कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समुच्चय

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समुच्चय यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ समुच्चय के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 1 – समुच्चय के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 1 – समुच्चय

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समुच्चय

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 1 – समुच्चय के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

समुच्चय

1.1- समग्र अवलोकन (Overview)

1. समुच्चय एवं उनका निरूपण (Sets and their representations): समुच्चय वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है। किसी समुच्चय को निरूपित करने की दो विधियाँ हैंः
(a) रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (Roster or Tabular form)
(b) समुच्चय निर्माण रूप (Set builder form)

2. रिक्त समुच्चय (The empty set): जिस समुच्चय में एक भी अवयव नहीं होता है उसे रिक्त समुच्चय या शून्य समुच्चय कहते हैं तथा प्रतीक { } या φ से प्रदर्शित करते है।

3. परिमित और अपरिमित समुच्चय (Finite and infinite sets): वह समुच्चय जिसमें अवयवों की संख्या निश्चित होती है, परिमित समुच्चय कहलाता है अन्यथा समुच्चय अपरिमित कहलाता है।

4. उप-समुच्चय (Sub-sets): यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है, तो A, B का उप-समुच्चय कहलाता है। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि A ⊂ B, यदि a ∈ A ⇒ a ∈ B
हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को R
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N
पूर्णांकों के समुच्चय को Z
परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q
अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को T द्वारा निरूपित करते हैं।
हम देखते हैं कि
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
T ⊂ R, Q ⊄ T, N ⊄ T

5. समान समुच्चय (Equal sets): दिये गये दो समुच्चय A और B में यदि A का प्रत्येक अवयव
B का भी अवयव है तथा B का प्रत्येक अवयव A का भी अवयव है, तो समुच्चय A और B समान
कहलाते हैं। दो समान समुच्चयों में तथ्यतः समान अवयव होते हैं।

6. अंतराल R के उप-समुच्चय के रूप में (Intervals as sub-sets of R) मान लीजिए कि
a, b ∈ R और a < b तब
(a) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {x : a < x < b} एक विवृत अंतराल (Open interval)
कहलाता है और प्रतीक (a, b) द्वारा निरूपित होता है। (b) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {x : a ≤ x ≤ b} एक संवृत अंतराल (Closed interval) कहलाता है और प्रतीक [a, b], द्वारा निरूपित होता है।
(c) एक अंत्य बिंदु पर बंद तथा दूसरे पर खुले अंतराल निम्नलिखित द्वारा निरूपित होते हैः
[a, b) = {x : a ≤ x < b} (a, b] = {x : a < x ≤ b}

7. घात समुच्चय (Power set) : समुच्चय A के उप-समुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय
कहते हैं। इसको प्रतीक P(A) से निरूपित करते हैं। यदि A में अवयवों की संख्या = n अर्थात् n(A) = n, rks P(A) में अवयवों की संख्या = 2ⁿ

8. सार्वत्रिक समुच्चय (Universal set): किसी विशेष संदर्भ में यह एक आधारभूत समुच्चय होता है, जिसके अवयव तथा उप-समुच्चय उस विशेष संदर्भ में प्रासंगिक होते हैं।
उदाहरण के लिए अंग्रेजी भाषा के वर्णमाला (Alphabet) में स्वर वर्णों (Vowels) के समुच्चय हेतु, अंग्रेजी भाषा के समस्त वर्णमाला का समुच्चय, एक सार्वत्रिक समुच्चय हो सकता है। सार्वत्रिक समुच्चय को प्रतीक U से निरूपित करते हैं।

9. वेन आरेख (Venn diagrams): समुच्चयों के बीच संबंधों को निरूपित करने वाले आरेखों को वेन आरेख कहते हैं। उदाहरणार्थ, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्ण संख्याओं के समुच्चय का एक उप-समुच्चय है, जो स्वयं पूर्णांकों के समुच्चय का एक उप-समुच्चय है। हम इन संबंधों को आकृति में दर्शाए गये वेन आरेख द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

10. समुच्चयों पर संक्रियाएँ (Operations on sets) समुच्चयों का सम्मिलन : (Union of Sets): दो दिये हुए समुच्चय A और B का सम्मिलन समुच्चय
B है, जिसमें वे सभी अवयव हैं जो या तो A में या B में हैं। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि
C = A ∪ B = {x | x ∈A या x ∈B}

सम्मिलिन की संक्रिया के कुछ गुणधर्म

(i) A ∪ B = B ∪ A (ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (iii) A ∪ φ = A
(iv) A ∪ A = A (v) U ∪ A = U

समुच्चयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of sets) दो समुच्चयों A और B का सर्वनिष्ठ उन सभी अवययों का समुच्चय है जो A और B दोनों में हों। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि

A ∩ B = {x : x ∈ A vkSj x ∈ B}.

