कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रायिकता

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रायिकता यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 16– प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 16 – प्रायिकता

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रायिकता

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 16 – प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

प्रायिकता

16.1 समग्र अवलोकन (Overview)

अनिश्चितता (Uncertainty) की परिमाणात्मक माप (quantitative measure) प्रायिकता की परिभाषा है, अर्थात् वह संख्यात्मक मान, जो किसी घटना (event) के घटित (occurrence) होने के हमारे विश्वास की शक्ति को व्यक्त करे। किसी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच की एक संख्या होती है, जिसमें 0 और 1 दोनों सम्मिलित हैं। यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 के निकट है तो उसके घटित होने की सम्भावना अधिक होती है; तथा यदि घटना की प्रायिकता 0 के निकट है तो घटना के घटित होने की सम्भावना कम होती है। यदि घटना घटित नहीं हो, तो उसकी प्रायिकता 0 होती है। यदि घटना का घटित होना निश्चित है, तो उसकी प्रायिकता 1 होती है।

16.1.1 यादृच्छिक परीक्षण (Random experiment)

किसी परीक्षण वेफ यादृच्छिक होने का अर्थ है कि परीक्षण के एक से अधिक संभव परिणाम हैं और निश्चित रूप से यह पूर्वानुमान (prediction) लगाना संभव नहीं है कि वह परिणाम क्या होगा। उदाहरण के लिए, एक सामान्य सिक्के के उछालने के परीक्षण में, यह पूर्वानुमान तो निश्चित रूप से लगाया जा सकता है, कि सिक्का या तो चित् (head) होगा या पट् (tail) होगा लेकिन (किन्तु) यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि चित् या पट में से क्या होगा। यदि किसी पास (die) को एक बार फेंका जाए, तो छः संख्याओं अथार्त 1, 2, 3, 4, 5, 6 में से कोई भी एक संख्या प्राप्त हो सकती है, परन्तु यह निश्चित नहीं है कि कौन-सी संख्या प्राप्त होगी।

(i) परिणाम (Outcome) किसी यादृच्छिक परीक्षण के संभव फल (नतीजे) को परीक्षण का परिणाम कहते हैं। उदाहरणार्थ किसी सिक्के को दो बार उछालने के परीक्षण के कुछ परिणाम HH, HT इत्यादि हैं।

(ii) प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) किसी परीक्षण के सभी संभव परिणामों के समुच्चय को उस परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं। वस्तुतः यह किसी प्रदत्त परीक्षण के लिए, प्रासंगिक सार्वत्रिक समुच्चय S होता है।

किसी सिक्के को दो बार उछालने के परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि निम्नलिखित हैंः
S = {HH, HT, TH, TT}

ताश के पत्तों की किसी गड्डी से एक पत्ते को निकालने के परीक्षण के लिए प्रतिदर्श समष्टि, गड्डी वेफ सभी पत्तों का समुच्चय है।

16.1.2 घटना (Event)

प्रतिदर्श समष्टि S का कोई उपसमुच्चय एक घटना होती है। उदाहरण के लिए, ताश की किसी गड्डी से एक इक्का (Ace) निकालने की घटना । A = { पान का इक्का, चिड़ी का इक्का, ईंट का इक्का, हुवुफम का इक्का}

16.1.3 घटनाओं के प्रकार (Types of events)

• (i) असंभव और निश्चित घटनाएँ (Impossible and Sure Events) रिक्त समुच्चय φ तथा प्रतिदर्श समष्टि S भी घटनाओं को व्यक्त करते हैं। वस्तुतः φ को एक असंभव घटना कहते हैं और S, अर्थात्, सम्पूर्ण प्रतिदर्श समष्टि को एक निश्चित घटना कहते हैं।
• (ii) सरल या प्रारम्भिक घटना (Simple or Elementary Event) यदि किसी घटना E में प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक प्रतिदर्श बिन्दु हो, अर्थात् किसी परीक्षण का केवल एक परिणाम हो, तो घटना को सरल या प्रारम्भिक घटने कहते हैं। दो सिक्कों को उछालनें के किसी परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि, निम्नलिखित है
  S = {HH, HT, TH, TT}
  घटना E₁ = {HH} जसमें प्रतिदर्श समष्टि S का अकेला परिणाम HH है, एक सरल या प्रारंभिक घटना है। ताश की भली भाँति फेंटी हुई गड्डी से एक पत्ता निकालनें के परीक्षण में, यदि कोई विशेष पत्ता, जैसे ‘हुकुम की रानी’ का निकालना, एक सरल घटना है।
• (iii) मिश्र घटना (Compound Event) यदि किसी घटना में एक से अधिक प्रतिदर्श बिन्दु हैं, तो इसे मिश्र घटना कहते हैं, उदाहरणार्थ, E = {HH, HT} एक मिश्र घटना है।
• (iv) पूरक घटना (Complementary event) किसी प्रदत्त घटना A के सापेक्ष, A की पूरक, वह घटना है, जिसमें प्रतिदर्श समष्टि के वे सभी परिणाम हों, जो A के घटित होने से संबंधित नहीं हैं। । की पूरक घटना को प्रतीक Aअथवा A से निरूपित करते हैं। इसे घटना A-.नहींष् भी कहते हैं। पुनः प्रतीक P ( A ), A नहीं घटनो की प्रायिकता को निरूपित करता है।
  A′ = A = S – A = {w : w ∈ S vkSj w ∉A}

