कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – गणितीय विवेचन

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श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 14 गणितीय विवेचन

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – गणितीय विवेचन

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 14 – गणितीय विवेचन के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

गणितीय विवेचन

14.1 समग्र अवलोकन (Overview)

यदि कोई वस्तु या तो काली है या सफ़ेद है और यदि वह काली नहीं है, तो तर्क (logic) हमें इस निष्कर्ष की ओर प्रेरित करता है कि वह वस्तु निश्चित ही सफ़ेद है। ध्यान दीजिए कि प्रदत्त परिकल्पना (hypotheses) से तार्किक विवेचन, यह उद्घाटित (reveal) नहीं कर सकता कि ‘काली’ या ‘सफ़ेद’ का अर्थ क्या है या कोई वस्तु दोनों ही क्यों नहीं हो सकती है? वस्तुतः तर्वफशास्त्र किसी विशेष अर्थ अथवा संदर्भ के उल्लेख किए बिना, विवेचन के व्यापक (general) प्रतिरूप (पैटर्न) का अध्ययन है।

14.1.1 कथन (Statements)

कथन एक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य परन्तु एक ही साथ दोनों नहीं होता है।

टिप्पणीः कोई वाक्य कथन नहीं हो सकता यदि

• (i) वह विस्मयादिबोधक है
• (ii) वह एक आदेश या प्रार्थना है
• (iii) वह प्रश्नवाचक है
• (iv) उसमें अनिश्चित समय जैसे ‘आज’, ‘कल’, ‘बीता हुआ’ आदि का उल्लेख है।
• (v) उसमें अनिश्चित स्थान जैसे ‘यहाँ’, ‘वहाँ’, ‘सभी जगह (सर्वत्र)’ आदि का उल्लेख होता है।
• (vi) उसमें सर्वनाम जैसे ‘वह’, ‘वे’ आदि का उल्लेख है।

उदाहरण 1

• (i) वाक्य “नई दिल्ली भारत में है।” सत्य है। अतः यह एक कथन है।
• (ii) वाक्य प्रत्येक आयत एक वर्ग है। “असत्य है। अतः यह एक कथन है।
• (iii) वाक्य “दरवाज़ा बंद कीजिए। “को सत्य या असत्य निर्धारित नहीं किया जा सकता है (वस्तुतः, यह एक आदेश है)। अतः इसे कथन नहीं कहा जा सकता है।
• (iv) वाक्य “आपकी आयु कितनी है?” को सत्य या असत्य निर्धारित नहीं किया जा सकता है (वस्तुतः, यह प्रश्नवाचक है)। अतः यह एक कथन है।
• (v) वाक्य “x एक प्राकृत संख्या है।” की सत्यता या असत्यता x के मान पर निर्भर है। अतः इसे एक कथन नहीं माना (समझा) जा सकता है। तथापि (however) कुछ पुस्तकों में इसे मुक्त (open) कथन कहा गया है।

टिप्पणी: किसी कथन की ‘सत्यता’ या ‘असत्यता’ को उसका सत्यमान (Truth value) कहते हैं।

14.1.2 सरल कथन (Simple statement) एक कथन सरल कथन कहलाता है, यदि उसे दो या दो से अधिक कथनों में खण्डित नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 2 : कथन ‘2 एक सम संख्या है।’, ‘किसी वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।’ और ‘चंडीगढ़, हरियाणा की राजधानी हैं।’ सभी एक सरल कथन हैं।

14.1.3 संयुक्त कथन (Compound statements) एक संयुक्त कथन वह है, जो दो या दो से अधिक सरल कथनों से मिल कर बना होता है।

उदाहरण 3 : कथन ‘संख्या 11 विषम तथा अभाज्य दोनों ही है।’ को दो सरल कथनों ‘11 एक विषम संख्या है।’ तथा ‘‘11 एक अभाज्य संख्या है।’’ में खण्डित किया जा सकता है। अतः यह एक संयुक्त कथन है।

टिप्पणी : वे सरल कथन, जिनके संयोजन से एक संयुक्त कथन बनता है, संयुक्त के घटक (Component) कथन कहलाते है।

14.1.4 आधारभूत (आधारीय) तार्किक संयोजक (Basic logical connectives) सरल कथनों को मिलाकर नए कथनों या संयुक्त कथनों की रचना करने की अनेक विधियाँ हैं। वे शब्द जो सरल कथनों को सम्मिलित या परिवर्तित करके नए कथनों या संयुक्त कथनों की रचना करते हैं, संयोजक कहलाते हैं। आधारीय संयोजक (तार्किक) ‘संयोजन (conjunction)’ अंगरेशी शब्द and (और) के संगत है: ‘वियोजन (disjunction) शब्द or (या)’ के संगत है तथा ‘निषेधन ;(negation)’ शब्द ‘not (नहीं)’ के संगत है।

