कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

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श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 12 – त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

12.1 समग्र अवलोकन (Overview)

12.1.1 निर्देशांक अक्ष एवं निर्देशांक तल (Coordinate axes and coordinate planes)

मान लीजिये X′OX, Y′OY, Z′OZ तीन परस्पर लंब रेखाएं हैं जो बिंदु O से इस प्रकार जाती हैं कि X′OX एवं Y′OY कागज के तल पर स्थित हैं और Z′OZ कागज के तल पर लंब है। ये तीन रेखाएं समकोणिक अक्ष कहलाती हैं (रेखाएं X′OX, Y′OY एवं ′Z′OZ क्रमशः x- अक्षए ल.अक्ष एवं z- अक्ष कहलाती हैं।) हम इस निर्देशांक निकाय को त्रिविमीय अंतरिक्ष अथवा केवल अंतरिक्ष कहते हैं।

इन तीन अक्षों को एक साथ युग्म रूप में लेने पर xy, yz एवं zx- तलों अर्थात् तीन निर्देशांक तलों को दर्शाते हैं। प्रत्येक तल अंतरिक्ष को दो भागों में विभक्त करता है और तीन निर्देशांक तल एक साथ मिलकर अंतरिक्ष को आठ क्षेत्रों (भागों), अर्थात (i) OXYZ (ii) OX′YZ (iii) OXY′Z (iv) OXYZ′ (v) OXY′Z′ (vi) OX′YZ′ (vii) OX′Y′Z (viii) OX′Y′Z′ (आकृति 12.1) में बाँटते हैं। ये आठ भाग अष्टांशक (Octant) कहलाते हैं।

मान लीजिए P एक ऐसा बिंदु है जो निर्देशांक तल में नहीं बल्कि अंतरिक्ष में स्थित है। बिंदु P से निर्देशांक तलों yz, zx एवं गल के समांतर ऐसे तल खींचिए जो निर्देशांक अक्षों को क्रमशः बिंदुओं A, B एवं C पर मिलें।

वे तीन तल इस प्रकार है :

• (i) ADPF || yz तल
• (ii) BDPE || xz-तल
• (iii) CFPE || xy-तल

ये तल एक समकोणिक षट्फलकिये को दर्शाते हैं जिसमें समकोणिक फलों के तीन युग्म (A D P F, O B E C), (B D P E, C F A O) एवं (A O B D, FPEC) होते हैं (आकृति 12.2)

12.1.2 अंतरिक्ष में एक बिंदु के निर्देशांक (Coordinate of a point in space)

त्रिविमीय अंतरिक्ष में किसी स्वेच्छ बिंदु P के निर्देशांक (x₀, y₀ , z₀ ) होते हैं, यदि

1. yz- तल के समांतर बिंदु P से जाने वाला तल x- अक्ष को (x₀ , 0, 0) पर प्रतिच्छेद करता है।
2. zx- तल के समांतर बिंदु P से जाने वाल तल y- अक्ष को (0, y₀ , 0) पर प्रतिच्छेद करता है।
3. xy- तल के समांतर बिंदु P से जाने वाला तल z- अक्ष को (0, 0, z₀ ) पर प्रतिच्छेद करता है।

अंतरिक्ष निर्देशांक (x₀ , y₀ , z₀ ) बिंदु P के कार्तीय निर्देशांक अथवा समकोणिक निर्देशांक कहलाते हैं। इसके अतिरिक्त हम कह सकते हैं कि तल ADPF (आकृति 12.2) x- अक्ष पर लंब है अथवा ADPF पर लंब है और इस प्रकार x-अक्ष तल ADPF की प्रत्येक रेखा पर लंब है। इसलिए PA एवं OX परस्पर लम्ब हैं। अतः बिंदु A, बिंदु P से x- अक्ष पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है और इस पाद बिंदु A की, बिंदु O से दूरी, बिंदु P का x- निर्देशांक है। इसी प्रकार हम कह सकते हैं कि B एवं C किन्तु P से क्रमशः y- अक्ष एवं z- अक्ष पर खींचे गए लंबों के पाद बिंदु हैं। इन पाद बिंदुओं B एवं C को बिंदु O से दूरियां बिंदु P के क्रमशः y एवं z निर्देशांक है। अतः बिंदु P के निर्देशांक x, y z बिंदु P की तीन निर्देशांक तलों yz, zx एवं xy से क्रमशः दूरियां हैं।

