गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सरल रेखाएँ यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ सरल रेखाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 10 – सरल रेखाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 11
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 10 – सरल रेखाएँ
कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सरल रेखाएँ
कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 10 – सरल रेखाएँ के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।
10.1 समग्र अवलोकन (Overviews)
10.1.1 रेखा की ढाल (Slope of a line)
यदि कोई रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में कोण θ बनाती है, तो tan θ का मान रेखा की ढाल कहलाता है और इसे m से निर्दिष्ट करते हैं।
बिंदु Q (x2 , y2 ) तथा Q (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढाल
10.1.2 दो रेखाओं के बीच का कोण (Angle between two lines):
m₁ तथा m₂ हैं, के बीच का कोण θ हमें
10.1.3 तीन बिंदुओं की संरेखता (Collinearity of three points) यदि तीन बिंदु P (h, k),
10.1.4 रेखा के समीकरण के विविध रूप (Various forms of the equation of a line)
(i) यदि कोई रेखा x-अक्ष के समांतर एव a दूरी पर स्थित है, तब रेखा का समीकरण y = ± a होता है।
(ii) यदि कोई रेखा y-अक्ष के समांतर है एवं y अक्ष से b दूरी पर है, तो रेखा का समीकरण x = ± b होता है।
(iii) बिंदु-ढाल रूप रू बिंदु (x₀ , y₀) से गुजरने वाली रेखा, जिसकी ढाल m हो, उसका समीकरण
y – y₀ = m (x – x₀) से प्राप्त होता है।
(v) ढाल-अंतः खंड रूप: y-अक्ष पर अंतःखंड c काटने तथा ढाल m वाली रेखा का समीकरण y = mx + c है। ध्यान दीजिए कि c का मान धनात्मक अथवा ऋणात्मक होगा यदि y-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः धनात्मक अथवा ऋणात्मक भाग पर बना है।
(vi) अंतः खंड रूपः x-अक्ष एवं y-अक्ष पर क्रमशः a तथा b अंतःखंड बनाने वाली रेखा का
(vii) अभिलम्ब रूपः मान लीजिए कि निम्नलिखित आंकड़ों वाली एक रेखा जो ऊर्ध्वाधर नहीं है,
(a) मूल बिंदु से रेखा पर खींचे गये लंब की लंबाई p
(b) अभिलम्ब द्वारा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण ω, तब रेखा का समीकरण x cos ω + y sin ω = p है।
10.1.5 रेखा का व्यापक समीकरण
Ax + By + C = 0 के रूप वाला समीकरण जहाँ A और B एक साथ शून्य नहीं हैं, रेखा का व्यापक समीकरण कहलाता है।
Ax + By + C = 0 के विभिन्न रूपः
रेखा के व्यापक रूप को विभिन्न रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिया हुआ हैः
(i) ढाल-अंतःखंड रूप रू यदि B ≠ 0, rc Ax + By + C = 0 का
10.1.6 एक बिंदु की रेखा से दूरीः
10.1.7 बिंदुपथ एवं बिंदुपथ का समीकरण
किन्हीं दी हुई शर्तों के अंतर्गत किसी बिंदु के भ्रमण से बना हुआ वक्र, उस बिंदु का बिंदुपथ कहलाता है। निर्देशांक (h, k), वाले बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए h एवं k को सम्मिलित करने वाली शर्त की अभिव्यक्ति कीजिए। यदि कोई चर है तो उसे विलुप्त कीजिए और P का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए अंत में h को x से एवं k को y से प्रतिस्थापित कीजिए।
10.1.8 दो रेखाओं का प्रतिच्छेदनः दो रेखाएँ a₁x + by + c₁ = 0 एवं a₂x + b₂y + c₂ = 0
10.2 हल किए हुए उदाहरण
लघु उत्तरीय उदाहरण (S.A.)