हम संयोजन को व्यक्त करने के लिए प्रतीक ‘∧’ वियोजन को व्यक्त करने के लिए प्रतीक ‘∨’ तथा निषेधन को व्यक्त करने के लिए प्रतीक ‘~’ का प्रयोग आद्योपान्त (throughout) करते रहेंगे।

टिप्पणीः निषेधन को एक संयोजक कहते हैं, यद्यपि यह दो या दो से अधिक कथनों को मिलाता नहीं है। वास्तव में यह किसी कथन का केवल रूपान्तरण (modification) कर देता है।

14.1.5 संयोजन (Conjunction) यदि दो सरल कथन च तथा p शब्द q शब्द ‘और (and)’ द्वारा सम्बद्ध हों, तो परिणामी संयुक्त कथन “p और q” को p तथा q का संयोजन कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में “p ∧ q” लिखते हैं।

उदाहरण 4 : निम्नलिखित सरल कथनों का संयोजन कीजिये।

p : दिनेश एक लड़का है।
q : नगमा एक लड़की है।

हल : कथन p तथा q का संयोजन p ∧ q : दिनेश एक लड़का है और नगमा एक लड़की है। के द्वारा व्यक्त होता है।

उदाहरण 5 : निम्नलिखित कथन का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिएः
“जैक और जिल पहाड़ी वेफ ऊपर गए। “

हल : प्रदत्त कथन निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है :
“जैक पहाड़ी के ऊपर गया और जिल पहाड़ी के ऊपर गई।”

मान लीजिए कि p : जैक पहाड़ी के ऊपर गया। तथा q : जिल पहाड़ी के ऊपर गई। तब प्रतीकात्मक रूप में दिया गया कथन p ∧ q है।
दो सरल कथनों p तथा q के संयोजक p ∧ q के सत्यापन के संबंध में निम्नलिखित नियम है:

(D₁) : कथन p ∧ q का सत्यामान T (सत्य) होता है, जब-जब (whenever) p तथा q दोनों के सत्यमान T होते हैं।
(D₂) कथन p ∧ q का सत्यमान F (असत्य) होता है, जब-जब या तो p या q या दोनों के सत्यमान F होते हैं।

उदाहरण 6 : निम्नलिखित चार कथनों में से प्रत्येक का सत्यमान लिखिएः

• (i) दिल्ली भारत में है और 2 + 3 = 6.
• (ii) दिल्ली भारत में है और 2 + 3 = 5.
• (iii) दिल्ली नेपाल में है और 2 + 3 = 5.
• (iv) दिल्ली नेपाल में है और 2 + 3 = 6.

हल : उपर्युक्त (D₁) तथा (D₂) को ध्यान में रखते हुए हम देखते हैं कि कथन (i) का सत्यमान F है, क्योंकि कथन “2 + 3 = 6” का सत्यमान F है। साथ ही, कथन (ii) का सत्यमान T है, क्योंकि दोनों कथनों ‘‘दिल्ली भारत में है।’’ तथा “2 + 3 = 5” के सत्यमान T हैं। इसी प्रकार दोनों कथनों (iii) तथा (iv) के सत्यमान F हैं।

14.1.6 वियोजन (Disjunction) : यदि दो सरल कथन p तथा q शब्द ‘या (or)’ द्वारा सम्बन्द्ध हो तो परिणामी संयुक्त कथन “p या q” को p तथा q का वियोजन कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में “p ∨ q” लिखते हैं।

उदाहरण 7 : निम्नलिखित सरल कथनों के वियोजन की रचना कीजिएः

p : सूर्य चमकता है।
q : वर्षा होती है।

हल : कथन p तथा q का वियोजन निम्नलिखित प्रकार है :
p ∨ q : सूर्य चमकता है या वर्षा होती है।

दो सरल कथन p तथा q के वियोजन के सत्यमान के संबंध में निम्नलिखित नियम हैंः

(D₃) : कथन p ∨ q का सत्यमान F होता है जब p तथा q दोनों के सत्यमान F होते हैं।
(D₄) : कथन p ∨ q का सत्यमान T होता है, जब या तो p या q या दोनों के सत्यापन T होते हैं।

उदाहरण 8 : निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक का सत्यमान लिखिएः

• (i) भारत एशिया में हैं या 2 + 2 = 4.
• (ii) भारत एशिया में है या 2 + 2 = 5.
• (iii)भारत यूरोप में है या 2 + 2 = 4.
• (iv) भारत यूरोप में है या 2 + 2 = 5.