परीक्षण के परिणाम सम संभाव्य (Equally likely) हो। इस दशा में प्रायिकता निर्धारित करने के लिए, हम तर्क शास्त्रीय विधियों का प्रयोग कर सकते हैं। पुरातन विधि को समझने के लिए, किसी अनभिनत (fair) सिक्के के परीक्षण पर विचार कीजिये। इस परीक्षण में दो सम संभाव्य परिणाम हैं – या तो चित्त (H) या पट (T) . जब प्रारंभिक परिणामों को सम संभाव्य मान लेते हैं, तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1/k निर्धारित की जाती है। इसलिए तर्कशास्त्र सुझाव देते हैं कि, P (H) द्वारा निरूपित, चित प्रकट होने की प्रायिकता 1/2 = 0.5 है और p (T) द्वारा निरूपित, पट प्रकट होने की प्रायिकता भी 1/2 =0.5 है। नोट कीजिये कि इनमें से प्रत्येक प्रायिकता का मान 0 तथा 1 के बीच है पुन: परीक्षण के कुल परिणाम H और T हैं, अत: P (H) + P (T) = 1

16.1.10 प्रायिकता की पुरातन परिभाषा (Classical definition)

यदि किसी प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणाम सम संभाव्य हों तो किसी एक घटना के घटित होने की प्रायिकता निम्नलिखित अनुपात के तुल्य (बराबर) होती है :

16.1.11 प्रायिकता का अभिग्रहीती दृष्टिकोण (Axiomatic approach to probability)

मान लीजिये कि किसी यादृच्छिक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S है। प्रायिकता P एक वास्तविक मान फलन है, जिसका प्रांत S का घात समुच्चय है, अर्थात P(S), तथा परिसर T अतंराल [0, 1] है, अर्थात P : P (S) → [0, 1] और जो निम्नलिखित अभिग्रहीतियों को संतुष्ट करता है :

16.2 हल किए हुए उदाहरण (Solved Examples)

लघुउत्तरीय (S.A.)

उदाहरण 1 एक सामान्य ताश की गड्डी में 52 पत्ते चार वर्गों में विभाजित होते हैं। ईंट तथा पान के पत्ते लाल रंग के होते हैं और चिडी तथा हुकुम के पत्ते काले रंग के होते हैं। J,Q और K ताश के सचित्र पत्ते कहलाते हैं। मान लीजिए कि, गड्डी में से हम एक पत्ता यादृच्छया निकालते हैं, तो

• (a) परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि क्या है ?
• (b) चुने गए पत्ते के काले सचित्र होने के लिए घटना क्या है ?

हल :

• (a) प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम गद्दी के 52 पत्ते हैं।
• (b) मान लीजिये कि ‘ चुना गया पत्ता काला सचित्र पत्ता है ‘ घटना E है। इस प्रकार हुकुम या चिड़ी का ‘गुलाम’ ,’ रानी ‘,’ बादशाह’,E के परिणाम हैं। प्रतीकात्मक रूप से E = {हुकुम या चिड़ी के J, Q, K, } या E = {J♣, Q♣, K♣, J♠, Q♠, K♠}

उदाहरण 2 : मान लीजिए कि पैदा होने वाले प्रत्येक बच्चे का लड़का या लड़की होना सम संभाव्य है। तथ्यतः (exactly) तीन बच्चों वाले एक परिवार पर विचार कीजिए।