12.1.3 एक बिंदु के निर्देशांकों के चिन्ह (Sign of coordinates of a point)

OX, OY, OZ के अनुदिश अथवा समांतर मापी गई दूरी धनात्मक ली जाती है एवं OX′, OY′, OZ′ के अनुदिश अथवा समांतर मापी गई दूरी ऋणात्मक ली जाती है, तीन परस्पर लंब निर्देशांक तल अंतरिक्ष को आठ भागों में विभक्त करते हैं जिनमें से प्रत्येक भाग अष्टांशक (octant) कहलाता है। किसी बिंदु के निर्देशांकों के चिन्ह उस अष्टांशक (octant) पर निर्भर करते हैं जिसमें वह बिंदु स्थित है। प्रथम अष्टांशक (octant) में सभी निर्देशांक धनात्मक होते हैं और सातवें अष्टांशक (octant) में सभी निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं। तीसरे अष्टांशक (octant) में गए ल निर्देशांक ऋणात्मक एवं z धनात्मक होते हैं। पाँचवें अष्टांशक (octant) में x, y धनात्मक एवं z ऋणात्मक होते हैं। चतुर्थ अष्टांशक (octant) में x, z धनात्मक एवं y ऋणात्मक होते हैं। छठे अष्टांशक (octant) में x, z ऋणात्मक एवं y धनात्मक होते हैं। दूसरे अष्टांशक (octant) में x ऋणात्मक एवं y, z धनात्मक होते हैं।

12.2 हल किये हुए उदहारण

लधु उत्तरीय उदाहरण

उदाहरण 1 : बिंदु (i) (2, 3, 4) (ii) (–2, –2, 3) का अंतरिक्ष में स्थान निर्धारित (locate) कीजिये।

हल :

• (i) बिंदु (2, 3, 4) को अंतरिक्ष में स्थान निर्धारित (locate) करने के लिए हम बिंदु O से x- अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश 2 इकाई आगे बढ़ते हैं मान लीजिए यह बिंदु A(2, O, O) है। इस बिंदु A से y- अक्ष की धनात्मक दिशा के समांतर 3 इकाई की दूरी तय कीजिए। मान लीजिए यह बिंदु B(2, 3, 0) इस बिंदु B से z- अक्ष की धनात्मक दिशा के अनुदिश 4 ईकाई की दूरी तय कीजिये। मान लीजिये यह बिंदु P(2, 3, 4) है।
• (ii) मूल बिंदु से x-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के अनुदिश 2 इकाई की दूरी तय कीजिए। मान लीजिए यह बिंदु A(–2, 0, 0) है। इस बिंदु A से y- अक्ष की ऋणात्मक दिशा के समांतर 2 इकाई दूरी तय कीजिए। मान लीजिए यह बिंदु (–2, –2, 0) बिंदु B से z- अक्ष की धनात्मक दिशा के समांतर 3 इकाई दूरी तय कीजिए। यह हमारा अभीष्ट बिंदु Q (–2, –2, 3) है (आकृति 12.4)

उदाहरण 2 : निम्नलिखित तलों का रेखाचित्रा बनाईए (i) x = 1 (ii) y = 3 (iii) z = 3

हल :