हल : उपर्युक्त (D₃) तथा (D₄) को ध्यान में रखते हुए हम देखते हैं कि केवल अंतिम कथन का सत्यमान F है, क्योंकि उसके दोनों ही उप-कथनों ‘‘भारत यूरोप में है।’’ तथा 2 + 2 = 5” के सत्यमान F हैं। शेष (i) से (iii) तक के सभी कथनों का सत्यमान T है, क्योंकि इन कथनों के उप-कथनों में से कम से कम एक का सत्यमान T है।

14.1.7 निषेधन (Negation) : किसी कथन के असफल होने को व्यक्त करने वाले एक निश्चयात्मक कथन को अथवा किसी कथन के खण्डन (अस्वीकृति) को उस कथन का निषेधन कहते हैं। किसी कथन के निषेधन की रचना सामान्यतः उस कथन में किसी उपयुक्त स्थान पर शब्द ‘‘नहीं’’ की प्रविष्टि द्वारा अथवा उस कथन के पहले (प्रारंभ में) कथन ‘‘यह वस्तुस्थिति नहीं है कि’’ अथवा ‘‘यह असत्य है कि’’ को लगा कर लिया जाता है।

किसी कथन p के निषेधन को प्रतीकात्मक रूप में “~ p” लिखते हैं।

उदाहरण 10 : निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक के निषेधन का सत्यमान लिखिएः

• (i) p : प्रत्येक वर्ग एक आयत है।
• (ii) q : पृथ्वी एक तारा है।

हल : (D₅) तथा (D₆) का ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं, कि ~p का सत्यमान F है, क्योंकि p का सत्यमान T है। इसी प्रकार ~q तथा ~r के सत्यमान T हैं, क्योंकि दोनों कथनों q तथा r के सत्यमान F हैं।

14.1.8 संयुक्त कथनों के निषेधन

14.1.9 संयोजन का निषेधन : स्मरण कीजिये कि संयोजन p ∧ q दो घटक कथनों p तथा q से बना है, जिन दोनों का अस्तित्व एक साथ (simultaneously) होता है। अतः संयोजन के निषेधन का अर्थ, दो घटक कथनों में से कम से कम एक का निषेधन है।

(D₇) : संयोजन p ∧ q का निषेधन, p के निषेधन तथा q के निषेधन का वियोजन होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं, कि
~ (p ∧ q) = ~ p ∨ ~ q

उदाहरण 11 : निम्नलिखित संयोजन में से प्रत्येक का निषेधन लिखिएः

• (a) पेरिस फ्राँस में है और लन्दन इंगलैण्ड में है।
• (b) 2 + 3 = 5 और 8 < 10.

14.1.10 वियोजन का निषेधन स्मरण कीजिए कि वियोजन p ∨ q दो घटक कथनों p तथा q से बना है, जो इस प्रकार हैं कि या तो p या q या दोनों का अस्तित्व है। इसलिए वियोजन के निषेधन का अर्थ p तथा q दोनों का ही एक साथ निषेधन है।

अत: प्रतीकात्मक रूप में
(D₈) : वियोजन p ∨ q का निषेधन, p के निषेधन तथा q के निषेधन का संयोजन होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं, कि
~ (p ∨ q) = ~ p ∧ ∼ q

उदाहरण 12 : निम्नलिखित वियोजन में से प्रत्येक का निषेधन लिखिएः

• (a) राम कक्षा X में है या रहीम कक्षा XII में है।
• (b) 7, 4 से बड़ा है या 6, 7 से छोटा है।

14.1.11 निषेधन का निषेधन (Negation of a negation) जैसा कि पहले ही कहा जा चुका है कि निषेधन एक संयोजक नहीं है किन्तु मात्रा एक रूपांतरण (modifier) है। यह किसी प्रदत्त कथन को केवल रूपांतरित कर देता है तथा केवल एक अकेले (एकाकी) सरल या संयुक्त कथन पर लागू होता है। इसलिए, (D₅) तथा (D₆) को ध्यान में रखते हुए किसी कथन p के लिए, (D₉) किसी कथन के निषेधन का निषेधन स्वयं मूल कथन ही होता है। समतुल्यतः हम लिखते हैं कि ~ ( ~ p) = p

14.1.12 सप्रतिबंध कथन (The conditional statement) स्मरण कीजिए कि, यदि p तथा q कोई दो कथन हों, तो p तथा q को संयोजक ‘‘यदि …… तो’’ द्वारा जोड़ने पर प्राप्त संयुक्त कथन ‘‘यदि p तो q’’ को एक सप्रतिबंध कथन अथवा एक अंतर्भाव (implication) कहते हैं तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में p → q अथवा p ⇒ q लिखते हैं। यहाँ, p को सप्रतिबंध कथन (p ⇒ q) की परिकल्पना (hypothesis) अथवा पूर्वपद (anticedent) तथा q को निष्कर्ष (conclusion) अथवा परपद (Consequent) कहते हैं।

टिप्पणी : सप्रतिबंध कथन p ⇒ q को अन्य अनेक प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है। इसके लिए प्रचलित कुछ अभिव्यक्तियों निम्नलिखित हैं :

• (a) यदि p, तो q
• (b) q यदि p
• (c) p केवल यदि q
• (d) p पर्याप्त है q के लिए।
• (e) q अनिवार्य है q के लिए