उदाहरण 1 बिंदु (2] 3) से गुजरने वाली तथा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 30° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 2 एक ऐसी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके ऊपर मूल बिंदु से खींचे गये लम्ब-खंड
की लंबाई 4 इकाई है और लंब खंड का धनात्मक x-अक्ष के साथ झुकाव 30° है।
हल रेखा के समीकरण का लंब रूप x cosω + y sinω = p है। यहाँ p = 4 and ω = 30°
इसलिए दी हुई रेखा का समीकरण x cos 30° + y sin 30° = 4 है।
उदाहरण 3 सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक सरल रेखा का समीकरण Ax + By + C = 0 के रूप में होता है जहाँ A, B तथा C अचर हैं।
हल कोई दी हुई सरल रेखा या तो y-अक्ष को काटती है या y-अक्ष के समांतर होती है या y-अक्ष के समांती होती है। हम जानते है कि y-अक्ष को काटने वाली (जिसका y अंतः खंड होता है) रेखा का समीकरण y = mx + b के रूप का होता है। इसके अतिरिक्त यदि रेखा y-अक्ष के समांतर या संपातीहै तो इसका समीकरण x = x₁ के रूप का होता है, जहाँ संपाती होने की स्थिति में x₁= 0 लिया जाता है। ये दोनों ही समीकरण प्रश्न में दिये हुए समीकरण के रूप में सन्निहित हैं अतः इस प्रकार वांछित परिणाम सिद्ध हो जाता है।
उदाहरण 4 रेखा x + y + 7 = 0 पर लम्ब एवं बिन्दु (1] 2) से जाने वाले रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल मान लीजिए कि रेखा x + y + 7 = 0 पर लम्ब जिस रेखा का समीकरण ज्ञात करना है उसका ढाल m है। दी हुई रेखा y = (– 1) x – 7 का ढाल – 1 है। इसलिए रेखाओं के लम्ब होने की शर्त का उपयोग करते हुए हम m × (– 1) = – 1 या m = 1 (क्यों) प्राप्त करते हैं।
इस प्रकार रेखा का वांछित समीकरण y – 1 = (1) (x – 2) या y – 1 = x – 2 या x – y – 1 = 0 है।
उदाहरण 5 रेखा 3x + 4y = 9 एवं 6x + 8y = 15 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल रेखा 3x + 4y = 9 एवं 6x + 8y = 15 के समीकरणों को पुनः
उदाहरण 7 यदि दो बिंदुओं A(2, 0) तथा B(3, 1) को मिलाने वाली रेखा को वामावर्त दिशा में A के इर्द-गिर्द 15° के कोण से घुमाया जाता है। रेखा का नई अवस्था में समीकरण ज्ञात कीजिए।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)
उदाहरण 10 बिंदु (1, 2) से आने वाली प्रकाश की किरण x-अक्ष पर बिंदु A से परावर्तित होने के पश्चात् बिंदु (5, 3) से गुजरती है। बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल मान लीजिए आपतित किरण x-अक्ष के जिस बिंदु A से टकराती है उसके निर्देशांक (x, 0) हैं। आकृति के अनुसार परावर्तित किरण का ढाल
उदाहरण 11 यदि किसी आयत का एक विकर्ण रेखा 8x – 15y = 0 के साथ है और इसका एक शीर्ष (1, 2), पर है तो इस शीर्ष से जाने वाली आयत की भुजाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए कि ABCD दिया हुआ आयत है और (1, 2) शीर्ष D के निर्देशांक हैं। हम भुजा DC एवं AD का समीकरण ज्ञात करना चाहते हैं।
वस्तुनिष्ठीय प्रश्न
उदाहरण संख्या 12 से 20 तक प्रत्येक के चार विकल्प हैं जिनमें से केवल एक विकल्प सही है। सही विकल्प का चयन कीजिए।
उदाहरण 12 x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ रेखा x – y + 3 = 0 का झुकाव हैः
(A) 45° (B) 135° (C) – 45° (D) –135°
हल (A) सही उत्तर है। दी हुई रेखा के समीकरण को पुनः y = x + 3 के रूप में लिखा जा सकता है
⇒ m = tan θ = 1, blfy, θ = 45°.