• (a) उस प्रतिदर्श समष्टि के आठ अवयवों की सूची बनाइए, जिसके परिणामों में तीनों बच्चों वेफ लड़का या लड़की होने की सभी संभावनाएँ निहित हों।
• (b) नीचे लिखी प्रत्येक घटना को समुच्चय रूप में लिखिए और उसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिएः
  • (i) घटना कि तत्थ्यतः एक बच्चा लड़की है।
  • (ii) घटना कि कम से कम दो बच्चे लड़की है।
  • (iii) घटना की एक भी बच्चा लड़की नहीं है।

हल :

• (a) लड़का या लड़की होने की सभी संभावनाएं नीचे व्यक्त हैं :
  S = {BBB, BBG, BGB, BGG, GBB,GBG, GGB, GGG}
• (b) (i) मान लीजिए कि A, घटना ‘तथ्यतः एक बच्चा लड़की है’ को नि£दष्ट करता है, तो A = {BBG, BGB, GBB} अतएव , P (A) = 3/8
  • (ii) मान लीजिये कि B, घटना ‘कम से कम दो बच्चे लड़की है’ को निदिष्ट करता है, तो B = {GGB, GBG, BGG, GGG}, अतएव P (B) = 4/8
  • (iii) मान लीजिये कि C, घटना : एक भी बच्चा लड़की नहीं है ‘ को निर्दिष्ट करता है तो C = {BBB} P (C) = 1/8

उदाहरण 3

• (a) दो अंको के कितने धन पूर्णाक संख्या 3 के गुणज हैं ?
• (b) यादृच्छया चुने गए एक दो अंकों वाले धन पूर्णांक का संख्या 3 के गुणज होने की प्रायिकता क्या है?

हल :

• (a) 12, 15, 18, … , 99 दो अंकों के ऐसे धन पूर्णांक हैं, जो संख्या 3 के गुणज हैं। अतः इस प्रकार के 30 पूर्णांक हैं।
• (b) 10, 11, 12, … , 99 दो अंको के धन पूर्णाक हैं। अतः इस प्रकार के 90 पूर्णांक हैं। क्योंकि इनमे से 30 पूर्णांक संख्या 3 वेफ गुणज हैं, इसलिए इस बात की प्रायिकता कि, एक यादृच्छया चुना गया दो अंकों का धन पूर्णांंक संख्या 3 का गुणज है, 30/90 = 1/3 है।

उदाहरण 4 : एक विशिष्ट PIN (Personal identification number) अंग्रेजी वर्णमाला के 26 अक्षरों और प्रथम दस अंकों में से चुने गए किन्हीं भी चार प्रतीकों का, एक अनुक्रम है। यदि सभी PIN सम संभाव्य हैं, तो एक यादृच्छया चुने गए PIN में प्रतीकों की पुनरावृत्ति होने की क्या प्रायिकता है?

हल : कोई PIN, 36 प्रतीकों (26 अक्षरों + 10 अंकों) में से चुने गए किन्हीं चार प्रतीकों का, एक अनुक्रम है। इस प्रकार गणना के आधारभूत सिद्धांत द्वारा, PINs की कुल संख्या 36 × 36 × 36 × 36 = 36⁴ = 1,679,616 है जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हो, तो गुणज नियम के प्रयोग द्वारा निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इसप्रकार के विभिन्न PINs की संख्या 36 × 35 × 34 × 33 = 1,413,720 है अतएव, कम से कम एक प्रतीक के पुनरावृत्ति वाले PINs की

उदाहरण 6 : एक ट्रक किसी मार्ग-बाधा पर रूका, तो इस बात की प्रायिकताएँ कि, ट्रक के ब्रेक दोषपूर्ण हैं या उसके टायर घिसे-पिटे हैं, क्रमशः 0.32 तथा 0.24 हैं। साथ ही, इस बात की प्रायिकता 0.38 है, कि यदि ट्रक उस मार्ग-बाधा पर रूकी, तो उसके ब्रेक दोषपूर्ण हैं / या उसके टायर घिसे-पिटे हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि,यदि ट्रक उसी मार्ग बाधा पर रूका तो उसके ब्रेक दोषपूर्ण हैं साथ ही उसके टायर भी घिसे-पिटे हैं?