ध्यान दीजिए कि सप्रतिबंध कथन p → q इस बात को प्रकट करता है कि जब-जब यह ज्ञात है कि p सत्य है, तब यह अर्थ अनिवार्यतः निकलता है कि q भी सत्य है।

उदहारण 13 : निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सप्रतिबंध कथन भी हैंः

• (i) यदि 2 + 2 = 5, तो रेखा को आइसक्रीम मिलेगी
• (ii) यदि आप रात्रि का भोजन (dinner) करेंगे, तो आपको मिष्ठान (dessert) मिलेगा।
• (iii) यदि जॉन कठिन परिश्रम करता है , तो आज वर्षा होगी।
• (iv) यदि ABC एक त्रिभुज है, तो ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°

उदहारण 14 : कथन p → q को शब्दों में व्यक्त कीजिये, जहाँ
p : आज वर्षा हो रही है।
q : 2 + 3 > 4

हल : अभीष्ट सप्रतिबंध कथन निम्नलिखित हैः
”यदि आज वर्षा हो रही है, तो 2 + 3 > 4”

14.1.13 सप्रतिबंध कथन का प्रतिधनात्मक (Contrapositive of a conditional statement)
कथन “(~ q) → (~ p)” को कथन p → q का प्रतिधनात्मक कथन कहते हैं।

उदाहरण 15 : निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को उसके समतुल्य प्रतिधनात्मक रूप में लिखिएः

• (i) यदि मेरी कार मरम्मत की दूकान में है, तो मैं बाजार नहीं जा सकता हूँ।
• (ii) यदि करीम किले तक नहीं तैर सकता है, तो वह तैर कर नदी नहीं पार कर सकता है।

हल : (i) मान लीजिये कि, “p : मेरी कार मरम्मत की दुकान में है। “तथा “q : मैं बाजार नहीं जा सकता हूँ। ” तब दिया हुआ कथन प्रतीकात्मक रूप में p → q है। अतएव इसका प्रतिधनात्मक कथन ~ q → ~ p है।

अब ~ p : मेरी कार मरम्मत की दूकान में नहीं है। तथा
तथा ~ q : मैं बाजार जा सकता हूँ।

अत: प्रदत कथन का प्रतिधनात्मक, निम्नलिखित है,
“यदि मैं बाजार जा सकता हूँ, तो मेरी कार मरम्मत की दुकान में नहीं है।”
(ii) (i) के हल के अनुसार सरल करने पर, कथन (ii) का प्रतिधनात्मक निम्नलिखित हैं :
“यदि करीम तैरकर नदी पार कर सकता है, तो वह किले तक तैर सकता है। “

14.1.14 सप्रतिबंध कथन का विलोम (Converse of a conditional statement) :सप्रतिबंध कथन “q → p” को सप्रतिबंध कथन “ p → q ” का विलोम कहते हैं।

उदाहरण 16 : निम्नलिखित कथनों का विलोम लिखिए :

• (i) यदि x < y, तो x + 5 < y + 5
• (ii) यदि ABC का समबाहु त्रिभुज है, तो ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल : (i) मान लीजिये कि,
p : x < y
q : x + 5 < y + 5
इसलिए कथन p → q का विलोम
” यदि x + 5 < y + 5, तो x < y” है।

(ii) प्रदत्त कथन का विलोम,
”यदि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तो ABC समबाहु त्रिभुज है। “

14.1.15 द्विप्रतिबंधित कथन (The biconditional statement) यदि दो कथन p तथा p संयोजक “यदि और केवल यदि’’ द्वारा जुड़े हों, तो परिणामी संयुक्त कथन “p यदि और केवल यदि q”, p तथा q का द्विप्रतिबन्धित कथन कहलाता है तथा इसे प्रतीकात्मक रूप में p ↔ q लिखते हैं।

उदाहरण 17 : निम्नलिखित कथनों के द्विप्रतिबंधित कथन बनाइएः
p : एक, सात से कम है।
q : दो, आठ से कम है।

हल : p तथा q का द्विप्रतिबन्ध (biconditional) निम्नलिखित हैः “एक, सात से कम है, यदि और केवल यदि दो, आठ से कम है। “

उदाहरण 18 : निम्नलिखित द्विप्रतिबन्ध को प्रतीकात्मक रूप में परिवर्तित कीजिएः
“ABC एक समबाहु त्रिभुज है, यदि और केवल यदि, यह समकोणिक है।”

हल : मान लीजिये कि p : ABC एक समबाहु त्रिभुज है। q : ABC एक समकोणिक त्रिभुज है, तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में p ↔q द्वारा व्यक्त होता है।

14.1.16 परिमाणात्मक / मात्रात्मक वाक्यांश (सूक्ति) (Quantifiers) एक ऐसे का अस्तित्व है (there exists)’’ तथा ‘‘प्रत्येक के लिए (for every) – प्रकार वेफ सूक्तियों को परिमाणात्मक वाक्यांश कहते हैं।

हमें अनेक ऐसे गणितीय कथन मिलते हैं जिनमें ये सूक्तियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए,

p : प्रत्येक अभाज्य संख्या x के लिए, √x एक अपरिमेय संख्या है।
q : एक ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर (समान) हों।

14.1.17 कथनों की वैधता (Validity of statements) किसी कथन की वैधता का अर्थ यह जाँचने से है कि कब वह कथन सत्य है तथा कब असत्य है। यह इस बात पर निर्भर करता है कि उस कथन में कौन से संयोजक, परिमाणात्मक वाक्यांश तथा प्रतिबंध का प्रयोग किया गया है।

(i) संयोजक ‘और’ से प्रयुक्त कथन की वैधता
कथन r : p ∧ q को सत्य प्रमाणित करने के लिये, सिद्ध कीजिए कि कथन p सत्य है और कथन q सत्य है।

(ii) संयोजक ‘या’ से प्रयुक्त कथन की वैधता
कथन r : p ∨ q को सत्य प्रमाणित करने के लिए, सिद्ध कीजिए कि या तो कथन p सत्य है या कथन q सत्य है।

(iii) वाक्यांश “यदि……तो ” से प्रयुक्त कथन की वैधता
कथन r : “यदि p, तो q ”, की सत्यता प्रमाणित करने के लिए, हम निम्नलिखित विधियाँ अपना (adopt) सकते हैंः

• (a) प्रत्यक्ष विधि : p को सत्य मानिये और सिद्ध कीजिये कि q सत्य है, अर्थात p ⇒ q
• (b) प्रतिधनात्मक: ~ q को सत्य मानिये और सिद्ध कीजिये कि ~ p सत्य है, अर्थात ~ q ⇒ ~ p
• (c) विरोधोक्ति विधि : p को सत्य और q को असत्य मानिये तथा मान्यता से एक विरोधोक्ति (Contradiction) प्राप्त कीजिये।
• (d) प्रत्युदाहरण द्वारा : किसी दिए हुए कथन को असत्य सिद्ध करने के लिए हम प्रत्युदाहरण (counter example) देते हैं। निम्नलिखित कथन पर विचार कीजिए, “r : सभी अभाज्य संख्याएँ विषम होती हैं। अब r असत्य है, क्योंकि संख्या 2 अभाज्य है और यह एक सम संख्या है।

14.1.18 वाक्यांश “यदि और केवल यदि” से प्रयुक्त कथन की वैधता
कथन “r : p यदि और केवल यदि q” को सत्य प्रमाणित करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रकार अग्रसर होते हैं,

• चरण (Step) 1: सिद्ध कीजिये कि यदि p सत्य है, तो q सत्य है।
• चरण (Step) 2: सिद्ध कीजिये कि यदि q सत्य है, तो p सत्य है।

14.2 हल किये हुये उदाहरण

लधुउत्तरीय प्रश्न

उदाहरण 1 : निम्नलिखित कथनों में से कौन संयुक्त कथन हैं?

• (i) “2 एक सम संख्या और एक अभाज्य संख्या दोनों ही है। “
• (ii) “9 न तो एक सम संख्या है न ही एक अभाज्य संख्या है। “
• (iii) “राम और रहीम दोस्त हैं। “

हल :

• (i) प्रदत्त कथन को दो सरल कथनों ‘‘2 एक सम संख्या है’’ और ‘‘2 एक अभाज्य संख्या है’’ में विखंडित किया जा सकता है, जो संयोजक ‘‘और’’ द्वारा जुड़े हैं। अतः यह एक संयुक्त कथन है।
• (ii) प्रदत्त कथन को निम्नलिखित दो सरल कथनों में विखंडित किया जा सकता है: “9 एक सम संख्या नहीं है’’ और ‘‘ 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है’’, जो संयोजक ‘‘और’’ द्वारा जुड़े हैं। अतः यह एक संयुक्त कथन है।
• (iii) प्रदत्त कथन को दो (या अधिक) सरल कथनों में विखंडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए यह एक संयुक्त कथन नहीं है।

उदाहरण 8 : निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को सप्रतिबंध कथन के रूप में पुनः लिखिएः

• (i) मोहन एक अच्छा विद्यार्थी होगा, यदि वह मेहनत से अध्ययन करे।
• (ii) रमेश को डेशर्ट (भोजनोपरांत मिष्ठान) मिलेगा, केवल यदि वह रात्रि-भोज करे।
• (iii) जब आप गाते हैं, मेरे कानों को तकलीफ होती है।
• (iv) भारतीय टीम के किसी क्रिकेट मैच को जीतने के लिए अनिवार्य प्रतिबंध है कि, चयन समिति एक हरफनमौला (all-rounder) खिलाड़ी का चयन करे।
• (v) तारा को नई दिल्ली की सैर करने के लिए पर्याप्त प्रतिबंध है कि, वह राष्ट्रपति भवन देखने जाए।

उदाहरण 12 : निम्नलिखित द्विप्रतिबंधित कथन का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिएः
“ABC एक समबाहु त्रिभुज है यदि और केवल यदि इसका प्रत्येक अंतःकोण 60° का है।”

हल : मान लीजिए कि, p : ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा q : इसका (त्रिभुज ABC का) प्रत्येक अंतःकोण 60° का है, तो प्रदत्त कथन प्रतीकात्मक रूप में p ↔ q है।

उदाहरण 13 : परिमाणात्मक वाक्यांशों को पहिचानिए तथा निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिएः

• (i) एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है, जो अपने वर्ग के बराबर (तुल्य) होता है।
• (ii) सभी सम पूर्णांकों x के लिए, x² भी सम होता है।
• (iii) एक ऐसी संख्या का अस्तित्व है, जो 6 और 9 का गुणज है।

हल :

• (i) परिमाणात्मक वाक्यांश ‘‘एक ऐसे का अस्तित्व है’’ तथा निषेधन निम्नलिखित है,
  ‘‘ऐसी संख्या का अस्तित्व नहीं है, जो अपने वर्ग के बराबर (तुल्य) है।’’
• (ii) ‘‘सभी के लिए’’ परिमाणात्मक वाक्यांश है तथा इसका निषेधन निम्नलिखित है,
  एक ऐसे सम पूर्णांक x का अस्तित्व है, इस प्रकार कि x² सम नहीं है।
• (iii) “एक ऐसे का अस्तित्व है’’ परिमाणात्मक वाक्यांश है तथा निषेधन निम्नलिखित है ‘‘ऐसी किसी संख्या का अस्तित्व नहीं है, जो 6 और 9 दोनों ही का गुणज है।

वस्तुनिष्ट प्रश्न

उदाहरण 16 से 18 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q.)

उदाहरण 16 : निम्नलिखित में से कौन एक कथन है ?

• (A) गुलाब के फूल काले हैं।
• (B) अपने कार्य पर ध्यान दीजिये।
• (C) समयनिष्ठ (punctual) रहिये।
• (D) झूठ मत बोलिये।

हल : सही उत्तर (A) है, क्योंकि (B), (C) तथा (D) न तो सत्य है और न असत्य है। वास्तव में ये सभी वाक्य ‘परामर्श’ हैं’

उदाहरण 17 : कथन ‘‘वर्षा हो रही है और मौसम ठंडा है।’’ का निषेधन निम्नलिखित में से कौन-सा हैः

• (A) वर्षा नहीं हो रही है और मौसम ठंडा है।
• (B) वर्षा हो रही है या मौसम ठंडा नहीं है।
• (C) वर्षा नहीं हो रही है या मौसम ठंडा नहीं है।
• (D) वर्षा नहीं हो रही है और मौसम ठंडा नहीं है।

हल : (C) सही उत्तर है, क्योंकि यह नियम (D₇), तो संतुष्ट करता है। विकल्प (A), (B), (D), (D₇) को संतुष्ट नहीं करते हैं।

उदाहरण 18 : निम्नलिखित में से कौन-सा कथन ‘‘यदि बिल्लू अच्छे अंक प्राप्त करेगा, तो उसे एक बाइसाईकल मिलेगी’’ का विलोम है?

• (A) यदि बिल्लू को बाईसाईकल नहीं मिलेगी, तो वह अच्छे अंक नहीं प्राप्त करेगा।
• (B) यदि बिल्लू को बाईसाईकल मिलेगी, तो वह अच्छे अंक प्राप्त करेगा।
• (C) यदि बिल्लू को बाईसाईकल मिलेगी, तो वह अच्छे अंक नहीं प्राप्त करेगा।
• (D) यदि बिल्लू को बाईसाईकल नहीं मिलेगी, तो वह अच्छे अंक प्राप्त करेगा।

हल : (B) सही उत्तर है, क्योंकि कथन q → p का विलोम कथन p → q है।

14.3 प्रश्नावली

लधुउत्तरीय प्रश्न

1 . निम्नलिखित वाक्यों में से कौन से कथन है? औचित्य भी दीजिएः

• (i) एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ होती हैं।
• (ii) 0 एक सम्मिश्र संख्या है।
• (iii) आसमान (आकाश) लाल है।
• (iv) प्रत्येक समुच्चय एक अपरिमित समुच्चय होता है।
• (v) 15 + 8 > 23
• (vi) y + 9 = 7
• (vii) आपका बैग (थैला) कहाँ है ?
• (viii) प्रत्येक वर्ग एक आयत होता है।
• (ix) किसी चक्रीय (cyclic) चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योगफल 180° होता है।
• (x) sin² x + cos² x = 0

2. निम्नलिखित संयुक्त कथनों के घटक कथनों को ज्ञात कीजिएः

• (i) संख्या 7 अभाज्य और विषम है।
• (ii) चेन्नई भारत में है और तमिलनाडू की राजधानी है।
• (iii) संख्या 100, संख्याओं 3, 11 और 5 से भाज्य है।
• (iv) चंडीगढ़, हरियाणा और यू.पी. की राजधानी है।
• (v) √7 एक परिमेय संख्या है या एक अपरिमेय संख्या है।
• (vi) 0 प्रत्येक धन पूर्णांक और प्रत्येक ऋण पूर्णांक से कम होता है।
• (vii) पौधे प्रकाश संश्लेषण (photosynthesis) के लिए सूर्य के प्रकाश, पानी और कार्बन-डाइऑक्साइड का प्रयोग करते हैं।
• (viii) कसी समतल में स्थित दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं या वे समांतर होती हैं।
• (ix) एक आयत एक चतुर्भुज होता है या एक 5-भुजाओं का बहुभुज होता है।

3. निम्नलिखित संयुक्त कथनों के घटक कथन लिखिए तथा जाँचिए कि वे सत्य हैं या असत्य हैं ?

• (i) संख्या 57, 2 या 3 से भाज्य है।
• (ii) संख्या 24, 4 और 6 का गुणज है।
• (iii) सभी जीवित वस्तुओं की दो आँखें और दो पैर होते हैं।
• (iv) 2 एक सम संख्या और एक अभाज्य संख्या है।

4. निम्नलिखित सरल कथनों के निषेधन लिखिए:

• (i) संख्या 17, एक अभाज्य संख्या है।
• (ii) 2 + 7 = 6.
• (iii) बैगनी रंग नीला होता है।
• (iv) √5 एक परिमेय संख्या है।
• (v) 2 एक अभाज्य संख्या है।
• (vi) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अभाज्य संख्या है।
• (vii) गाय के चार पैर होते हैं।
• (viii) किसी लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं।
• (ix) सभी समरूप त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
• (x) किसी वृत्त का क्षेत्रफल, वृत्त की परिधि के समान होते है।

5. निम्नलिखित कथनों का प्रतीकात्मक रूप में अनुवाद कीजिए:

• (i) राहुल ने हिंदी और अंग्रेशी विषयों में परीक्षा पास की।
• (ii) x और y सम पूर्णांक हैं।
• (iii) 2, 3 और 6 संख्या 12 के गुणनखंड हैं।
• (iv) या तो x या x + 1 एक विषम पूर्णांक है।
• (v) एक संख्या या तो 2 या 3 से भाज्य है।
• (vi) या तो x = 2 या x = 3, समीकरण 3x² – x – 10 = 0 एक एक मूल है।
• (vii) विद्यार्थीगण हिंदी या अंगरेशी को वैकल्पिक प्रश्नपत्रा के रूप में ले (चुन) सकते हैं।

7. निम्नलिखित कथनों को सप्रतिबंध कथनों के रूप में पुनः लिखिएः

• (i) किसी विषम संख्या का वर्ग विषम होता है।
• (ii) रात्रि -भोज के उपरांत आपको स्वीट डिश मिलेगा।
• (iii) आप फेल (असफल) हो जायेंगे, यदि आप अध्ययन नहीं करेंगे।
• (iv) किसी पूर्णांक का इकाई का अंक 0 या 5 होता है, यदि वह 5 से भाज्य होता है।
• (v) किसी अभाज्य संख्या का वर्ग अभाज्य नहीं होता है।
• (vi) 2b = a + c, यदि a, b और c समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं।

9. निम्नलिखित कथनों के प्रतिधनात्म लिखिए :

• (i) यदि x = y और y = 3, तो x = 3.
• (ii) यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो n एक पूर्णांक है।
• (iii) यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ समान हैं, तो त्रिभुज समबाहु है।
• (iv) यदि x और y ऋण पूर्णांक हैं, तो xy धन है।
• (v) यदि प्राकृत संख्या n, 6 से भाज्य है, तो n, 2 और 3 से भाज्य है।
• (vi) यदि बर्फ़ गिर रही है, तो मौसम ठण्डा होगा।
• (vii) यदि x एक वास्तविक संख्या इस प्रकार है कि 0 < x < 1, तो x² < 1.

10. निम्नलिखित कथनों के विलोम लिखिएः

• (i) यदि एक आयत ‘R’ एक वर्ग है, तो R एक समचतुर्भुज (rhombus) है।
• (ii) यदि आज सोमवार है, तो कल मंगलवार होगा।
• (iii) यदि आप आगरा जाएँ, तो आप ताजमहल निश्चित ही देखिए।
• (iv) यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योगफल उस त्रिभुज की तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो वह एक समकोण त्रिभुज है।
• (v) यदि किसी त्रिभुज के तीनों कोण समान हैं, तो वह एक समबाहु त्रिभुज है।
• (vi) यदि x : y = 3 : 2, तब 2x = 3y
• (vii) यदि S एक चक्रीय चतुर्भुज है, तो S के सम्मुख कोण संपूरक हैं।
• (viii) यदि x शून्य है, तो x न तो धन है और न ऋण है।
• (ix) यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान है।

11. निम्नलिखित कथनों में परिमाणात्मक वाक्यांशों को पहचानिएः

• (i) एक ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है, जो समबाहु नहीं है।
• (ii) सभी वास्तविक संख्याओं x और y के लिए, xy = yx
• (iii) एक ऐसी वास्तविक संख्या का अस्तित्व है, जो एक परिमेय संख्या नहीं है।
• (iv) प्रत्येक प्राकृत संख्या x के लिए, x + 1 भी एक प्राकृत संख्या है।
• (v) सभी प्राकृत संख्याओं x जहाँ x > 3, x² संख्या 9 से बड़ा है।
• (vi) एक ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है, जो समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है।
• (vii) सभी ऋण पूर्णांक x के लिए, x³ भी एक ऋण पूर्णांक है।
• (viii) उपर्युक्त कथनों में एक ऐसे कथन का अस्तित्व है, जो सत्य नहीं है।
• (ix) 2 से भिन्न (अतिरिक्त) एक सम अभाज्य संख्या का अस्तित्व है।
• (x) एक ऐसी वास्तविक संख्या x का अस्तित्व है ताकि, x² + 1 = 0.

वस्तुनिष्ट प्रश्न

प्रश्न संख्या 17 से 36 तक प्रत्येक के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q.)

17. निम्नलिखित में से कौन एक कथन है?

• (A) x एक वास्तविक संख्या है।
• (B) पंखे को बंद कर दीजिये।
• (C) 6 एक प्राकृत संख्या है।
• (D) मुझे जाने दीजिये।

18. निम्नलिखित में से कौन एक कथन नहीं है?

• (A) ध्रूमपान स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है।
• (B) 2 + 2 = 4
• (C) केवल 2 एक सम अभाज्य संख्या है।
• (D) यहाँ आइये।

19. कथन “2 + 7 > 9 ;k 2 + 7 < 9” में संयोजक है

• (A) और
• (B) या
• (C) >
• (D) <

20. कथन ‘‘पृथ्वी सूर्य की परिक्रमा करती है और चंद्रमा, पृथ्वी का एक उपग्रह है।’’ में संयोजक

• (A) या
• (B) पृथ्वी
• (C) सूर्य
• (D) और

21. कथन ‘‘एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है।’’ का निषेधन हैः

• (A) एक दीर्घवृत, एक वृत्त होता है।
• (B) एक दीर्घवृत्त, एक वृत्त नहीं होता है।
• (C) एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त नहीं होता है।
• (D) एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त होता है।

22. कथन “7, 8 से बड़ा है ” का निषेधन है :

• (A) 7, 8 के बराबर है।
• (B) 7, 8 से बड़ा नहीं है।
• (C) 8, 7 से कम है।
• (D) इनमें से कोई नहीं।

32. कथन ‘‘यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है, तो चण्डीगढ़ भारत में है।’’ का प्रतिधनात्मक कथन

• (A) यदि चण्डीगढ़ भारत में नहीं है, तो चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है।
• (B) यदि चण्डीगढ़ भारत में है, तो चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है।
• (C) यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है, तो चंडीगढ़ भारत की राजधानी नहीं है।
• (D) यदि चण्डीगढ़ पंजाब की राजधानी है, तो चण्डीगढ़ भारत में नहीं है।

33. निम्नलिखित में कौन सा सप्रतिबंध कथन च p → q है?

• (A) q पर्याप्त है p के लिए।
• (B) p अनिवार्य है q के लिए।
• (C) p केवल यदि q.
• (D) यदि q, तो p

34. कथन “3 और 4 का गुणनफल 9 है। “का निषेधन है :

• (A) यह असत्य है, कि 3 और 4 का गुणनफल 9 है।
• (B) 3 और 4 का गुणनफल 12 है।
• (C) 3 और 4 का गुणनपुल 12 नहीं है।
• (D) यह असत्य है कि 3 और 4 का गुणनफल 9 नहीं है।

35. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन “एक (कोई) प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी होती है।” का निषेधन नहीं हैः

• (A) एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है।
• (B) यह असत्य है, कि एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी होती है।
• (C) यह असत्य है कि एक प्राकृत संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती है।
• (D) इनमें से कोई नहीं।

36. निम्नलिखित कथनों में से कौन एक संयोजन है?

• (A) राम और श्याम मित्र हैं।
• (B) राम और श्याम दोनों लम्बे हैं।
• (C) राम और श्याम दोनों शत्रु हैं।
• (D) इनमें से कोई नहीं।

37. बतलाइए कि क्या निम्नलिखित वाक्य, कथन हैं या नहीं हैंः

• (i) किसी त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं।
• (ii) चंद्रमा, पृथ्वी एक उपग्रह है।
• (iii) ईश्वर आप पर कृपा करें।
• (iv) एशिया एक महाद्वीप है।
• (v) आप कैसे हैं?

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