• (i) तल का समीकरण x = 0, yz तल को निरूपित करता है और तल का समीकरण x = 1, yz तल के समांतर एक ऐसे तल को निरूपित करता है जो yz तल से ऊपर की तरफ 1 इकाई की दूरी पर है। अब हम ल्र तल के समांतर, ऊपर की तरफ एक इकाई की दूरी पर एक अन्य तल खींचते हैं। (आकृति 12.5 (a))
• (ii) तल का समीकरण y = 0, xz तल को निरूपित करता है और तल का समीकरण y = 3, एक ऐसे तल को निरूपित करता है जो xz तल के समांतर है और xz तल से ऊपर की तरफ 3 इकाई की दूरी पर स्थित है (आकृति 12.5 (b) )
• (iii) तल का समीकरण z = 0, xy तल को निरूपित करता है और z = 3, xy तल के समांतर ऊपर की दिशा में 3 ईकाई की दूरी पर एक अन्य तल को निरूपित करता है। (आकृति 12.5)

उदाहरण 3 : मान लीजिये बिंदु P (3, 4, 5) से x, y एवं z अक्ष पर खींचे गए लंबो के पाद बिंदु क्रमशः L, M एवं N हैं। L, M एवं N के निर्देशांक ज्ञात कीजिये।

हल : क्योंकि बिंदु L, बिंदु P से x- अक्ष पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है इसलिए इसके y एवं z निर्देशांक शून्य हैं। अत: L के निर्देशांक (3, 0, 0) हैं। इसकी प्रकार M एवं N के निर्देशांक (0, 4, 0) एवं (0, 0, 5) हैं।

उदाहरण 4 : मान लीजिये L, M, N किसी बिंदु P(3, 4, 5) के क्रमशः xy, yz एवं zx तलों पर खींचे गए लंब खंडों के पाद बिंदु हैं L, M, एवं N के निर्देशांक क्या हैं ?

हल : क्योंकि L बिंदु P से xy तल पर खींचे गए लंबखंड का पाद बिंदु है और xy तल पर z निर्देशांक शून्य है, इसलिए L के निर्देशांक (3, 4, 0) हैं। इसी प्रकार हम M (0, 4, 5) एवं N (3, 0, 5) ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 5 : मान लीजिये L, M, N किसी बिंदु P(3, 4, 5) से क्रमशः xy, yz एवं zx तलों पर खींचे गए लंबखंडो के पाद बिंदु है। इन बिंदुओं L, M, N का बिंदु P से दूरिया ज्ञात कीजिये।

हल : क्योंकि L बिंदु P से xy तल खींचे गए लंबखंडों का पाद बिंदु है। इसलिए बिंदु के निर्देशांक (3, 4, 0) है। बिंदु (3, 4, 5) एवं बिंदु (3, 4, 0) के बिच की दुरी 5 इकाई है। इसी प्रकार हम yz एवं zx तल पर खींचे गए लंबखंडों की लम्बाई ज्ञात कर सकते हैं जो क्रमशः 3 इकाई एवं 4 इकाई है।

उदाहरण 6 : दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए दर्शाइए कि बिंदु P (2, 4, 6), Q (– 2, – 2, – 2) एवं R (6, 10, 14) संरेख हैं।

उदाहरण 15 : एक समकोणिक षट्फलकीय के शीर्ष एवं किनारा ज्ञात कीजिए यदि उसका एक शीर्ष (3, 5, 6) प्रथम अष्टांशक में है, एक शीर्ष मूल बिंदु पर है और उसके किनारे x, y एवं z अक्षों के अनुदिश हैं।

हल : षट्फलकीय के छः तल निम्न प्रकार हैं – तल OABC, xy-तल में स्थित है। इस तल में स्थित प्रत्येक बिंदु का z निर्देशांक शून्य है। इस तल में xy का समीकरण z = 0, तल PDEF, xy तल के समांतर एवं ऊपर की तरफ 6 ईकाई की दूरी पर स्थित है। इस तल का समीकरण z = 6 है। तल ABPF, तल x = 3 का निरूपित करता है। तल OCDE, yz-तल में स्थित है और इस तल का समीकरण x = 0 है। तल AOEF, xz तल में स्थित है। इस तल में स्थित प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य है। इसलिए इस तल का समीकरण y = 0 है। तल BCDP, तल AOEF के समांतर y = 5 की दूरी पर है। किनारा OA, x- अक्ष पर स्थित है x-अक्ष का समीकरण y = 0 एवं z = 0 है। किनारा OC एवं OE क्रमशः y- अक्ष एवं z- अक्ष पर स्थित हैं। y- अक्ष के समीकरण z = 0, x = 0 है। z-अक्ष,,,

वस्तुनिष्ट प्रश्न

उदाहरण संख्या 18 से 23 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिएः (M.C.Q)

उदाहरण 19 : बिंदु P (6, 7, 8) की xy- तल से लम्बवत्त दूरी है :

• (A) 8
• (B) 7
• (C) 6
• (D) इसमें से कोई नहीं है।

हल : मान लीजिये बिंदु P(6, 7, 8) से xy तल पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु L है और इस पाद बिंदु L की P से दूरी, P से दूरी, P के Z निर्देशांक के समान है। अर्थात 8 ईकाई है।

उदाहरण 20 : बिंदु P (6, 7, 8) से xy – तल पर खींचे गए लंबा का पाद बिंदु L है।बिंदु L के निर्देशांक है :

• (A) (6, 0, 0)
• (B) (6, 7, 0)
• (C) (6, 0, 8)
• (D) इनमें से कोई

हल : क्योंकि बिंदु L, बिंदु P से xy- तल पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है। और बिंदु xy – तल में z निर्देशांक शून्य है। इसलिए L के निर्देशांक (6 7, 0) हैं।

उदाहरण 21 : किसी बिंदु (6, 7, 8) से x- अक्ष पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु L है। L के निर्देशांक है:

• (A) (6, 0, 0)
• (B) (0, 7, 0)
• (C) (0, 0, 8)
• (D) कोई नहीं

हल : क्योंकि बिंदु L, बिंदुओं से P से x- अक्ष पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है और y एवं z- निर्देशांक शून्य हैं। अतः L के निर्देशांक (6, 0, 0) हैं।

उदाहरण 22 : एक बिंदु, जिसके लिए y = 0, z = 0, का बिंदु पथ है :

• (A) x- अक्ष का समीकरण
• (B) y- अक्ष का समीकरण
• (C) z- अक्ष का समीकरण
• (D) इनमें से कोई नहीं

हल : जिस बिंदु के लिए y = 0, z = 0 उसका बिंदुपथ x- अक्ष है क्योंकि x-अक्ष पर y एवं z दोनों शून्य होते हैं।

उदाहरण 23 : बिंदु L, बिंदु P (3, 4, 5) से xz तल पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है। बिंदु L के निर्देशांक है :

• (A) (3, 0, 0)
• (B) (0, 4, 5)
• (C) (3, 0, 5)
• (D) (3, 4, 0)

हल : क्योंकि L, बिंदु P (3, 4, 5) से xz- तल पर डालें गए लंब का पाद बिंदु है और xz तल में स्थित सभी बिंदुओं का y निर्देशांक शून्य है। इसलिए लंब के पाद बिंदु के निर्देशांक (3, 0, 5) है। उदाहरण संख्या 24 से 28 में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः

उदाहरण 24 : एक रेखा xy तल के समांतर है, यदि रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं के _______ समान है।

हल : xy तल के समांतर रेखा पर सभी बिंदुओं के z निर्देशांक समान होते हैं।

उदाहरण 25 : समीकरण x = b __ तल के समांतर एक ताल को निरूपित करता है।

हल : क्योंकि x = 0, yz तल को निरूपित करता है इसलिए x = b, yz तल के समांतर मूलबिंदु से b इकाई की दूरी पर एक अन्य तल को निरूपित करता है।

उदाहरण 27 : L, बिंदु P (3, 4, 5) से zx तल पर खींचे गए लंब का पाद बिंदु है। L के निर्देशांक ____ हैं।

हल : क्योंकि, L बिंदु P से zx-तल पर बनाए गए लंब का पाद बिंदु है और zx तल में प्रत्येक बिंदु का y निर्देशांक शून्य है। अतः L के निर्देशांक (3, 0, 5) हैं।

बताइए कि उदाहरण संख्या 29 से 36 तक के कथन सत्य है अथवा असत्य है-

उदाहरण 29 : y – अक्ष एवं z- अक्ष संयुक्त रूप से एक तल का निर्धारण करते हैं जिसे yz तल कहा जाता है।

हल : सत्य

उदाहरण 30 : बिंदु (4, 5, – 6) छठे अष्टांशक में स्थत हैं।

हल : असत्य, बिंदु (4, 5, – 6) 5वें अष्टांशक में है।

उदाहरण 31 : x-अक्ष, दो तलों xy-तल एवं xz तल का प्रतिच्छेदन है।

हल : सत्य

उदारहण 32 : तीन परस्पर लंब तल अंतरिक्ष को आठ अष्टांशक में विभाजित करते हैं।

हल : सत्य

उदाहरण 33 : तल का समीकरण z = 6 एक ऐसे तल को निरूपित करता है जो xy- तल के समांतर है और जिसका z अंत: खंड 6 इकाई है।

हल : सत्य

उदाहरण 34 : तल का समीकरण x = 0, yz- को निरूपित करता है।

हल : सत्य

उदाहरण 35 : x- अक्ष का बिंदु, जिसका x- निर्देशांक x₀ है, को (x₀ , 0, 0) वेफ रूप में लिखा जाता है।

हल : सत्य

उदाहरण 36 : x = x₀ , yz- तल के समांतर एक तल को निरूपित करता है।

हल : सत्य

12.3 प्रश्नावली

लधु उत्तरीय प्रश्न

1 . निम्नलिखित बिंदुओं का स्थान निर्धारित (Locate) कीजिएः

• (i) (1, – 1, 3)
• (ii) (– 1, 2, 4)
• (iii) (– 2, – 4, –7)
• (iv) (– 4, 2, – 5).

2. निम्नलिखित बिंदुओं में से प्रत्येक के लिए उस अष्टांश (octane) का नाम लिखिए जिसमें वह बिंदु स्थित हैः

• (i) (1, 2, 3)
• (ii) (4, – 2, 3)
• (iii) (4, –2, –5)
• (iv) (4, 2, –5)
• (v) (– 4, 2, 5)
• (vi) (–3, –1, 6)
• (vii) (2, – 4, – 7)
• (viii) (– 4, 2, – 5).

3. एक बिंदु P से x, y एवं z अक्ष पर बनाए गए लंबों वेफ पाद बिंदु क्रमशः A, B, C हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए A, B, C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

• (i) (3, 4, 2)
• (ii) (–5, 3, 7)
• (iii) (4, – 3, – 5)

4. एक बिंदु P से xy, yz एवं zx तल पर बनाए गए लंबों के पाद बिंदु क्रमशः A, B एवं C हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए A, B, C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु P है –

• (i) (3, 4, 5)
• (ii) (–5, 3, 7)
• (iii) (4, – 3, – 5)

5. बिंदु (2, 0, 0) एवं (–3, 0, 0) एक दूसरे से कितनी दूरी पर हैं ?

6. मूल बिंदु से बिंदु (6, 6, 7) तक की दूरी ज्ञात कीजिये।

8. दर्शाइए कि बिंदु A (1, – 1, 3), B (2, – 4, 5) एवं C(5, – 13, 11) संरेख है।

9. एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन क्रमागत शीर्ष A (6, – 2, 4), B (2, 4, – 8), C (–2, 2, 4) है। चैथे शीर्ष वेफ निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(संकेत : समान्तर चतुर्भुज के विकरणों के मध्य बिंदु समान होते हैं।)

10. दर्शाइए कि त्रिभुज ABC जिसके शीर्ष A (0, 4, 1), B (2, 3, – 1) ,एवं C (4, 5, 0) हैं, एक समकोण त्रिभुज है।

11. दर्शाइए कि त्रिभुज का तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिये जिसका केन्द्रक मूल बिंदु है और दो शीर्ष (2, 4, 6) एवं (0, –2, –5) हैं।

12. एक त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए यदि उसकी भुजाओं के मध्य बिंदु D (1, 2, – 3), E (3, 0, 1) ,एवं F (– 1, 1, – 4) हैं।

13. एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु ;(5, 7, 11), (0, 8, 5) ,एवं (2, 3, – 1) हैं। त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात कीजिए।

14. एक समांतर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष A (1, 2, 3), B (– 1, – 2, – 1) एवं C (2, 3, 2) हैं। चैथा शीर्ष D ज्ञात कीजिए।

15. ऐसे बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A (2, 1, – 3) तथा B (5, – 8, 3) को मिलाने वाले रेखा खंड को समत्रिभाजित करते हैं।

16. यदि एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (a, 1, 3), B (– 2, b, – 5) ,एवं C (4, 7, c) हैं तथा वेफन्द्रक मूल बिंदु पर है, तो a, b, c के मान ज्ञात कीजिए।

17. मान लीजिए कि A (2, 2, – 3), B (5, 6, 9) ,एवं C (2, 7, 9) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। कोण A का अंतः समद्विभाजक BC को बिंदु D पर मिलाता है। D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

दीर्ध उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

18. दर्शाइए कि तीन बिंदु A (2, 3, 4), B (–1, 2, – 3) ,एवं C (– 4, 1, – 10) संरेख हैं। बिंदु C द्वारा AB को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।

19. एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु (1, 5, – 1), (0, 4, – 2) ,एवं (2, 3, 4) हैं। त्रिभुज के शीर्ष तथा केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

20. सिद्ध कीजिए कि बिंदु (0, – 1, – 7), (2, 1, – 9) ,एवं (6, 5, – 13) संरेख हैं। प्रथम बिंदु द्वारा अन्य दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करने का अनुपात ज्ञात कीजिए।

21. दो इकाई भुजा वाले एक घन के शीर्ष क्या हैं, यदि उसका एक शीर्ष मूल बिंदु के संपाती है, और मूल बिंदु से जाने वाली तीन भुजाएं मूलबिंदु से जाने वाली अक्षों की धनात्मक दिशाओं के संपाती हैं।

वस्तुनिष्ठीय प्रश्न

प्रश्न संख्या 22 से 34 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए- (M.C.Q.)

प्रश्न संख्या 35 से 49 में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए-

35. तीन अक्ष OX, OY, OZ बनाते हैं ______

36. तीन तल समकोणिक षट्पफलकीय को दर्शाते हैं, जिसमें ______ समकोणिक फल होते है।

37. किसी बिंदु के निर्देशांक _____ से क्रमागत अक्षों पर लंबवत् दूरी होती है।

38. तीन निर्देशांक तल अंतरिक्ष को _____ भागों में विभाजित करते हैं।

39. यदि कोई बिंदु P, yz तल में स्थित है, तो yz तल में उस बिंदु के निर्देशांक _____ के रूप में होंगे।

40. yz तल का समीकरण ______है।

41. यदि बिंदु P, z- अक्ष पर स्थित है, तो P के निर्देशांक _____ के रूप में होंगे।

42. z- अक्ष का समीकरण ____ है।

43. एक रेखा xy तल के समांतर है, यदि रेखा के सभी बिंदुओं का _______ समान है।

44. एक रेखा x- अक्ष के समांतर है यदि रेखा के सभी बिंदुओं का _____ समान है।

45. x = a एक ऐसे तल को निरूपित करता है जो ____ के समांतर है।

46. yz- तल के समांतर तल _____ के लंबवत है।

47. एक समकोणिक कमरे की विमाएं 10, 13 एवं 8 इकाई है। उस कमरे में सीधे फैलाई जा सकने वाली रस्सी की अधिकतम लम्बाई _______ है।

48. यदि बिंदुओं (a, 2, 1) ,एवं (1, –1, 1) ) के बीच की दूरी 5 है, तो a का मान ______ है।

49. यदि एक त्रिभुज की भुजाओंAB, BC, CA के मध्य बिंदु क्रमशः D (1, 2, – 3), E (3, 0, 1) ,एवं F (–1, 1, – 4) हैं, तो त्रिभुज ABC का केन्द्रक _____ है।

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