उदाहरण 7 : कोई व्यक्ति अपने दंतचिकित्सक के पास जाता है। मान लीजिए कि इस बात की प्रायिकता, कि वह अपने दांतों की सफाई करवाएगा, 0.48 है, इस बात की प्रायिकता, कि वह एक खोखले स्थान (Cavity) को भरवाएगा, 0.25 है, इस बात की प्रायिकता, कि वह एक दांत उखड्वाएगा (निकलवाएगा) , 0.20 है, इस बात की प्राायिकता कि वह दांतों की सफाई करवाएगा और एक खोखले स्थान को भरवाएगा, 0.09 है, इस बात की प्रायिकता, कि वह दांतों की सफाई करवाएगा और एक दांत उखड़वाएगा, 0.12 है, इस बात की प्रायिकता, कि वह एक खोखले स्थान को भरवाएगा और एकदांत उखड़वाएगा, 0.07 तथा इस बात की प्रायिकता, कि वह दांतों की सफाई करवाएगा, एक खोखले स्थान को भरवाएगा और एक दांत उखड़वाएगा 0.03 है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि अपने दंतचिकित्सक के पास जाने वाला एक व्यक्ति इनमें से कम से कम एक (काम) करवाएगा?

दीर्घउत्तरीय (L.A)

उदाहरण 8 : एक कलश में 1 से 20 तक क्रमांकित कागज की बीस सफ़ेद पर्चियाँ, 1 से 10 तक क्रमांकित कागज की दस लाल पर्चियाँ, 1 से 40 तक क्रमांकित कागज की चालीस पीली पर्चियाँ तथा 1 से 10 तक क्रमांकित कागज की दस नीली पर्चियाँ हैं। यदि कागज की ये 80 पर्चियाँ अच्छी तरह से मिला दी गई हों, जिससे प्रत्येक पर्ची के कलश से निकाले जाने की प्रायिकता समान हो, तो एक पर्ची के निकालने की निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिएः

• (a) पर्ची नीली या सफ़ेद हो
• (b) पर्ची 1, 2, 3, 4 या 5 क्रमांकित हो
• (c) पर्ची लाल या पीली हो और 1, 2, 3 या 4 क्रमांकित हो
• (d) पर्ची 5, 15, 25 या 35 क्रमांकित हो
• (e) पर्ची सफ़ेद हो और उस पर 12 से अधिक संख्या अंकित हो या पर्ची पीली हो और उस पर 26 से अधिक संख्या अंकित हो।

वस्तुनिष्ट प्रश्न

उदाहरण 1 से 15 तक प्रत्येक में दिए गए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q)

उदाहरण 9 : किसी लीप वर्ष (Leap year) में 53 रविवार या 53 सोमवार होने की प्रायिकता है :

हल : सही उत्तर (B) है। क्योंकि किसी लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं और इसलिए 52 सप्ताह और 2 दिन होते हैं ये 2 दिन SM, MT, TW, WTh, ThF, FSt, StS हो सकते हैं।

अत: P (53 रविवार या 53 सोमवार) = 3/7

उदाहरण 10 : अंक 0, 2, 4, 6, 8 का प्रयोग करके तीन अंको की संख्याएँ बनाई जाती हैं। इन संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि चुनी गई इस संख्या के तीनो अंक एक ही (same) हों ?

हल : (D) सही उत्तर है। क्योंकि एक तीन अंकों की संख्या 0 से प्रारंभ नहीं हो सकती, इसलिए सैकड़े के स्थान पर 0 के अतिरिक्त शेष कोई भी 4 अंक हो सकते हैं। अब दहाई तथा इकाई के स्थान पर सभी 5 अंक हो सकते हैं। अतः तीन अंकों की कुल संभव संख्याएँ 4 × 5 × 5, अर्थात् 100 हैं। इस प्रकार की तीन अंकों की कुल संभव संख्या, जिनवेफ तीनों अंक एक ही हों = 4 अतः P अंकों की संख्याएँ जिनके तीनों अंक एक ही हैं = 4/100 = 1/25

उदाहरण 11 : किसी चेश बोर्ड (Chesas board) के तीन वर्ग यादृच्छया चुने जाते हैं। दो वर्गों वेफ एक ही रंग के तथा तीसरे वर्ग के पृथक (भिन्न) रंग के होने की प्रायिकता है

16.3 प्रश्नावली

लघुउत्तरीय प्रश्न (S.A.)

1 . यदि शब्द ALGORITHM के अक्षरों को एक पंक्ति में यादृच्छया क्रमबद्ध किया जाए, तो GOR अक्षरों के एक इकाई के रूप में इकट्ठे एक साथ रहने की प्रायिकता क्या है?

2. छः नए कर्मचारियों में, जिनमें से दो एक दूसरे से विवाहित हैं, एक पंक्ति में लगे छः डेस्कों को बांट देना है। यदि डेस्कों का कर्मचारियों में यह आबंटन यादृच्छया किया गया हो, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि विवाहित जोड़े को संलग्न (अगल-बगल) डेस्क नहीं मिलेंगे?
[संकेत : जोड़े को संलग्न डेस्के मिलने की प्रायिकता पहले ज्ञात कीजिये और तब इसे 1 घटा दीजिये )

3. मान लीजिए कि 1 से 1000 तक के पूर्णांकों में से एक पूर्णांक यादृच्छया चुना जाता है, तो इस पूर्णांक के संख्या 2 का गुणज या संख्या 9 का गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

4. किसी परीक्षण में एक पासे को तब तक फेंकते रहते हैं, जब तक संख्या 2 प्राप्त नहीं हो जाती है।

• (i) प्रतिदर्श समष्टि के कितने अवयव, पासे के k बार फेंकने पर संख्या 2 के प्राप्त होने की घटना के संगत हैं ?
• (ii) प्रतिदर्श समष्टि के कितने अवयव, पासे के k बार फेंकने के पश्चात् संख्या 2 के नहीं प्राप्त होने की घटना के, संगत है

6. एक विशाल महानगरीय क्षेत्र में किसी परिवार (सर्वे के लिए यादृच्छया चुने गए) के पास एक रंगीन टेलीविशन सेट एक काला-सफ़ेद (Black and white) टेलीविशन सेट या दोनों प्रकार के सेटों के होनें की प्रायिकता क्रमशः 0.87, .36 या .30 है। किसी परिवार के पास दोनों में से कोई एक या दोनों ही प्रकार के सेट होने की क्या प्रायिकता है?

7. यदि A तथा B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, इस प्रकार हैं कि P (A) = 0.35 तथा P (B) = 0.45 तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए;

• (a) P (A′)
• (b) P (B′)
• (c) P (A ∪ B)
• (d) P (A ∩ B)
• (e) P (A ∩ B′)
• (f) P (A′ ∩ B′)

8. आयुर्विज्ञान वेफ विद्यार्थियों की एक टीम (टोली, दल) को अंतरंग अध्ययन (internship) के दौरान नगर के किसी चिकित्सालय में सर्जरी (शल्य क्रिया) में सहयोग करना है। सर्जरी को अति जटिल, जटिल, सामान्य, सरल या अति सरल श्रेणियों में रेखने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.15, 0.20, 0.31, 0.26 या 0.08 हैं। किसी विशेष सर्जरी को निम्नलिखित श्रेणियों में रखने की प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिएः

• (a) जटिल या अति जटिल
• (b) न तो अति जटिल और न ही अति सरल
• (c) सामान्य या जटिल
• (d) सामान्य या सरल

9. किसी विद्यालय की क्रिवेफट टीम को प्रशिक्षित करने के लिए चार प्रत्याशियों A, B, C तथा D ने आवेदन किया है। यदि A चुनें जानें की संभावना B से दुगुनी है तथा B और C के चुने जाने की सम्भावनाएं लगभग समान हैं जबकि C के चुनें जाने की संभावना D से दोगुनी है, तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि,

• (a) C चुना जाएगा ?
• (b) A नहीं चुना जायेगा ?

दीर्घउत्तरीय प्रश्न (L.A.)

12. किसी कलश में दो काले (चिहिन्त B₁ तथा B₂) और एक सफ़ेद गेंद है। दूसरे कलश में एक काला गेंद और दो सपेफद गेंद (चिहिन्त W₁ तथा W₂) हैं। मान लीजिए कि निम्नलिखित परीक्षण किया जाता है। दोनों कलशों में से एक को यादृच्छया चुना जाता हैं तदनन्तर (उसके बाद) इस कलश में से एक गेंद को यादृच्छया निकाला (चुना) जाता है। इसके उपरान्त पहले गेंद को वापस रखे बिना, इसी कलश से एक दूसरा गेंद यादृच्छया निकाला जाता है।

• (a) सभी संभव परिणामों को प्रदर्शित करने वाला प्रतिदर्श समष्टि लिखिए।
• (b) दो काले गेंदों के चुने जाने की प्रायिकता क्या है?
• (c) विपरीत रंगों के दो गेंदों के चुने जाने की प्रायिकता क्या है?

