कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – द्विपद प्रमेय

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – द्विपद प्रमेय यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ द्विपद प्रमेय के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 8 – द्विपद प्रमेय के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 8 – द्विपद प्रमेय

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – द्विपद प्रमेय

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 8 – द्विपद प्रमेय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

8.1 समग्र अवलोकन (Overview)

8.1.1 चिन्हों ‘+’ या ‘–’ द्वारा जुड़े हुए दो पदों से बना व्यंजक एक द्विपद व्यंजक कहलाता है।

8.1.2 द्विपद प्रमेय यदि a और b दो वास्तविक संख्याएँ हैं तथा n एक धनात्मक पूर्णांंक है, तो

8.1.3 कुछ महत्वपूर्ण प्रेक्षण

2. प्रसार के, प्रथम पद में a की घात द्विपद की घात के बराबर है तथा प्रत्येक उत्तरोतर पद में a की घात एक घटती जाती है और साथ ही b की घात एक बढ़ती जाती है। ऐसा तब तक होता रहता है जब तक कि b की घात द्विपद की घात के बराबर न हो जाए। अर्थात्, प्रथम पद में a की घात n, दूसरे पद में (n – 1) और ऐसा आगे भी होता रहता है तथा अंतिम पद में a की घात शून्य हो जाती है। इसके साथ ही, प्रथम पद में b की घात 0 है, दूसरे पद में तीसरे पद में 2 और ऐसा आगे भी होता रहता है तथा अंतिम पद में b की घात n हो जाती है।

3. किसी भी पद में a और b के घातांकों का योग n के बराबर है (अर्थात् द्विपद की घात के बराबर है)।

4. प्रसार में गुणांक एक प्रतिरूप या पैटर्न का अनुकरण करते हैं जिसे पास्कल त्रिभुज कहा जाता है।

किसी भी पंक्ति का प्रत्येक गुणांक इससे पिछली पंक्ति में इस गुणांक के ठीक बाएँ और ठीक दाएँ गुणांकों का योग होता है तथा पंक्ति दोनों ओर से 1 द्वारा परिबद्ध होती है।
(r + 1)वाँ पद या व्यापक पद

8.1.4 कुछ विशेष स्थितियाँ
यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो

5. (1) में, a को 1 से तथा b को –x से प्रतिस्थापित करने पर, हम

8.1.5 अंतिम पद से pवाँ पद

8.1.6 मध्य-पद
मध्य-पद n के मान पर निर्भर करता है।

8.1.7 द्विपद गुणांक

8.2 हल किए हुए उदाहरण
लघु उत्तरीय (S.A)

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

उदाहरण 13 निम्नलिखित में कौन बड़ा है?

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (M.C.Q)

उदाहरण 16 (x + a)⁵¹ – (x – a)⁵¹ के प्रसार में सरलीकरण के बाद पदों की संख्या है

(a) 102 (b) 25 (c) 26 (d) इनमें से कोई नहीं

हल C सही उत्तर है। क्योंकि कुल 52 पद होंगे, जिनमें 26 पद परस्पर कट जाते हैं।

साथ ही, दाएं पक्ष के प्रत्येक पद को प्रसारित करने पर, हम देखते हैं कि
प्रथम पद में एक पद है,
दूसरी पद को सरल करने पर उसमें दो पद हैं,
तीसरे पद को प्रसारित करने पर उसमें तीन पद हैं,
चैथे पद को प्रसारित करने पर उसमें चार पद हैं, और इस प्रकार आगे भी।

अब x¹⁵ वाले पद के गुणांक के लिए,
30 – 3r = 15, अर्थात् r = 5
अतः, x¹⁵ का गुणांक = ¹⁵C₅ (2)⁵ [(1) से],
x से स्वतंत्र पद ज्ञात करने के लिए, 30 – 3r = 0 रखिए।

8.3 प्रश्नवाली

3. (1 – 3x + 7x²) (1 – x)¹⁶ के प्रसार में x का गुणांक ज्ञात कीजिये।

5. निम्नलिखित के प्रसार में, मध्य-पद ज्ञात कीजिएः

6. (x – x2)¹⁰ के प्रसार में x¹⁵ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

9. यदि (1 + x)¹⁸ के प्रसार में (2r + 4) वें और (r – 2) वें पदों के गुणांक बराबर हैं, तो r का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 18 से 24 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q.)

18. (x + a)¹⁰⁰ + (x – a)¹⁰⁰ के प्रसार में सरलीकरण के बाद पदों की कुल संख्या है

(A) n = 2r (B) n = 3r (C) n = 2r + 1 (D) इनमें से कोई नहीं

20. (1 + x)²⁴ के प्रसार में दो उत्तरोत्तर पद, जिनके गुणांकों का अनुपात 1ः 4 है, निम्नलिखित हैं
(A) तीसरा और चौथा (B) चौथा और पाँचवां (C) पाँचवां और छठा (D) छठा और सातवां

प्रश्न 25 से 33 तक रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

25. (1 + x)³⁰ के प्रसार में सबसे बड़ा गुणांक ___________ है।

30. (a³ + ba)²⁸ के प्रसार में मध्य-पद ____________ है।

33. यदि 25¹⁵ को 13 से भाग दिया जाए, तो शेषफल _____________ है।

प्रश्न 34 से 40 तक, कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं:

35. व्यंजक 7⁹ + 9⁷, 64 से विभाज्य है।
संकेत : 7⁹ + 9⁷ = (1 + 8)⁷ – (1 – 8)⁹

36. [(2x + y³)4]⁷ के प्रसार में पदों की संख्या 8 है।

38. संख्या 3⁴⁰⁰ के अंतिम दो अंक 01 हैं।

उत्तरमाला अध्याय 8 (द्विपद प्रमेय)

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