कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – गणितीय आगमन का सिद्धांत

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श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 4 – गणितीय आगमन का सिद्धांत

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – गणितीय आगमन का सिद्धांत

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 4 – गणितीय आगमन का सिद्धांत के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

4.1- समग्र अवलोकन (Overview)

गणितीय आगम एक तकनीक (technique) है जिसका प्रयोग विविध प्रकार के गणितीय कथनों का सूत्रिकरण करने में किया जा सकता है, जो n के पदों में सूत्रबद्ध हों, जहाँ n एक धन पूर्णांक है।

4.1.1- गणितीय आगमन का सिद्धांत (The principle of mathematical induction)

मान लीजिए कि प्राकृत संख्या n (धन पूर्णांक) से सम्बद्ध P(n) एक प्रदत्त कथन इस प्रकार है कि,
(i) n = 1 के लिए कथन सत्य है, अर्थात्, P(1) सत्य है। (अथवा कथन किसी निश्चित प्राकृत संख्या के लिए सत्य है) और
(ii) यदि कथन n = k के लिए सत्य है, तो कथन n = k + 1 के लिए भी सत्य है (जहाँ k एक विशेष किन्तु स्वेच्छ प्राकृत संख्या है), तो कथन P(n), सभी प्राकृत संख्याओं के लिए सत्य है।

4.2- हल किए हुए उदाहरण

संक्षिप्त (लघु) उत्तरीय प्रश्न

गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग करके, उदाहरण 1 से 5 तक में दिए कथनों को सिद्ध कीजिए
(n ∈ N)

उदाहरण 1 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

हल मान लीजिए कि दिया कथन P(n) है। अतः P(n) : 1 + 3 + 5 +…+ (2n – 1) = n², ए सभी n∈N के लिए, नोट कीजिए कि P(1) सत्य है, क्योंकि

P(1) : 1 = 1²

मान लीजिए कि किसी P(k) है, अर्थात

P(k) : 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²

अब, P(k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए, हम देखते हैं कि,

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1)
= k² + (2k + 1) (क्यों?)
= k² + 2k + 1 = (k + 1)²

अतः जब कभी P(k) सत्य है तब, P(k +1) भी सत्य है
अतएव गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा P(n), सभी n ∈ N के लिए सत्य है।

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, P(n) सत्य है।

अतएव जब कभी P (k) सत्य है P(k +1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए, P(n) सत्य है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A)

अतएव, जब कभी P(k) सत्य है, P (k + 1) सभी सत्य है।
अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्याओं के लिए, P(n) सत्य है।

उदाहरण 7 बीजगणित (algebra) के वितरण नियम द्वारा सभी वास्तविक संख्याओं c, c, a₁ और a₂ के
लिए, c (a₁+ a₂) = ca₁ + ca₂

अतएव जब कभी P(k) सत्य है, P (k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n ≥ 2 के लिए सत्य है।

उदाहरण 8 आगमन विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए,

sin α + sin (α + β) + sin (α + 2β)+ … + sin (α + (n – 1) β)

हल मान लीजिए कि सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए,

P (n) : sin α + sin (α + β) + sin (α + 2β) + … + sin (α + (n – 1) β)

अतएव, जब कभी P (k) सत्य है, P (k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा, सभी प्राकृत संख्या n के लिए P(n) सत्य है।

उदाहरण 9 गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृत संख्या n के लिए,

1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + n × n! = (n + 1)! – 1

हल मान लीजिए कि P(n) प्रदत्त कथन है, अर्थात्, सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए

P(n) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + n × n! = (n + 1)! – 1

ध्यान दीजिए कि P(1) सत्य है, क्योंकि

P (1) : 1 × 1! = 1 = 2 – 1 = 2! – 1.

मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(n) सत्य है, अर्थात्,

P(k) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + k × k! = (k + 1)! – 1
P (k + 1) को सत्य सिद्ध करने के लिए हम देखते हैं कि,

P (k + 1) : 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + … + k × k! + (k + 1) × (k + 1)!
= (k + 1)! – 1 + (k + 1)! × (k + 1)
= (k + 1 + 1) (k + 1)! – 1
= (k + 2) (k + 1)! – 1 = ((k + 2)! – 1

अतएव, जब कभी P (k) सत्य है (k + 1) भी सत्य है। इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत
द्वारा सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए, P (n) सत्य है।

इसलिए उस दशा में, जब k सम है, P (k + 1) सत्य है, जब कभी P (k) सत्य है। अतएव सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए, P (k + 1) सत्य है, जब कभी P (k) सत्य है।
अतः P (n) सभी प्राकृत संख्याओं n के लिए सत्य है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न
उदाहरण 11 और 12 में सही उत्तर का चयन कीजिए(M.C.Q.)

हल सही उत्तर D है क्योंकि,

उदारहण 12 एक विद्यार्थी को किसी कथन P (n) को गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध करने के लिए कहा
गया। उसने सिद्ध किया कि, सभी k > 5 ∈ N के लिए P (k + 1) सत्य है, जब कभी P (k) सत्य
है और यह कि P (5) भी सत्य है। इसके आधार पर उसने निष्कर्ष निकाला कि P (n) सत्य है,
(A) सभी n ∈ N के लिए (B) सभी n > 5 के लिए
(C) सभी n ≥ 5 के लिए (D) सभी n < 5 के लिए
हल सही उत्तर (C) है, क्योंकि P(5) सत्य है, तथा P(k + 1) सत्य है, जब कभी P (k) सत्य है।

हल : अब n = 1 के लिए
2.4²⁺¹ + 3³⁺¹ = 2.4³ + 3⁴ = 2.64 + 81 = 128 + 81 = 209,
n = 2 के लिए
2.4⁵ + 3⁷ =8.256 + 2187 = 2048 + 2187 = 4235

हलः यह उपपत्ति असत्य (ग़लत) है। क्योंकि आगमन चरण (Induction step) में आगमन परिकल्पना (Induction hypothesis) तथा जो सिद्ध किया जाना है, दोनों ही गलत (दोषपूर्ण हैं)।

4.3- प्रश्नावली

लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)

1. एक ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए, जो सभी n ≥ 4 के लिए सत्य है किंतु P(1), P(2) तथा P(3) सत्य नहीं है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

2. किसी ऐसे कथन P(n) का उदाहरण दीजिए जो n के सभी मानों के लिए सत्य है। अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा प्रश्न संख्या 3 से 16 तक के कथनों में से प्रत्येक को सिद्ध कीजिएः

9. प्रत्येक प्राकृत संख्या n ≥ 2 के लिए, n³ – n, संख्या 6 से भाज्य है।

10. प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n(n² + 5), संख्या 6 से भाज्य है।

16. सभी प्राकृत संख्या n के लिए 1 + 5 + 9 + … + (4n – 3) = n (2n – 1)

विस्तृत उत्तर वाले प्रश्न (L.A)

निम्नलिखित प्रश्नों में गणितीय आगमन के सिद्धांत का प्रयोग कीजिएः

वस्तुनिष्ट प्रश्न

प्रश्न संख्या 26 से 30 में सही उत्तर का चयन कीजिए (M.C.Q.).

29. यदि P(n) : 2n < n!, n ∈ N, तो P(n) सभी n ≥ _____ के लिए सत्य है।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है। औचित्य भी बताइएः

30. मान लीजिए कि P(n) एक कथन है और मान लीजिए कि किसी प्राकृत संख्या k के लिए P(k) ⇒ P(k + 1), तो P(n) सभी n ∈ N के लिए सत्य है।

उत्तरमाला अध्याय 4 (गणितीय आगमन का सिद्धांत)

इस पेज पर दिए गए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – गणितीय आगमन का सिद्धांत की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।

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