यदि A ∩ B = φ, तो A और B असंयुक्त समुच्चय (Disjoint sets) कहलाते हैं।

सर्वनिष्ठ संक्रिया के कुछ गुणधर्म

(i) A ∩ B = B ∩ A (ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(iii) φ ∩ A = φ ; U ∩ A = A (iv) A ∩ A = A
(v) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(vi) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

समुच्चयों का अंतर (Difference of sets) प्रतीक A – B द्वारा निरूपित समुच्चयों A और B का अंतर, उन अवयवों का समुच्चय है, जो A में हैं किन्तु B में नहीं हैं। इसे हम इस प्रकार लिखते हैंः
A – B = {x : x ∈ A vkSj x ∉ B}
साथ ही B – A = { x : x ∈ B vkSj x ∉A}
समुच्चय का पूरक (Complement of a set) मान लीजिए कि U एक सार्वत्रिक समुच्चय है और
A, U का एक उप-समुच्चय है, तो A का पूरक समुच्चय, U के उन अवयवों का समुच्चय है जो ।
के अवयव नहीं है। प्रतीकात्मक रूप में हम लिखते हैं कि –
A′ = {x : x ∈ U vkSj x ∉ A}. साथ ही A′ = U – A
पूरक समुच्चयों के कुछ गुणधर्म (Some properties of complement of sets)
(i) पूरक नियम (Law of complements)
(a) A ∪ A′ = U (b) A ∩ A′ = φ

(ii) डि-मॉर्गन का नियम (De Morgan’s law):
(a) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (b) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(iii) (A′ )′ = A
(iv) U′ = φ rFkk φ′ = U

11. दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्नों को सरल करने के सूत्र (Formulae to solve practical problems on union and intersection of two sets) यदि A, B और C कोई परिमित समुच्चय हों, तब

(a) n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
(b) ;fn (A ∩ B) = φ, rks n (A ∪ B) = n (A) + n (B)
(c) n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A ∩ B) – n (A ∩ C) – n (B ∩ C)

• n (A ∩ B ∩ C)

1.2- हल किये हुए उदाहरण (Solved Examples)

लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer)

उदाहरण 1 निम्नलिखित समुच्चयों को रोस्टर रूप में लिखिए।
(i) A = {x | x; 10 से छोटा एक धन पूर्णांक है और 2घातx-1 एक विषम संख्या है-
(ii) C = {x : x²+ 7x – 8 = 0, x ∈ R}
हल

उदाहरण 2 बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से कौन से कथन सत्य और कौन से असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) 37 ∉ {x | x के तथ्यतः (exactly) दो धन गुणनखंड हैं}
(ii) 28 ∈ {y | y के समस्त धन गुणनखंडों का योगफल 2y है}
(iii) 7747 संख्या ∈ {t | t, 37 का गुणज (multiple) है }
हल
(i) असत्य क्योंकि, 37 के तथ्यतः दो घन गुणनखण्ड 1 और 37 है, अतः 37 दिये समुच्चय में है।
(ii) सत्य क्योंकि, 28 के धन गुणनखण्डों का योगफल
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28
= 56 = 2 × 28 (iii) असत्य 7,747, संख्या 37 का गुणज नहीं है।

उदाहरण 3 यदि X और Y सार्वजनिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
(i) Y ⊂ X ∪ Y (ii) X ∩ Y ⊂ X (iii) X ⊂ Y ⇒ X ∩ Y = X
हल
(i) X ∪ Y = {x | x ∈ X ;k x ∈ Y}
इस प्रकार x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∪ Y
अतः Y ⊂ X ∪ Y
(ii) X ∩ Y = {x | x ∈ X और x ∈ Y}
इस प्रकार x ∈ X ∩ Y ⇒ x ∈ X
अतः X ∩ Y ⊂ X
(iii) ध्यान दीजिए कि
x ∈ X ∩ Y ⇒ x ∈ X
इस प्रकार X ∩ Y ⊂ X
साथ ही साथ, क्योंकि X ⊂ Y
अतएव x ∈ X ⇒ x ∈ Y ⇒ x ∈ X ∩ Y
अतः X ⊂ X ∩ Y
इस प्रकार परिणाम X = X ∩ Y प्राप्त होता है।

उदाहरण 4 दिया हुआ है कि N = {1, 2, 3, …, 100}, तो
(i) N का वह उप-समुच्चय A लिखिए, जिसके अवयव विषम संख्याएं हैं।
(ii) N का वह उप-समुच्चय B लिखिए, जिसके अवयव x + 2 द्वारा निरूपित होते हैं, जहाँ x ∈ N है।
हल
(i) A = {x | x ∈ N और x विषम संख्या है}= {1, 3, 5, 7, …, 99}
(ii) B = {y | y = x + 2, x ∈ N}
अतएव 1 ∈ N के लिए y = 1 + 2 = 3
2 ∈ N के लिए y = 2 + 2 = 4 इत्यादि
अतः, B = {3, 4, 5, 6, … , 100}

उदाहरण 5 दिया है कि, E = {2, 4, 6, 8, 10}. यदि n, E के किसी सदस्य (अवयव) को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित सभी संख्याओं वाले समुच्चय लिखिएः
(i) n + 1 (ii) n²
हलः दिया है E = {2, 4, 6, 8, 10}
(ii) मान लीजिए कि, A = {x | x = n + 1, n ∈ E}
इस प्रकार 2 ∈ E के लिए x = 3

4 ∈ E के लिए x = 5 इत्यादि
इसलिए A = {3, 5, 7, 9, 11}
(ii) मान लीजिए B = {x | x = n2, n ∈ E}
अतएव, 2 ∈ E के लिए x = (2)2= 4
4 ∈ E के लिए x = (4)² = 16
6 ∈ E के लिए x = (6)2= 36
इसलिए B = {4, 16, 36, 64, 100}

उदाहरण 6 मान लीजिए किX = {1, 2, 3, 4, 5, 6} यदि n, X के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित को समुच्चय रूप में व्यक्त कीजिए
(i) n ∈ X, ijarq 2n ∉ X (ii) n + 5 = 8 (iii) n, 4 से अधिक है
हल
(i) X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} यह दिया है कि n ∈ X, परंतु 2n ∉ X
मान लीजिए कि, A = {x | x ∈ X और 2x ∉ X}
अब 1 ∉ A क्योंकि 2 × 1 = 2 ∈ X
2 ∉ A क्योंकि 2 × 2 = 4 ∈ X
3 ∉ A क्योंकि 2 × 3 = 6 ∈ X
किन्तु 4 ∈ A क्योंकि 22 × 4 = 8 ∉ X
5 ∈ A क्योंकि 2 × 5 = 10 ∉ X
6 ∈ A क्योंकि 2 × 6 = 12 ∉ X
अतः A = {4, 5, 6}
(ii) मान लीजिए कि, B = {x | x ∈ X और x + 5 = 8}
यहाँ B = {3} जैसा x = 3 ∈ X और 3 + 5 = 8 और X में अन्य कोई ऐसा अवयव x नहीं है,
जिसक लिए x + 5 = 8.
(iii) मान लीजिए कि C = {x | x ∈ X, x > 4}
अतः C = {5, 6}

उदाहरण 7 समुच्चय E, M और U के बीच निम्नलिखित संबंधों को स्पष्ट करने वाले वेन आरेख खींचिए, जहाँ E, किसी विद्यालय में अंग्रेजी पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है, ड इसी विद्यालय में गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है तथा M उस विद्यालय में पढ़ने वाले समस्त विद्यार्थियों का समुच्चय है।
(a) गणित पढ़ने वाले सभी विद्यार्थी अंग्रेजी भी पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाले कुछ ऐसे विद्यार्थी हैं जो गणित नहीं पढ़ते हैं।
(b) ऐसा कोई विद्यार्थी नहीं हैं जो गणित तथा अंग्रेजी दोनों विषय पढ़ता है। (c) कुछ विद्यार्थी गणित पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहीं पढ़ते हैं, कुछ अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु गणित नहीं पढ़ते हैं और कुछ दोनों विषय पढ़ते हैं।
(b) सभी विद्यार्थी गणित नहीं पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाला प्रत्येक विद्यार्थी गणित भी पढ़ता है।
हल
(i) क्योंकि गणित पढ़ने वाले सभी विद्यार्थी अंग्रेजी भी पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी पढ़ने वाले कुछ ऐसे विद्यार्थी हैं, जो गणित नहीं पढ़ते हैं।
अतएव, M ⊂ E ⊂ U इसका वेन आरेख आकृति में दर्शाया गया है।

(ii) क्योंकि ऐसा कोई विद्यार्थी नहीं है, जो अंग्रेजी तथा गणित दोनों विषय पढ़ता हो
अतः E ∩ M = φ.

(iii) क्योंकि कुछ विद्यार्थी अंग्रेजी तथा गणित दोनों विषय पढ़ते हैं, कुछ केवल अंग्रेजी और कुछ केवल गणित पढ़ते हैं।

इसका वेन आरेख आकृति में दर्शाया गया है।

(iv) क्योंकि अंग्रेजी पढ़ने वाला प्रत्येक विद्यार्थी गणित भी पढ़ता है,
अतः E ⊂ M ⊂ U
आकृति का वेन आरेख इसे प्रदर्शित करता है।

उदारहण 8 सभी समुच्चयों A, B और C के लिए
क्या (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C) है? अपने कथन (उत्तर) का औचित्य भी बताइए।
हल नहीं। नीचे लिखे A, B और C समुच्चयों पर विचार कीजिएः

A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 5}
C = {4, 5, 6}
अब (A ∩ B) ∪ C = ({1, 2, 3} ∩ {2, 3, 5}) ∪ {4, 5, 6}
= {2, 3} ∪ {4, 5, 6}
= {2, 3, 4, 5, 6}
और A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3} ∩ [{2, 3, 5} ∪ {4, 5, 6}
= {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4, 5, 6}
= {2, 3}
अतः (A ∩ B) ∪ C ≠ A ∩ (B ∪ C)

उदाहरण 9 समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी समुच्चयों A तथा B के लिए
A – (A ∩ B) = A – B

हल : A – (A ∩ B) = A ∩ (A ∩ B)′ (क्योकिं A – B = A ∩ B′)
= A ∩ (A′ ∪ B′) (De Morgan’s के नियम के अनुसार)
= (A ∩ A′) ∪ (A ∩ B′) (वितरण नियम द्वारा) = φ ∪ (A ∩ B′)
= A ∩ B′ = A – B

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A)

उदारहण 10 सभी समुच्चयों A, B तथा C के लिए क्या (A – B) ∩ (C – B) = (A ∩ C) – B है?
अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

हल : हाँ
मान लीजिए कि x ∈ (A – B) ∩ (C – B)
⇒ x ∈ A – B vkSj x ∈ C – B
⇒ (x ∈ A vkSj x ∉ B) vkSj (x ∈ C vkSj x ∉ B)
⇒ (x ∈ A vkSj x ∈ C) vkSj x ∉ B
⇒ (x ∈ A ∩ C) vkSj x ∉ B
⇒ x ∈ (A ∩ C) – B
अतएव (A – B) ∩ (C – B) ⊂ (A ∩ C) – B … (1)
विलोमतः (Conversely),
मान लीजिये कि y ∈ (A ∩ C) – B
⇒ y ∈ (A ∩ C) vkSj y ∉ B
⇒ (y ∈ A vkSj y ∈ C) vkSj y ∉ B
⇒ (y ∈ A vkSj y ∉ B) vkSj (y ∈ C vkSj y ∉ B)
⇒ y ∈ (A – B) vkSj y ∈ (C – B)
⇒ y ∈ (A – B) ∩ (C – B)
अतएव (A ∩ C) – B ⊂ (A – B) ∩ (C – B) … (2)
(1) तथा (2) द्वारा (A – B) ∩ (C – B) = (A ∩ C) – B

11. मान लीजिये की A, B एवं C समुच्चय हैं तो सिद्ध कीजिए कि

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

हम पहले सिद्ध करेंगे कि A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
मान लीजिए कि x ∈ A ∪ (B ∩ C), rks
x ∈ A ;k x ∈ B ∩ C
⇒ x ∈ A ;k (x ∈ B vkSj x ∈ C)
⇒ (x ∈ A ;k x ∈ B) vkSj (x ∈ A ;k x ∈ C)
⇒ (x ∈ A ∪ B) vkSj (x ∈ A ∪ C)
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
अतः A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

अब हम सिद्ध करेंगे कि (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (A ∪ C)
मान लीजिए कि x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
⇒ x ∈ A ∪ B vkSj x ∈ A ∪ C
⇒ (x ∈ A ;k x ∈ B) vkSj (x ∈ A ;k x ∈ C)
⇒ x ∈ A ;k (x ∈ B vkSj x ∈ C)
⇒ x ∈ A ;k (x ∈ B ∩ C)
⇒ x ∈ A ∪ (B ∩ C)
अतः (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C) … (2)
अतएव (1) तथा (2) से
A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

उदाहरण 12 मान लीजिए कि P अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और S = {t | 2घातt – 1एक अभाज्य
संख्या है। सिद्ध कीजिए कि S ⊂ P
उदाहरण अब कथन x ∈ S ⇒ x ∈ P का समतुल्य (x ∈ S ⇒ x ∈ P) प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
कथन x ∉ P ⇒ x ∉ S है।
अब हम उपर्युक्त प्रतिधनात्मक कथन को विरोधोक्ति (contradiction) द्वारा सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए कि x ∉ P
⇒ x एक संयुक्त संख्या (composite number) है।
अब मान लीजिए कि x ∈ S
⇒ 2की घात x – 1 = m (जहाँ m एक अभाज्य संख्या है)
⇒ 2की घात x = m + 1
जो सभी संयुक्त संख्याओं के लिए सत्य नहीं है, उदाहरणार्थ x = 4 क्योंकि 2⁴= 16, जो किसी अभाज्य संख्या m तथा 1 का योगफल नहीं हो सकता है।
अतः हमें एक विरोधोक्ति प्राप्त होती है।
अतएव, जब x ∉ P, तो हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि x ∉ S
अतः S ⊂ P

उदारहण 13: गणित, भौतिक विज्ञान तथा रसायन विज्ञान में परीक्षा देने वाले 50 विद्यार्थियों में से प्रत्येक कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होता है। 37 गणित में, 24 भौतिक विज्ञान में तथा 43 रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होते हैं। यदि गणित और भौतिक विज्ञान में अधिकतम 19, गणित और रसायन विज्ञान में अधिकतम 29 तथा भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान में अधिकतम 20 उत्तीर्ण होते हैं, तो तीनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों की अधिकतम संभव संख्या कितनी है?
हल: मान लीजिए कि,
M गणित में उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है,

P भौतिक विज्ञान में उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है और C रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होने वाले विद्यार्थियों का समुच्चय है
अब n(M ∪ P ∪ C) = 50, n(M) = 37, n(P) = 24, n(C) = 43
n(M ∩ P) ≤ 19, n(M ∩ C) ≤ 29, तथा n(P ∩ C) ≤ 20 (दिया है) ज्ञात है कि

n(M ∪ P ∪ C) = n(M) + n(P) + n(C) – n(M ∩ P) – n(M ∩ C)
– n(P ∩ C) + n(M ∩ P ∩ C) ≤ 50
⇒ 37 + 24 + 43 – 19 – 29 – 20 + n(M ∩ P ∩ C) ≤ 50
⇒ n(M ∩ P ∩ C) ≤ 50 – 36
⇒ n(M ∩ P ∩ C) ≤ 14
अतः तीनों विषयों में उत्तीर्ण होने वालों की अधिकतम संभव संख्या 14 है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Type Questions)
उदारहण 14 से 16 में दिये गये चार विकल्पों में से सही विकल्प का चयन कीजिएः (M.C.Q.)

उदाहरण 15 दो परिमित (Finite) समुच्चयों में क्रमशः m और n अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप-समुच्चयों की कुल संख्या दूसरे समुच्चय के उप-समुच्चयों की कुल संख्या से 56 अधिक है। m और n के मान क्रमशः

हल : सही उत्तर (C) है।

उदाहरण 16 समुच्चय (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′ समान हैं
(A) B ∩ C′ (B) A ∩ C (C) B ∪ C′ (D) A ∩ C′
हल सही उत्तर (A) है।
क्योंकि (A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∩ B′ ∩ C′)′ ∩ C′
= (A ∪ (B ∪ C)) ∩ (A′ ∪ (B ∪ C)) ∩ C′
= (A ∩ A′) ∪ (B ∪ C) ∩ C′
= φ ∪ (B ∪ C) ∩ C′
= B ∩ C′ ∪ φ = B ∩ C′

उदाहरण 17 और 18 में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

उदारहण 17 यदि A और B दो परिमित समुच्चय हैं, तो n(A) + n(B) ________ के बराबर होता है।
हलः क्योंकि n(A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
अब n(A) + n (B) = n (A ∪ B) + n (A ∩ B)

उदाहरण 18 यदि A एक परिमित समुच्चय है, जिसमें n अवयव हैं, तो A के उप-समुच्चयों की संख्या __________ होती है।
हल 2ⁿ

बताइए कि उदाहरण 19 और 20 में दिये निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं।

उदाहरण 19 मान लीजिए कि R और S निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित समुच्चय हैंः
R = {x ∈ Z | x, 2 से भाज्य है}
S = {y ∈ Z | y, 3 उसे भाज्य है}
तो R ∩ S = φ
हल असत्य। क्योंकि 6, 3 ओर 2 दोनों से भाज्य है। अतः R ∩ S ≠ φ

उदाहरण 20 Q ∩ R = Q जहाँ Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय है और R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
हलः सत्य क्योंकि Q ⊂ R, इसलिए Q ∩ R = Q

1.3 प्रश्नावली

लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)

4. बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से कौन सत्य और कौन असत्य है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) 35 ∈ {x | x के तथ्यतः चार धनात्मक गुणनखंड हैं}
(ii) 128 ∈ {y | y के समस्त धनात्मक गुणनखंडों का योगफल 2y है}
(iii) 3 ∉ {x | x⁴– 5x³+ 2x²– 112x + 6 = 0}
(iv) 496 ∉ {y | y के समस्त धनात्मक गुणनखंडों का योगपफल 2y है}

5. दिया है कि L = {1, 2, 3, 4}, M = {3, 4, 5, 6} और N = {1, 3, 5}, तो सत्यापित (Verify)
कीजिए कि L – (M ∪ N) = (L – M) ∩ (L – N)

6. यदि A और B सार्वत्रिक समुच्चय U के उप-समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि,
(i) A ⊂ A ∪ B (ii) A ⊂ B ⇔ (A ∪ B = B)
(iii) (A ∩ B) ⊂ A

7. दिया है कि, N = {1, 2, 3, … , 100}, तो निम्नलिखित को लिखिएः
(i) N का वह उप-समुच्चय, जिसके अवयव सम संख्याएँ हैं।
(ii) N छ का वह उप-समुच्चय, जिसके अवयव पूर्ण वर्ग (Perfect square) संख्याएँ हैं।

8. दिया है कि X = {1, 2, 3}, यदि n समुच्चय X के किसी सदस्य को निरूपित करता है, तो निम्नलिखित द्वारा निरूपित समस्त संख्याओं को अंतर्विष्ट (Contain) करने वाले समुच्चयों को लिखिएः

(i) 4n (ii) n + 6 (iii) 2/n (iv) n – 1

9. यदि Y = {1, 2, 3, … 10}, तथा a समुच्चय Y के किसी अवयव को निरूपित करता है, तो उन समुच्चयों को लिखिए जिनके अंतर्विष्ट समस्त अवयव निम्नलिखित प्रतिबंधों (Conditions) को संतुष्ट करते हैंः
(i) a ∈ Y परन्तु a² ∉ Y (ii) a + 1 = 6, a ∈ Y
(iii) a, 6 से कम है और a ∈ Y

10. A, B तथा C सार्वत्रिक समुच्चय के उप-समुच्चय हैं। यदि A = {2, 4, 6, 8, 12, 20}
B = {3, 6, 9, 12, 15}, C = {5, 10, 15, 20} और U सभी पूर्ण संख्याओं का समुच्चय है, तो U, A, B और C के परस्पर संबंधों को दर्शाने वाला वेन आरेख खींचिए।

11. मान लीजिए कि U किसी विद्यालय के समस्त लड़के और लड़कियों का समुच्चय है, G उस विद्यालय के समस्त लड़कियों का समुच्चय है, B उस विद्यालय के समस्त लड़कों का समुच्चय है और S उस विद्यालय के उन सभी विद्यार्थियों का समुच्चय है, जो तैरना सीखते हैं। उस विद्यालय के केवल कुछ विद्यार्थी तैरना सीखते हैं। U, G, B और S समुच्चयों के बीच संभव परस्पर संबंधों में से किसी एक संबंध को प्रदर्शित करने वाला एक वेन आरेख खींचिए।

12. सभी समुच्चयों A, B और C के लिए सिद्ध कीजिए कि, (A – B) ∩ (C – B) = A – (B ∪ C) निर्धारित कीजिए कि प्रश्न संख्या 13 से 17 तक में दिये गये कथन सत्य हैं या असत्य हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

13. सभी समुच्चयों A और B के लिए, (A – B) ∪ (A ∩ B) = A

14. सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, ।A – (B – C) = (A – B) – C

15. सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ B, तो A ∩ C ⊂ B ∩ C

16. सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ B तो A ∪ C ⊂ B ∪ C

17. सभी समुच्चयों A, B और C के लिए, यदि A ⊂ C और B ⊂ C, तो A ∪ B ⊂ C

समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न संख्या 18 से 21 में दिये कथनों को सिद्ध कीजिएः

18. सभी समुच्चयों A और B के लिए, A ∪ (B – A) = A ∪ B

19. सभी समुच्चयों A और B के लिए, A – (A – B) = A ∩ B

20. सभी समुच्चयों A और B के लिए, A – (A ∩ B) = A – B

21. सभी समुच्चयों A और B के लिए, (A ∪ B) – B = A – B

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

23. मान लीजिए कि ।A, B और C कोई समुच्चय हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

24. 100 विद्यार्थियों में से 15 अंग्रेजी, 12 गणित और 8 विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। 6 अंग्रेजी और गणित, 7 गणित और विज्ञान, 4, अंग्रेजी और विज्ञान तथा 4 तीनों विषयों में उत्तीर्ण हुए। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी उत्तीर्ण हुएः-
(i) अंग्रेजी और गणित परंतु विज्ञान में नहीं
(ii) गणित और विज्ञान परंतु अंग्रेजी में नहीं
(iii) केवल गणित में
(iv) केवल एक से अधिक विषयों में

25. 60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में, 25 विद्यार्थी क्रिकेट और 20 विद्यार्थी टेनिस खेलते हैं तथा 10 विद्यार्थी दोनों ही खेल खेलते हैं। उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो इन दोनों में से कोई भी खेल नहीं खेलते हैं।

26. किसी विद्यालय के 200 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण (Survey) से ज्ञात हुआ कि 120 विद्यार्थी गणित, 90 भौतिक विज्ञान तथा 70 रसायन विज्ञान पढ़ते हैं। 40 गणित और भौतिक विज्ञान, 30 भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान, 50 रसायन विज्ञान और गणित पढ़ते हैं तथा 20 इन विषयों में से कोई भी विषय नहीं पढ़ते हैं। उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए, जो इन तीनों ही विषयों को पढ़ते हैं।

27. किसी शहर के 10,000 परिवारों के बारे में ज्ञात होता है कि 40% समाचार पत्र A, 20%
समाचार पत्र B, 10% समाचार पत्र C, 5% समाचार पत्र A और B, 3% समाचार पत्र B और C
तथा 4% समाचार पत्र A और C खरीदते हैं। यदि 2% परिवार तीनों ही समाचार पत्र खरीदते हैं,
तो उन परिवारों की संख्या ज्ञात कीजिए जो
(i) केवल समाचार पत्र A खरीदते हैं।
(ii) A, B तथा C में से कोई भी समाचार पत्र नहीं खरीदते हैं।

28. 50 विद्यार्थियों के एक समूह में फ्रांसीसी, अंग्रेजी और संस्कृत विषयों का अध्ययन करने वालों की संख्या निम्नलिखित प्रकार हैः फ्रांसीसी = 17, अंग्रेजी = 13, संस्कृत = 15, फ्रांसीसी और अंग्रेजी = 09, अंग्रेजी और संस्कृत = 04, फ्रांसीसी और संस्कृत = 05, अंग्रेजी, फ्रांसीसी और संस्कृत = 03 उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए जो,
(i) केवल फ्रांसीसी पढ़ते हैं। (ii) फ्रांसीसी और संस्कृत पढ़ते हैं परंतु अंग्रेजी नहीं पढ़ते हैं।
(iii) केवल अंग्रेजी पढ़ते हैं। (iv) फ्रांसीसी और अंग्रेजी पढ़ते हैं परंतु संस्कृत नहीं पढ़ते हैं।
(v) केवल संस्कृत पढ़ते हैं। (vi) तीनों भाषाओं में से कम से कम एक भाषा पढ़ते हैं।
(vii) अंग्रेजी और संस्कृत पढ़ते हैं (viii) तीनों भाषाओं में से एक भी भाषा नहीं पढ़ते हैं। परंतु, फ्रांसीसी नहीं पढ़ते हैं।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Objective Type Questions)

प्रश्न संख्या 29 से 43 में प्रत्येक में दिये गये चार विकल्पों में सही विकल्प का चयन कीजिए (M.C.Q.):

30. दो परिमित समुच्चयों में क्रमशः m और n अवयव हैं। पहले समुच्चय के उप-समुच्चयों की संख्या दूसरे समुच्चय के उप-समुच्चयों के उप-समुच्चयों की संख्या से 112 अधिक है। m और n के मान क्रमशः

(A) 4, 7 (B) 7, 4 (C) 4, 4 (D) 7, 7

31. समुच्चय (A ∩ B′)′ ∪ (B ∩ C) निम्नलिखित में से किस समुच्चय के समान हैः

(A) A′ ∪ B ∪ C (B) A′ ∪ B (C) A′ ∪ C′ (D) A′ ∩ B

32. मान लीजिए कि F₁ समांतर चतुर्भुज, F₂ आयत, F₃ समचतुर्भुज, F₄ वर्ग तथा F₅ समलंब चतुर्भुज के समुच्चय हैं, तो F₁ निम्नलिखित में से किसके समान है?

(A) F₂ ∩ F₃ (B)F₃ ∩ F₄
(C)F₂ ∪ F₅ (D) F₂∪ F₃ ∪ F₄ ∪ F₁

33. मान लीजिए कि S = किसी वर्ग के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय, T = किसी त्रिभुज के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय, C = किसी वृत्त के भीतर के बिंदुओं का समुच्चय A यदि त्रिभुज और वृत्त एक दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं (काटते हैं) और वर्ग में अंतर्विष्ट हैं, तो

(A) S ∩ T ∩ C = φ (B) S ∪ T ∪ C = C
(C) S ∪ T ∪ C = S (D) S ∪ T = S ∩ C

34. मान लीजिए कि R, भुजा a और b (a, b > 1) वाले एक ऐसे आयत के भीतरी बिंदुओं का समुच्चय है, जिसकी भुजाएँ क्रमशः x-अक्ष तथा y-अक्ष की धनात्मक दिशाओं के अनुदिश (along) हैं, तो

(A) R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} (B) R = {(x, y) : 0 ≤ x < a, 0 ≤ y ≤ b} (C) R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 < y < b} (D) R = {(x, y) : 0 < x < a, 0 < y < b}

35. 60 विद्यार्थियों की एक कक्षा में 25 विद्यार्थी क्रिकेट, 20 विद्यार्थी टेनिस और 10 विद्यार्थी दोनों ही खेल खेलते हैं, तो दोनों में से कोई भी खेल नहीं खेलने वाले विद्यार्थियों की संख्या

(A) 0 (B) 25 (C) 35 (D) 45 है।

36. यदि 840 व्यक्तियों वाले किसी नगर में 450 व्यक्ति हिंदी, 300 व्यक्ति अंग्रेजी और 200 व्यक्ति दोनों ही विषय पढ़ते हैं, तो दोनों में से कोई भी विषय नहीं पढ़ने वाले व्यक्तियों की संख्या

(A) 210 (B) 290 (C) 180 (D) 260 है।

37. X = {8n– 7n – 1 | n ∈ N} और Y = {49n – 49 | n ∈ N}, तो
(A) X ⊂ Y (B) Y ⊂ X (C) X = Y (D) X ∩ Y = φ

38. एक सर्वेक्षण प्रदर्शित करता है कि 63% लोग किसी समाचार चैनल (News Channel) को देखते हैं जबकि 76% लोग किसी अन्य चैनल को देखते हैं। यदि x% लोग दोनों चैनल देखते हैं, तो

(A) x = 35 (B) x = 63 (C) 39 ≤ x ≤ 63 (D) x = 39

39. यदि समुच्चय A और B निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित हैं,

A = {(x, y) | y = 1/x , 0 ≠ x ∈ R} B = {(x; y) | y = – x, x ∈ R}, तो
(A) A ∩ B = A (B) A ∩ B = B (C) A ∩ B = φ (D) A ∪ B = A

40. यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A ∩ (A ∪ B) समान हैः

(A) A (B) B (C) φ (D) A ∩ B

41. यदि A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17} B = {2, 4, … , 18} तथा N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय है, तो A′ ∪ (A ∪ B) ∩ B′) समान हैः

(A) φ (B) N (C) A (D) B

42. मान लीजिए कि S = {x | x 100 से छोटा 3 का एक धनात्मक गुणज है},
P = {x | x, 20 से छोटी एक अभाज्य संख्या है}, तो n(S) + n(P) =

(A) 34 (B) 31 (C) 33 (D) 30 है।

43. यदि X तथा Y दो समुच्चय हैं और X′ X के पूरक समुच्चय को निरूपित करता है, तो X ∩ (X ∪ Y) समान हैः

(A) X (B) Y (C) φ (D) X ∩ Y

प्रश्न संख्या 44 से 51 में से प्रत्येक में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः

44. समुच्चय {x ∈ R : 1 ≤ x < 2} को _____________ प्रकार से भी लिखा जा सकता है।

45. जब A = φ, तो P(A) में अवयवों की संख्या _____________ है।

46. यदि A तथा B इस प्रकार के परिमित समुच्चय हैं कि A ⊂ B, rks n (A∪ B) = ________________ .

47. यदि A तथा B कोईं भी दो समुच्चय हैं, तो A – B ___________ समान है।

48. समुच्चय A = {1, 2} का घात समुच्चय ________________ है।

49. दिया हुआ है कि A = {1, 3, 5}. B = {2, 4, 6} तथा C = {0, 2, 4, 6, 8}, तो समुच्चयों A, B तथा C का एक सार्वत्रिक समुच्चय ______________ है।

50. यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 7} तथा C = {2, 3, 4, 8}, तो
(i) (B ∪ C)′ _________ है। (ii) (C – A)′ ________________ है।

51. किसी भी समुच्चय A तथा B के लिए, A – (A ∩ B) ________के समान है।

52. सभी समुच्चयों A, B तथा C के लिए निम्नलिखित समुच्चयों का सही मिलान कीजिएः

(i) ((A′ ∪ B′) – A)′ (a) A – B
(ii) [B′ ∪ (B′ – A)]′ (b) A
(iii) (A – B) – (B – C) (c) B
(iv) (A – B) ∩ (C – B) (d) (A × B) ∩ (A × C)
(v) A × (B ∩ C) (e) (A × B) ∪ (A × C)
(vi) A × (B ∪ C) (f) (A ∩ C) – B

प्रश्न संख्या 53 से 58 में से प्रत्येक में दिये हुए निम्नलिखित कथनों को सत्य या असत्य में व्यक्त कीजिएः

53. यदि A कोई समुच्चय है, तो A ⊂ A

54. दिया हुआ है कि M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} और यदि B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, तो B ⊄ M

55. समुच्चय {1, 2, 3, 4} तथा {3, 4, 5, 6} समान हैं।

56. Q ∪ Z = Q, जहाँ Q परिमेय संख्याओं का समुच्चय है और्र पूर्णांकों का समुच्चय है।

57. मान लीजिए कि समुच्चय R और T निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित हैं,
R = {x ∈ Z | x, गए संख्या 2 से भाज्य है}
T = {x ∈ Z | x, गए संख्या 6 भाज्य है}, तो T ⊂ R

58. दिया हुआ है कि A = {0, 1, 2}, B = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2}, तो सिद्ध कीजिए कि A = B.

उत्तरमाला अध्याय 1 (मात्रक और मापन)

इस पेज पर दिए गए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समुच्चय की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।

कक्षा 11 गणित महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर