कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 6 – त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 10 
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 6 – त्रिभुज

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर –त्रिभुज

कक्षा 10 गणित विषय के यूनिट 6- त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम

सर्वांगसमता और समरूपता, दो बहुभुजों की समरूपता के लिए प्रतिबंध्, त्रिभुजों की समरूपता, समरूपता और शीर्षों की संगतता, त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ: (i) AAA या AA (ii) SSS (iii) SAS

• यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो ये दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं (समानुपातिकता का आधरभूत प्रमेयद्ध) और इसका विलोम।
• दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रापफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
• एक समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से उसके कर्ण पर खींचा गया लंब उस त्रिभुज को ऐसे दो त्रिभुजों में विभाजित करता है जो संपूर्ण त्रिभुज के समरूप होते हैं और परस्पर भी समरूप होते हैं।
• किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग शेष दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेयद्ध) और इसका विलोम।

(B) बहु विकल्पीय प्रश्न

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

पप्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि आकृति 6.1 में, O दो जीवाओं AB और CD का प्रतिच्छेद बिंदु इस प्रकार है कि OB = OD है, तो त्रिभुज OAC और ODB हैं

• (A) समबाहु परंतु समरूप नहीं
• (B) समद्विबाहु परंतु समरूप नहीं
• (C) समबाहु और समरूप
• (D) समद्विबाहु और समरूप

उत्तर : (D)

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमशः बिंदु D और E इस प्रकार स्थित हैं कि AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm और DE // BC है। तब, DE की लंबाई (cm में) है।

• (A) 2.5
• (B) 3
• (C) 5
• (D) 6

उत्तर : (B)

प्रश्नावली 6.1

दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

1. आकृति r 6.2 में, ∠ BAC = 90° और AD ⊥ BC हैं। तब,

• (A) BD . CD = BC²
• (B) AB . AC = BC²
• (C) BD . CD = AD²
• (D) AB . AC = AD²

2. एक समचतुर्भुज के विकणों की लम्बाईयाँ 16cm और 12 cm हैं। तब, इस समचतर्भज की भजा की लंबाई है

• (A) 9 cm
• (B) 10 cm
• (C) 8 cm
• (D) 20 cm

3. यदि Δ A B C ~ Δ E D F और Δ A B C, Δ D E F के समरूप नहीं है , तो निम्नलिखित में से कौन सत्य नहीं है ?

• (A) BC . EF = A C. FD
• (B) AB . EF = AC . DE
• (C) BC . DE = AB . EF
• (D) BC . DE = AB . FD

4. यदि दो त्रिभुजों ABC और PQR में, , AB/QR – BC/PR – CA/PQ है, तो

• (A) ΔPQR ~ ΔCAB
• (B) ΔPQR ~ ΔABC
• (C) ΔCBA ~ ΔPQR
• (D) ΔBCA ~ ΔPQR

5. आकृति 6.3 में, दो रेखाखंड AC और BD परस्पर बिंद P पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि PA = 6 cm, PB = 3 cm, PC = 2.5 cm, PD = 5 cm, ∠ APB = 50° और ∠ CDP = 30° है तब ∠PBA बराबर है।

• (A) 50°
• (B) 30°
• (C) 60°
• (D) 100°

6. यदि दो त्रिभुजों DEF और PQR में, , ∠D = ∠Q और ∠R = ∠E है, तो निम्नलिखित में से कौन सत्य नहीं है ?

• (A) EF/PR = DF/PQ
• (B) DE/PQ = EF/RP
• (C) DE/QR =DF/PQ
• (D) EF/RP =DE/QR

7. त्रिभुजों ABC और DEF में, ∠B = ∠E, ∠F = ∠C तथा AB = 3 DE है। तब दोनों त्रिभुज हैं

• (A) सर्वांगसम परंतु समरूप नहीं
• (B) समरूप परंतु सर्वांगसम नहीं
• (C) न तो सर्वांगसम और न ही समरूप
• (D) सर्वांगसम और समरूप दोनों

8. यह दिया है कि BC/QR=1/3 के साथ ΔABC ~ ∆ PQR है। तब ar (PRQ)/ar (BCA) बराबर है

• (A) 9
• (B) 3
• (C) 1/3
• (D) 1/9

9. ∆ ABC ~ ∆ DFE, ∠A =30°, ∠C = 50°, AB = 5 cm, AC = 8 cm और DF= 7.5 cm दिया हुआ है। तब, निम्नलिखित सत्य है :