13. एक थैले में 8 लाल तथा 5 सफ़ेद की गेंदें हैं। तीन गेंदों को यादृच्छया निकाला जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि,

• (a) सभी तीनों गेंदें सफ़ेद रंग की हैं।
• (b) सभी तीनों गेंदे लाल रंग की हैं।
• (c) एक गेंद लाल रंग की है और दो गेंदें सफ़ेद रंग की हैं।

14. यदि शब्द ASSASSINATION के अक्षरों को यादृच्छया क्रमब (arranged) किया जाए, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि

• (a) बनने वाले शब्द में चारों S लगातार हों।
• (b) दो I’ और दो N’ एक साथ हों।
• (c) सभी A एक साथ नहीं हों।
• (d) कोई भी दो A एक साथ नहीं हों।

15. ताश के 52 पत्तों की किसी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। निकाले गए पत्ते की एक बादशाह होने की या एक पान का पत्ता होने की या एक लाल रंग का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

17. निम्नलिखित घटनाओं में से प्रत्येक की प्रायिकता p ज्ञात कीजिएः

• (a) किसी अनभिनत (unbiased, fair) पासे को एक बार फेंकने पर एक विषम संख्या का प्राप्त होना।
• (b) किसी अनभिनत सिक्के को दो बार उछालने पर कम से कम एक चित प्रकट होना।
• (c) ताश वेफ 52 पत्तों की भली-भाँति फेंटी हुई किसी साधारण गड्डी से एक पत्ते के निकालने पर एक बादशाह, पान का 9 या हुकुम का 3 प्राप्त होना।
• (d) अनभिनत पासों के किसी जोड़े को एक बार फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योगफल 6 होना।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न संख्या 18 से 29 तक प्रत्येक में दिए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q)

29. यदि M तथा N कोई दो घटनाएँ हैं, तो इनमें से कम से कम किसी एक के घटित होने की प्रायिकता हैः

• (A) P (M) + P (N) – 2 P (M ∩ N)
• (B) P (M) + P (N) – P (M ∩ N)
• (C) P (M) + P (N) + P (M ∩ N)
• (D) P (M) + P (N) + 2P (M ∩ N)

बताइए कि प्रश्न 30 से 36 तक दिए हुए कथनों में से कौन-सा कथन सत्य है और कौन सा कथन असत्य है?

30. किसी चिड़ियाघर घूमने वाले एक व्यक्ति द्वारा जिराफ को देखने की प्रायिकता 0.72 है, भालू को देखने की प्रायिकता 0.84 है तथा दोनों को ही देखने की प्रायिकता 0.52 है।

31. किसी विद्यार्थी द्वारा परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.73 है, विद्यार्थी के पूरक परीक्षा (Compartment) देने की प्रायिकता 0.13 है तथा विद्यार्थी के या तो उत्तीर्ण होने की या पूरक परीक्षा देनें की प्रायिकता 0.96 है।

32. एक टाईपिस्ट द्वारा किसी रिपोर्ट को टाइप करने में 0, 1, 2, 3, 4 तथा 5 या अधिक गलतियाँ (त्राुटियाँ) करने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.12, 0.25, 0.36, 0.14, 0.08 तथा 0.11 है।

33. किसी इंजीनियरी काॅलेज में प्रवेश चाहने वाले A तथा B दो प्रवेशार्थी हैं। यदि A के चयन की प्रायिकता 0.5 है और A तथा B दोनों के ही चयन की अधिकतम प्रायिकता 0.3 है, तो क्या यह सम्भव है कि B के चयन की प्रायिकता 0.7 है।

34. A और B दो घटनाओं के सर्वनिष्ठ की प्रायिकता, घटना A के अनुकूल प्रायिकता से सदैव कम या उसके बराबर होती है।

35. किसी घटना A के घटित होने की प्रायिकता 0.7 है और एक अन्य घटना ठ वेफ घटित होने की प्रायिकता 0.3 है तथा दोनों के घटित होने की प्रायकिता 0.4 है।

36. दो विद्यार्थियों की अपनी अन्तिम परीक्षाओं में श्रेष्ठता (distinction) प्राप्त करने की प्रायिकताओं का योगफल 1.2 है।

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रायिकता

यूनिट 16 – प्रायिकता के प्रश्नों के उत्तर उत्तर यहां से प्राप्त करें।

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कक्षा 11 गणित महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर