 55.4 cm³
- (C) 19.4 cm³
- (D) 471.4 cm³
उत्तर : (A)
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : 22 cm किनारे वाली एक घनाकार आइसक्रीम ब्रिक (ice cream brick) को त्रिज्या 2 cm और ऊँचाई 7 cm वाले आइसक्रीम शंकुओं में पूरी तरह ऊपर तक भर कर, कुछ बच्चों में वितरित किया जाना है। कितने बच्चों को ये आइसक्रीम शंकू प्राप्त हो पाएँगे?
- (A) 163
- (B) 263
- (C) 363
- (D) 463
उत्तर : (C)
प्रतिदर्श प्रश्न 5 : 4.2 cm किनारे वाले एक घन में से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े शंकु का आयतन है
- (A) 9.7 cm³
- (B) 77.6 cm³
- (C) 58.2 cm³
- (D) 19.4 cm³
उत्तर : (D)
प्रश्नावली 12.5
दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए:
1 . एक किनारे पर नुकीली बनायी गयी एक बेलनाकार पेंसिल निम्नलिखित का संयोजन है
- (A) एक शंकु और के बेलन
- (B) शानुक के छिन्नक और एक बेलन
- (C) एक अर्धगोल और एक बेलन
- (D) दो बेलन
2. एक सुराही निम्नलिखित का संयोजन है
- (A) एक गोला और एक बेलन
- (B) एक अर्धगोल और एक बेलन
- (C) दो अर्धगोले
- (D) एक बेलन और एक शंकु
3. एक साहुल ( देखिये आकृति 12.2) निम्नलिखित का संयोजन है :
- (A) एक शंकु और के बेलन
- (B) एक अर्धगोल और एक शंकु
- (C) शंकु का छिन्न और एक बेलन
- (D) गोला और बेलन
4. एक गिलास ( देखिये आकृति 12.3) का आकार प्राय: निम्न रूप का होता है
- (A) एक शंकु
- (B) शंकु का छिन्नक
- (C) एक बेलन
- (D) एक गोला
5. गिल्ली-डंडे के खेल में, गिल्ली का आकार (देखिए आकृति 12.4) निम्नलिखित का संयोजन है
- (A) दो बेलन
- (B) एक शंकु और एक बेलन
- (C) दो शंकु और एक बेलन
- (D) दो बेलन और एक शंकु
6. बैडमिंटन खेलने में प्रयोग की जाने वाली शटलकाॅक (चिड़िया) का आकार निम्नलिखित का संयोजन है
- (A) एक बेलन और एक गोला
- (B) एक बेलन और एक अर्धगोला
- (C) एक गोला और एक शंकु
- (D) शंकु का छिन्नक और अर्धगोला
7. एक शंकु को उसके आधार के समांतर एक तल की सहायता से काटा जाता है और फिर तल के एक ओर बने शंकु को हटा दिया जाता है। तल के दूसरी ओर बचा हुआ नया भाग कहलाता है एक
- A) शंकु का छिन्नक
- (B) शंकु
- (C) बेलन
- (D) गोला
8. एक 22 cm आंतरिक किनारे वाले खोखले घन को 0.5 cm व्यास वाले गोलाकार कंचों से भरा जाता है तथा यह कल्पना की जाती है कि घन का 1/8 स्थान भरा नहीं जा सकता है। तब घन में समावेशित होने वाले कंचों की संख्या है
- (A) 142296
- (B) 142396
- (C) 142496
- (D) 142596
9. क्रमशः आंतरिक और बाहरी व्यास 4 cm और 8 cm वाले एक धातु के गोलाकार खोल को पिघलाकर आधार व्यास 8 cm के एक शंकु के आकार में ढाला जाता है। इस शंकु की ऊँचाई है
- (A) 12cm
- (B) 14cm
- (C) 15cm
- (D) 18cm
10. विमाओं 49cm × 33cm × 24cm के घनाभ के आकार के लोहे के किसी ठोस टुकड़े को पिघलाकर एक ठोस गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिज्या है
- (A) 21cm
- (B) 23cm
- (C) 25cm
- (D) 19cm
11. कोई मिस्त्राी ईंटों से विमाओं 270cm× 300cm × 350cm की एक दीवार बनाता है, जिनमें से प्रत्येक ईंट की माप 22.5cm × 11.25cm × 8.75cm है। यदि यह मान लिया जाए कि दीवार का 1/8 भाग मसाले से भरा जाता है, तो दीवार को बनाने में लगी ईंटों की संख्या है
- (A) 11100
- (B) 11200
- (C) 11000
- (D) 11300
12. आधार व्यास 2 cm और ऊँचाई 16 cm वाले धातु के एक ठोस बेलन को पिघला कर समान माप के बारह ठोस गोले बनाये जाते हैं। प्रत्येक गोले का व्यास है
- (A) 4 cm
- (B) 3 cm
- (C) 2 cm
- (D) 6 cm
13. तिर्यक ऊँचाई 45 cm वाली एक बाल्टी के ऊपरी और निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 28 cm और 7 cm हैं। इस बाल्टी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है
- (A) 4950 cm²
- (B) 4951 cm²
- (C) 4952 cm²
- (D) 4953 cm²
14. दवाई का एक वैफप्सूल 0.5 cm व्यास वाले एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरों पर दो अर्धगोले लगे हुए हैं। संपूर्ण वैफप्सूल की लंबाई 2 cm है। इस वैफप्सूल की धारिता है
- (A) 0.36 cm³
- (B) 0.35 cm³
- (C) 0.34 cm³
- (D) 0.33 cm³
15. एक ही आधार त्रिज्या r वाले दो ठोस अर्धगोलों को उनके आधारों वेफ अनुदिश जोड़ दिया गया है। तब नये ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है
- (A) 4πr²
- (B) 6πr²
- (C) 3πr²
- (D) 8πr²
16. त्रिज्या r cm और ऊँचाई h cm (h>2r) वाले एक लंब वृत्तीय बेलन में ठीक समावेशित होने वाले गोले का व्यास है
- (A) r cm
- (B) 2r cm
- (C) h cm
- (D) 2h cm
17. ठोस को एक आकार से दूसरे आकार में बदलने पर, नये आकार का आयतन
- (A) बढ़ जाता है
- (B) घट जाता है
- (C) वही रहता है
- (D) दुगुना हो जाता है
18. एक बाल्टी के दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 44 cm और 24 cm हैं तथा बाल्टी की ऊँचाई 35 cm है। इस बाल्टी की धरिता है
- (A) 32.7 लीटर
- (B) 33.7 लीटर
- (C) 34.7 लीटर
- (D) 31.7 लीटर
19. एक लंब वृत्तीय शंकु में, उसके आधार के समांतर खींचे गये तल द्वारा काटा गया अनुप्रस्थ-काट होता है एक
- (A) वृत्त
- (B) शंकु का छिन्नक
- (C) गोला
- (D) अर्धगोला
20. दो गोलों वेफ आयतनों का अनुपात 64:27 है। उनवेफ पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है
- (A) 3:4
- (B) 4:3
- (C) 9:16
- (D) 16:9
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : भुजा a वाले दो सर्वसम, अर्थात् एक जैसे घनों को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ दिया गया है। तब, परिणामी घनाभ का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 12a² है।
उत्तर : असत्य। भुजा a वाले एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 6a² होता है। यदि a भुजाओं वाले दो सर्वसम फलकों को मिला कर जोड़ा जाये, तो इस प्रकार बने घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 10ंa² होगा।
प्रतिदर्श प्रश्न 4: आकृति 12.5 में दर्शाये गये लट्टू का वुफल पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
उत्तर : असत्य। लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
प्रतिदर्श प्रश्न 5 : आकृति 12.6 में दर्शाये गये बर्तन की वास्तविक धरिता बेलन के आयतन और अर्धगोले वेफ आयतन के अंतर के बराबर है
उत्तर : सत्य। बर्तन की वास्तविक धारिता गिलास के अंदर रिक्त स्थान है जिसमें कोई द्रव डालने पर समावेशित हो सके।
प्रश्नावली 12.2
निम्नलिखित में से प्रत्येक में ‘सत्य’ या ‘असत्य’ लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:
1 . समान आधार त्रिज्या r वाले दो सर्वसम ठोस अर्धगोलों को उनके आधारों के अनुदिश जोड़ दिया गया है। इस संयोजन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रापफल 6πr² है।
2. त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक बेलन को उसी ऊँचाई और त्रिज्या वाले बेलन के ऊपर रख दिया जाता है। इस प्रकार बने आकार का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πrh + 4πr² है।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : 14 cm किनारे वाले एक घन में से अधिकतम माप का एक शंकु काट कर निकाल लिया जाता है। इस शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा शंकु को काट कर निकाल लेने के बाद शेष ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक 10.5 cm त्रिज्या वाले ठोस धातु के गोले को पिघलाकर उसे अनेक छोटे शंकुओं के रूप में ढाला जाता है, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 3 cm है। इस प्रकार बनाये गये शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : कोई नहर 300 cm चैड़ी और 120 cm गहरी है। इस नहर में पानी 20 km/h की चाल से बह रहा है। वह 20 मिनट में कितने क्षेत्रफल की सचाई करेगी, यदि इसके लिए 8 cm खड़े पानी की आवश्यकता होती है?
प्रतिदर्श प्रश्न 4 : एक 4 cm त्रिज्या वाले शंकु को उसके अक्ष के मध्य – बिंदु से होकर आधार के समांतर समतल द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। दोनों भागों के आयतनों की तुलना कीजिये।
उत्तर : मान लीजिए कि h दिये हुए शंकु की ऊँचाई है। इस शंकु को अक्ष के मध्य-बिंदु से होकर आधार के समांतर समतल द्वारा दो भागों में विभाजित करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है। (देखिए आकृति 12.8)
प्रतिदर्श प्रश्न 5 : किसी धातु के तीन घनों, जिनके किनारे 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं, को पिघलाकर एक अकेले घन के रूप में बदला जाता है, जिसका विकर्ण 12√3 cm है। तीनों घनों के किनारे ज्ञात कीजिए।
प्रश्नावली 12.4
1 . त्रिज्या 8 cm वाले एक धातु के ठोस अर्धगोले को पिघलाकर आधार त्रिज्या 6 cm वाले एक लंब वृत्तीय शंकु के रूप में ढाला जाता है। शंकु की ऊँचाई निर्धारित कीजिए।
2. आधार 11 m × 6 m वाले एक घनाभाकार पानी की टंकी में 5 m की ऊँचाई तक पानी भरा है। यदि इस पानी को 3.5 m त्रिज्या वाली एक बेलनाकार टंकी में स्थानांतरित कर दिया जाये, तो इस बेलनाकार टंकी में पानी वेफ स्तर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
3. लोहे का एक खुला संदूक बनाने के लिए कितने घन सेंटीमीटर लोहे की आवश्यकता होगी, यदि इस संदूक की बाहरी विमाएँ 36 cm, 25 cm और 16.5 cm हैं, जबकि लोहे की मोटाई 1.5 cm है। यदि 1 घन सेंटीमीटर लोहे का भार 7.5 g है, तो इस संदूक का भार भी ज्ञात कीजिए।
4. किसी फाउन्टेन पेन की नली, जो बेलन के आकार की है, 7cm लंबी है और इसका व्यास 5 mm है। इस पेन की नली में पूरी भरी स्याही से औसतन 3300 शब्द लिखे जा सकते हैं। स्याही की उस बोतल से कितने शब्द लिखे जा सकते हैं, जिसमें 1 लीटर की 1/5 भाग स्याही है?
5. व्यास 5 mm वाले एक बेलनाकार पाइप के माध्यम से पानी 10 m प्रति मिनट की दर से बह रहा है। आधार व्यास 40 cm और 24 cm गहरे एक शंकु के आकार के बर्तन को पाइप से भरने के लिए कितना समय लगेगा?
6. चावलों की एक ढेरी 9m व्यास और 3.5m ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इन चावलों का आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को केवल ढकने मात्रा के लिए कितने कैनवास कपड़े की आवश्यकता होगी?
7. एक पैफक्टरी प्रति दिन 120000 पेंसिल बनाती है। ये पेंसिलें बेलन के आकार की हैं तथा प्रत्येक की लंबाई 25 cm और आधार की परिधि 1.5 cm है। 0.05 रु प्रति dm² की दर से एक दिन में निर्मित पेंसिल के वक्र पृष्ठों पर रंग करवाने की लागत निर्धारित कीजिए।
8. एक 14 cm व्यास वाले पाइप के माध्यम से पानी 15 km/h की दर से एक घनाभाकार तालाब में जा रहा है, जो 50m लंबा और 44m चैड़ा है। कितने समय बाद, तालाब में पानी का स्तर 21 cm ऊँचा हो जायेगा?
9. 4.4 m × 2.6 m × 1m वाले लोहे के एक ठोस घनाभाकार टुकड़े को पिघलाकर एक खोखले बेलनाकार पाइप के रूप में ढाला जाता है जिसकी आंतरिक त्रिज्या 30 cm और मोटाई 5 cm है। इस पाइप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
10. 80 m लंबे और 50 m चैड़े एक घनाभाकार तालाब में 500 व्यक्ति डुबकी लगा रहे हैं। इस तालाब में पानी का स्तर कितना बढ़ जायेगा, यदि एक व्यक्ति द्वारा औसतन पानी का विस्थापन 0.04 m³ है?
11. त्रिज्या 2 cm वाले 16 शीशे के गोले एक घनाभाकार पेटी में पैक किये जाते हैं, जिसकी आंतरिक विमाएँ 16 cm × 8cm × 8cm हैं। इसके बाद पेटी में पानी भर दिया जाता है। पेटी में भरे गये पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
12. एक 16 cm ऊँचाई वाला दूध का बर्तन एक धतु की चादर से शंकु के एक छिन्नक के आकार का बना हुआ है। इसवेफ निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। इस बर्तन में जितना दूध आ सकता है, उसकी 22 रु प्रति लीटर की दर से लागत ज्ञात कीजिए।
13. एक 32 cm ऊँचाई और 18 cm आधार त्रिज्या वाली बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली कर लिया जाता है जिससे रेत की शंकु के आकार की एक ढेरी बनायी जाती है। यदि शंकु के आकार की इस ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
14. एक रॉकेट का आकार एक लंबा वृत्तीय बेलन के रूप का है जिसका निचला सिरा बंद है। इसके ऊपर बेलन की आधार त्रिज्या के बराबर आधार त्रिज्या वाला का एक शंकु रखा हुआ है। बेलन के व्यास और ऊँचाई क्रमशः 6 cm और 12 cm हैं। यदि शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई 5 cm है, तो राॅकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए (π = 3.14) का प्रयोग कीजिए)।
15. एक भवन एक बेलन के आकार का है जिसके ऊपर एक अर्धगोलाकार गुंबज लगा हुआ है तथा इसमें 41 सही 19/21 m³ वायु है। यदि इस गुंबज का आंतरिक व्यास उसके फर्श से संपूर्ण ऊँचाई के बराबर है, तो इस भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
16. आंतरिक त्रिज्या 9 cm वाला एक अर्धगोलाकार कटोरा किसी द्रव से भरा हुआ है। इस द्रव को बेलनाकार बोतलों में भरा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 1.5 cm और ऊँचाई 4 cm है। इस कटोरे को खाली करने के लिए कितनी बोतलों की आवश्यकता है?
17. ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक ठोस लंब वृत्तीय शंवुफ 180 cm ऊँचाई वाले पानी से पूरे भरे एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा जाता है कि यह उसकी तली को स्पर्श करें। बेलन में बचे हुए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के बराबर है।
18. आंतरिक त्रिज्या 1 cm वाले एक बेलनाकार पाइप के माध्यम से पानी 80 cm/sec की चाल से एक खाली बेलनाकार टंकी में जा रहा है, जिसकी आधार त्रिज्या 40 cm है। आधे घंटे के बाद टंकी में पानी का स्तर कितना बढ़ जायेगा?
19. विमाओं 22m × 20m वाली एक छत से वर्षा का पानी एक बेलनाकार बर्तन में जा रहा है, जिसका आधार व्यास 2m और ऊँचाई 3.5m है। यदि छत पर एकत्रित वर्षा के पानी से बेलनाकार बर्तन ठीक पूरा भर जाता है, तो cm में वर्षा ज्ञात कीजिए।
20. एक पेन स्टैंड एक घनाभ के आकार का है तथा लकड़ी का बना हुआ है, जिसमें चार शंकु के आकार के गड्ढे हैं और एक घनाकार गड्ढा है, जिनमें क्रमशः पेन और पिन रखे जा सकते हैं। घनाभ की विमाएँ 10 cm, 5 cm और 4 cm की हैं। शंकु के आकार के प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm बउ है और गहराई 2.1 cm है। घनाकार गड्ढे का किनारा 3 बउ है। संपूर्ण स्टैंड में प्रयुक्त लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रापफल और आयतन
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