• (A) DE = 12 cm, ∠F = 50°
• (B) DE = 12 cm, ∠F = 100°
• (C) EF = 12 cm, ∠D = 100°
• (D) EF = 12 cm, ∠D = 30°

10. यदि त्रिभुज ABC और DEF में, A B/DE = BC/FD है, तो ये समरूप होंगे, जब

• (A) ∠B = ∠ E
• (B) ∠A = ∠D
• (C) ∠B = ∠D
• (D) ∠A = ∠F

11. यदि त्रिभुज ∆ ABC ~ ∆ QRP, ar (ABC)/ar (PQR) =9/4, AB = 18 cm और BC = 15 cm है, तो PR बराबर है

• (A) 10 cm
• (B) 12 cm
• (C) 20/ 3 cm
• (D) 8 cm

12. यदि ∆ PQR की एक भुजा PQ पर S एक ऐसा बिंदु है कि PS = QS = RS है, तो

• (A) PR . QR = RS²
• (B) QS² + RS² = QR²
• (C) PR² + QR² = PQ²
• (D) PS² + RS² = PR²

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : ∆ ABC में, AB = 24 cm, BC = 10 cm और AC = 26 cm है। क्या यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिये।

उत्तर : यहां AB² = 576, BC² = 100 और AC² = 676 है। अत:, AC² = AB² + BC² अत:, दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक त्रिभुज DEF की भुजाओं DE और DF पर क्रमशः : बिंदु P और Q इस प्रकार हैं कि DP = 5 cm, DE = 15 cm, DQ = 6 cm और QF = 18 cm है। क्या PQ||EF ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिये।

उत्तर : यहां, DP/PE = 5/15 – 2 = 1/2 और DQ/QF = 6/18=1/3

क्योंकि DP/PE ≠ DQ/QF है, इसलिए PQ भुजा EF के समांतर नहीं है।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : ∆ FED ~ ∆ STU दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि DE/ST =EF/TU ? क्यों ?

उत्तर : नहीं क्योंकि सही संगतता F S, E T और D U है।

इस संगतता के साथ, EF/ST=DE/TU है।

प्रश्नावली 6.2

1. क्या भुजाओं 25 cm, 5 cm और 24 cm वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए
2. ∆DEF ~ ∆RPQ दिया है। क्या कहना सत्य है कि ∠D = ∠R और ∠F = ∠P? क्यों ?
3. किसी त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु A और B इस प्रकार स्थित हैं कि PQ = 12.5 cm, PA = 5 cm, BR= 6 cm और PB = 4 cm है। क्या AB||QR है ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिये।
4. आकृति 6.4 में, BD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। क्या ∆PBC ~ ∆PDE है? क्यों ?

• त्रिभुजों PQR और MST में, ∠P = 55°, ∠Q = 25°, ∠M = 100° और ∠S = 25° है। क्या ∆ QPR ~ ∆ TSM है ? क्यों ?
• क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ? क्यों “दो चतर्भज समरूप होते हैं, यदि उनके संगत कोण बराबर हो”
• एक त्रिभुज की दो भुजाओं और परिमाप में से प्रत्येक क्रमशः दूसरे त्रिभुज की संगत दोनों भुजाओं और परिमाप के तिगने हैं। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं।
• यदि दो समकोण त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का एक न्यून कोण दूसरे त्रिभुज के एक न्यन कोण के बराबर हो, तो क्या आप कह सकते हैं कि दोनों त्रिभुज समरूप होंगे ? क्यों
• दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षलंबो का अनुपात 3/5 है। क्या यह कहना सही है कि इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 6/5 है ? क्यों ?
• ∆PQR की भुजा QR पर कोई बिंदु D इस प्रकार है कि PD ⊥ QR है। क्या ∆PQD ~ ∆RPD कहना सही होगा ?
• आकृति 6.5 में, यदि ∠D = ∠C है, तो क्या यह सत्य है कि ∆ADE ~ ∆ACB है ? क्यों ?

• क्या यह कहना सत्य है कि यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है तथा एक त्रिभुज की दो भुजाएं दूसरे त्रिभुज को दो भुजाओं के समानपाती हैं, तो त्रिभुज समरूप होंगे ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिये।

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक समकोण त्रिभुज के पैर (कर्ण को छोड़ कर अन्य दो भुजाएं) 10 cm और 8cm लंबाई के हैं। इस त्रिभुज के अंतगर्त खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिये।

उत्तर : मान लीजिये कि ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें ∠B समकोण है तथा AB = 16cm और BC = 8cm है। तब, इस त्रिभुज के अंतर्गत खींचे जा सकने वाला सबसे बड़ा वर्ग BRSP होगा जैसा कि आकृति 6.6 में दर्शया गया है।

मान लीजिये कि PB = x cm है। अत: AP = (16–x) cm है। ∆APS और ∆ABC में, ∠A = ∠A और ∠APS = ∠ABC (प्रत्येक 90°)

अत: ∆ APS ~ ∆ABC (AA समरूपता)

अत: AP/AB = PS/BC

या 16-x/16 = x/8

या 128-8x = 16x

या x = 128/24 = 16/3

अत: वांछित वर्ग की भुजा की लंबाई 16/3 cm है।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण 25cm है तथा शेष दो भुजाओं में से एक दूसरी से 5cm बड़ी है। अन्य दो भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर : मान लीजिये कि एक भुजा x cm है। तब, दूसरी भुजा (x +5) cm होगी।

अतः, पाइथागोरस प्रमेय से,

x² + (x + 5)² = (25)²

या x² + x² + 10 x + 25 = 625

या x²+ 5 x – 300 = 0

या x²+ 20 x – 15 x –300 = 0

या x (x+20) –15 (x +20) = 0

या (x–15) (x +20) = 0

या x =15 या x= –20

x= –20 को छोड़ने पर, हमें त्रिभुज की एक भुजा 15 cm तथा दूसरी भुजा (15 + 5) cm = 20 cm प्राप्त होती है।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : आकृति 6.7 में,

∠D = ∠E और AD/DE = AE/EC (दिया है)

अत:, DE II BC (आधरभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम)

अत: ∠D = ∠B और ∠E = ∠C (संगत कोण) (1)

परंतु ∠D = ∠E (दिया है)

अत:, ∠B = ∠C (1 से)

इसलिए AB = AC (बराबर कोणों की सम्मख भुजाएं)

अर्थात BAC एक समद्रीबाह त्रिभुज है

प्रशनावली 6.3

1. Δ PQR , PR²–PQ²= QR² है तथा M भज PR पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि QM ⊥ PR है। सिद्ध कीजिये कि QM² = PM × MR है।
2. x का वह मान ज्ञात कीजिये, जिसके लिए आकृति 6.8 में, DE II AB हो।

• 3. आकृति 6.9 में, यदि ∠1 =∠2 और Δ NSQ ≈ Δ MTR है, तो सिद्ध कीजिये Δ PTS ~ Δ PRQ है।

4. समलंब PQRS के विकर्ण परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते है, PQ II RS और PQ = 3 RS है। त्रिभुजों POQ और ROS के क्षेत्रफलों के अनुपात ज्ञात कीजिये।

5. आकृति 6.10 में, यदि AB II DCतथा AC और PQ परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिये कि OA . CQ = OC . AP है।

6.भुजा 8cm वाले एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलांब ज्ञात कीजिये।

7. यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm और FD = 12 cm है, तो ∆ ABC का परिमाप ज्ञात कीजिये।

8. आकृति 6.11 में, यदि DE II BC है, तो ar (ADE) और ar (DECB) का अनुपात ज्ञात कीजिये।

9. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB II DC है तथा बिंदु P और Q क्रमशः AD और BC पर इस प्रकार स्थित हैं कि PQ II DC है। यदि PD = 18 cm, BQ = 35 और QC = 15 cm है, तो AD ज्ञात कीजिये।

10. दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएं 2:3 के अनुपात में हैं। यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 cm² है, तो बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

11. त्रिभुज PQR में, भुजा PR पर स्थित N एक ऐसा बिंदु है कि Q N ⊥ PR है। यदि PN. NR = QN² है, तो सिद्ध कीजिये कि ∠PQR = 90° है।

12. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्राफल 36 cm² और 100 cm² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई 20 cm है, तो उस भुजा के संगत छोटे त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

13. आकृति 6.12 में, यदि ∠ACB = ∠CDA, AC = 8 cm और AD = 3 cm है, तो BD ज्ञात कीजिये।

14. एक विशेष समय पर, 15 मीटर उफँची एक मीनार (टाॅवर) की छाया की लंबाई 24 मीटर है। उसी समय पर, एक टेलीपफोन के खंभे की छाया की लंबाई 16 मीटर है। टेलीपफोन के खंभे की उफँचाई ज्ञात कीजिए।

15. 10 cm लंबी एक सीढ़ी, जो एक उध्र्वाध्र दीवार के सहारे टिकी हुई है, के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी 6 cm है। दीवार पर उस बिंदु की उँफचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ तक सीढ़ी का उफपरी सिरा पहुँचता है।

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रतिदर्श प्रश्न 1 : आकृति 6.13 में, OB रेखाखंड DE का लंब समद्विभाजक है, FA ⊥ OB तथा FE रेखाखंड OB को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि 1/OA + 1/OB = 2/OC है।

उत्तर : : ∆ AOF और ∆ BOD में

∠O = ∠O (एक ही कोण) और ∠A = ∠B (प्रत्येक 90°)

अत: ∆ AOF ~ ∆ BOD (AA समरूपता)

इसलिए, OA/OB = FA/DB

साथ ही, ∆ FAC और ∆ EBC में,

∠A = ∠B (प्रत्येक 90°)

और ∠FCA = ∠ECB (शीर्षाभिमुख कोण)

अत: ∆ FAC ~ ∆ EBC (AA समरूपता)

इसलिए, FA/EB = AC/BC

परंतु EB = DB (DE जा मध्य – बिंदु B है)

अत: FA/DB = AC/OB

या OC- OA/ OB- OC = OA/OB

या OB . OC – OA . OB = OA . OB – OA . OC

या OB . OC + OA . OC = 2 OA . OB

या (OB + OA). OC = 2 OA . OB

या 1/OA + 1/OB = 2/OC (दोनों पक्षों को OA . OB . OC से भाग देने पर)

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज में, एक भुजा पर बना वर्ग शेष दो भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है।

उत्तर : कक्षा X की गणित पाठ्यपुस्तक में प्रमेय 6.9 की उपपत्ति देखिए।

प्रतिदर्श प्रश्न 3 : किसी हवाई अड्डे से एक हवाई जहाज उत्तर की ओर 300 km/h की चाल से उड़ता है। उसी समय, एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 400 km/h की चाल से उड़ता है। 1 1/2 घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच कितनी दूरी होगी ?

उत्तर : पहले हवाई जहाज द्वारा 1 1/2 घंटे में तय की गई दूरी = 300 × 3/2 km = 450 km तथा 1 1/2 घंटे में दूसरे हवाई जहाज द्वारा तय की गई दूरी = 400 × 3/2 km = 600 km 1 1/2 घंटे के बाद, दोनों हवाई जहाजों की स्थितियाँ। A और B हैं, जैसा कि आकृति 6.14 में दर्शाया गया है। अर्थात् OA = 450 km और OB = 600 km ∆ AOB से, हमें प्राप्त होता है:

AB² = OA² + OB²

या AB² = (450)² + (600)²

= (150)² × 3²+ (150)² × 4²

= 150² (3² + 4²)

= 150² × 5²

या AB = 150 × 5 = 750

अत:, दोनों हवाई जहाज 1 1/2 घंटे के बाद 750 km की दूरी पर होंगे।

प्रतिदर्श प्रश्न 4: आकृति 6.15 में, यदि ∆ ABC ~ ∆ DEF है तथा उनकी भुजाएं उन लंबाइयों (cm में) की हैं जो उनके अनुदिश अंकित हैं, तो प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएं ज्ञात कीजिए।

उत्तर : ∆ ABC ~ ∆ DEF (दिया है)

अत: AB/DE = BC/EF = CA/FD

इसलिए, 2x -1/18 = 2x + 2/3x + 9 = 3x/6x

अब, 2x – 1/ 18 = 3x/6x को लेने पर, हमें प्राप्त होता है :

2x – 1/ 18 = 1/2

या 4 x – 2 = 18

या x = 5

अत: AB = 2 × 5 –1= 9, BC = 2 × 5 + 2 = 12

CA = 3 × 5 = 15, DE = 18, EF = 3× 5 + 9 = 24 और FD = 6 × 5 = 30

अत: AB = 9 cm, BC = 12 cm, CA = 15 cm

DE = 18 cm, EF = 24 cm और FD = 30 cm.

प्रश्नवाली 6.4

1. आकृति 6.16 में यदि ∠A = ∠C, AB = 6 cm, BP = 15 cm, AP = 12 cm और CP = 4 cm है, तो PD और CD की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिये।

2. यह दिया है कि ∆ ABC ~ ∆ EDF इस प्रकार है कि AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF= 15 cm और DE = 12 cm है। इन त्रिभुजों की शेष भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिये।

3. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर, उसकी अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए, रेखा खींची जाए, तो ये दोनों भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

4. आकृति 6.17 में, यदि PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तथा AB II PS है, तो सिद्ध कीजिये कि OC II SR है।

5. 5 m लंबी एक सीढ़ी एक उफध्र्वाध्र दीवार के सहारे इस प्रकार टिकी हुई है कि उसका ऊपरी सिरा दीवार पर 4 m उँफचे बिंदु तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के निचले सिरे को दीवार की ओर 1.6 m खिसकाया जाए, तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जो सीढ़ी का उफपरी सिरा ऊपर की ओर दीवार पर सरक जाएगा।

6. शहर A से शहर B तक जाने के लिए एक मार्ग शहर C से होकर इस प्रकार जाता है कि AC⊥CB है, AC = 2x km और CB = 2 (x + 7) km है। दोनों शहरों A और B को सीधा जोड़ने के लिए, एक 26 km लंबे राजमार्ग बनाने की एक योजना है। ज्ञात कीजिए कि राजमार्ग बन जाने के बाद, शहर A से शहर B तक जाने में कितनी दूरी कम चलनी पड़ेगी।

7. 18 m उँफचे एक ध्वज स्तंभ की छाया की लंबाई 9.6 m है। इस स्तंभ के ऊपरी सिरे की छाया के दूरस्थ सिरे से दूरी ज्ञात कीजिए।

8. सड़क पर लगा एक बिजली का बल्ब एक खंभे पर सड़क के स्तर से 6m ऊपर लगाया गया है। यदि 1.5m लंबाई वाली एक महिला की छाया 3m लंबी है, तो ज्ञात कीजिए कि वह महिला खंभे के आधर से कितनी दूरी पर खड़ी है।

9. आकृति 6.18 में, ABC एक त्रिभुज है, जिसका ∠Q समकोण है तथा QS ⊥ PR है। यदि PQ = 6 cm और PS = 4 cm है तो QS, RS और QR ज्ञात कीजिये।

10. आकृति 6.19 में PQR एक समकोण त्रिभुज है, जिसका ∠Q समकोण है तथा QS ⊥ PR है। यदि PQ = 6 cm और PS = 4 cm है, तो QS, RS और QR ज्ञात कीजिये।

11. ∆ PQR में, PD ⊥ QR इस प्रकार है कि D भुजा QR पर स्थित है। यदि PQ = a, PR = b, QD = c और DR = d है, तो सिद्ध कीजिये कि (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d) है।

12. किसी चतुर्भुज ABCD में, ∠A + ∠D = 90° है। सिद्ध कीजिये कि AC² + BD² = AD² + BC² है।

(संकेत : AB और DC को E पर मिलने के लिए बढ़ाइए)

13. आकृति 6.20, में ∫ II m तथा रेखाखंड AB, CD और EF, बिंदु P पर संगामी हैं सिद्ध कीजिये कि AE/BF = AC/BD = CE/FD है।

……….,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

14. आकृति 6.21 में, PA, QR, RC और SD में से प्रत्येक रेखा ∫ पर लंब है, AB = 6 cm, BC = 9 cm, CD = 12 cm और SP = 36 cm है। PQ, QR और RS ज्ञात कीजिये।

15. एक समलंब ABCD, जिसमें AB // DC है, के विकणों AC और BD का प्रतिच्छेद बिंदु O है। O से होकर एक रेखाखंड PQ भुजा AB के समांतर खींचा गया है, जो AD को P और BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिये कि PO = QO है।

16. आकृति 6.22 में, रेखाखंड DF त्रिभुज ABC की भुजा AC को बिंदु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि E, भुजा AC का मध्य – बिंदु है और ∠AEF = ∠AFE है। सिद्ध कीजिये कि BD/CD = BF/CE है।

(संकेत : AB पर ऐसा बिंदु G लीजिये कि CG II DF हो)

17. सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए अर्द्धव्रत का क्षेत्रापफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए अर्द्धवर्तो के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।

18. सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर खींचे गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर खींचे गए समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों वेफ योग वेफ बराबर होता है।

कक्षा 10 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर –त्रिभुज

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