उदाहरण 16 बिंदु (2] 3) से रेखा x + y – 11 = 0 पर खींचे गये लंब के पाद बिंदु के निर्देशांक हैः
(A) (–6, 5) (B) (5, 6) (C) (–5, 6) (D) (6, 5)
हल सही विकल्प (B) है। मान लीजिए बिंदु (2] 3) से रेखा x + y – 11 = 0 पर खींचे गये लंब के
उदाहरण 17 किसी रेखा द्वारा y-अक्ष पर काटा गया अंतःखंड, x-अक्ष पर काटे गये अंतः खंड से दोगुना है और यह रेखा बिंदु (1, 2) से जाती है। रेखा का समीकरण हैः
(A) 2x + y = 4 (B) 2x + y + 4 = 0
(C) 2x – y = 4 (D) 2x – y + 4 = 0
हल सही विकल्प (A) है। मान लीजिए कि रेखा x-अक्ष पर अंतःखंड a काटती है, तो यह y- अक्ष पर अंतःखंड 2a बनाएगी। इसलिए रेखा का समीकरण
उदाहरण 18 एक रेखा बिंदु P(1, 2) से इस प्रकार जाती है कि अक्षों के बीच इसका अंतःखंड P पर दो समान भागों में विभाजित होता है। रेखा का समीकरण हैः
(A) x + 2y = 5 (B) x – y + 1 = 0
(C) x + y – 3 = 0 (D) 2x + y – 4 = 0
हल सही विकल्प (D) है। हम जानते हैं कि x-अक्ष एवं y-अक्ष पर क्रमशः a तथा b अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण
उदाहरण 19 बिंदु (4, – 13) का रेखा 5x + y + 6 = 0 के सापेक्ष में परावर्तित बिंदु हैः
(A) (– 1, – 14) (B) (3, 4) (C) (0, 0) (D) (1, 2)
हल सही विकल्प (A) है। मान लीजिए बिंदु (4 µ13) का रेखा 5x + y + 6 = 0 के सापेक्ष में परावर्तन (h, k) है। बिंदुओं (h, k) एवं (4, – 13) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु
उदाहरण 20 एक बिंदु इस प्रकार भ्रमण करता है कि बिंदु (4, 0) से इसकी दूरी, रेखा x = 16 से इसकी दूरी का आधा है। बिंदु का बिन्दुपथ है-
(A) 3x² + 4y = 192 (B) 4x + 3y² = 192
(C) x² + y² = 192 (D) इनमें से कोई नहीं
हल सही विकल्प (A) है। मान लीजिए कि भ्रमण करने वाले बिंदु के निर्देशांक (h, k) हैं।
10.3 प्रश्नावली
लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)
1. बिंदु (1, -2) से जाने वाली और अक्षों पर समान अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
2. बिंदु (5, 2) से जाने वाली एवं बिन्दु (2, 3) तथा (3, -1) को मिलाने वाली रेखा पर लंब, एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
4. एक रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर काटे गये अंतःखंडों का योग 14 है और यह बिंदु (3, 4) से जाता है। रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
5. रेखा x + y = 4 पर ऐसे बिंदु ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x + 3y = 10 से 1 इकाई की दूरी पर स्थित है।
7. बिंदु (1, 2) से जाने वाली एवं y-अक्ष के साथ 30° का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
8. रेखा 2x + y = 5 एवं x + 3y + 8 = 0 के प्रतिच्छेद बिंदु से जाने वाली और रेखा 3x + 4y = 7 के समांतर सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
9. a तथा b के किन मानों के लिए, रेखा ax + by + 8 = 0 द्वारा निर्देशांक अक्षों पर काटे गये अंतःखंड एवं रेखा 2x – 3y + 6 = 0 द्वारा निर्देशांक अक्षों पर काटे गये अंतःखंड लंबाई में समान हैं परंतु चिन्हों में विपरीत हैं।
10. यदि निर्देशांक अक्षों के बीच किसी रेखा का अंतःखंड बिंदु (-5, 4) द्वारा 1ः 2 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, तो रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
11. एक ऐसी सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जिस पर मूल बिंदु से खींचे गये लंब की लंबाई 4 इकाई है और यह रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा वेफ साथ 120º का कोण बनाती है।
[संकेत : लंब रूप का प्रयोग कीजिए, यहाँ ω =30°.]
12. किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की एक भुजा का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि उसके कर्ण का समीकरण 3x + 4y = 4 है और कर्ण के सम्मुख शीर्ष (2, 2) है।
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (S.A.)
13. यदि किसी समबाहु त्रिभुज के आधार का समीकरण x + y = 2 है और शीर्ष बिंदु (2, – 1) है, तो त्रिभुज की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
[संकेत : बिंदु (2, -1) से रेखा पर खींचे गये लंब की लम्बाई (p) ज्ञात कीजिए और p = l sin 60° का प्रयोग कीजिए जिसमें l त्रिभुज की भुजा की लंबाई है]
14. एक चर रेखा किसी निश्चित बिंदु P से जाती है। बिंदुओं (2, 0), (0, 2) एवं (1, 1) से रेखा पर खींचे गये लंबों का बीजीय योग शून्य है। बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
19. यदि किसी तल में भ्रमण करने वाले एक बिंदु की अक्षों से दूरियों का योग 1 है, तो उस बिंदु का बिंदु पथ ज्ञात कीजिए।
[संकेत : दिया हुआ है, |x| + |y| = 1, जिससे वर्ग की चार भुजाएँ प्राप्त होती हैं,]
वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न संख्या 22 से 41 तक प्रत्येक प्रश्न के लिए दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए:
22. एक रेखा y-अक्ष से -3 अंतःखंड काटती है और x-अक्ष के साथ बनाये गये कोण की स्पर्शज्या
24. बिंदु (3, 2) से जाने वाली एवं रेखा y = x पर लंब एक सरल रेखा का समीकरण हैः
(A) x – y = 5 (B) x + y = 5 (C) x + y = 1 (D) x – y = 1
25. बिंदु (1, 2) से जाने वाली एवं रेखा y + x + 1 = 0 पर लंब एक सरल रेखा का समीकरण हैः
(A) y – x + 1 = 0 (B) y – x – 1 = 0
(C) y – x + 2 = 0 (D) y – x – 2 = 0
26. दो रेखाओं के अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः a, – b एवं b, – a, हैं। रेखाओं के बीच के कोण की स्पर्शज्या (टेंजेंट) हैः
33. यदि अक्षों के बीच अंतःखंडित किसी रेखा के भाग का मध्य बिंदु (3,2) है, तो रेखा का समीकरण होगाः
(A) 2x + 3y = 12 (B) 3x + 2y = 12 (C) 4x – 3y = 6 (D) 5x – 2y = 10
34. बिंदु (1, 2) से जाने वाली एवं रेखा y = 3x – 1के समांतर रेखा का समीकरण हैः
(A) y + 2 = x + 1 (B) y + 2 = 3 (x + 1)
(C) y – 2 = 3 (x – 1) (D) y – 2 = x – 1
35. रेखाओं = 0, y = 0, x = 1 एवं y = 1 द्वारा निर्मित वर्ग के विकर्णों के समीकरण हैंः
36. एक सरल रेखा को निर्धारित करने के लिए कितने ज्यामितीय प्राचलों की आवश्यकता होती हैः
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 3
38. रेखाओं 4x + 3y + 10 = 0, 5x – 12y + 26 = 0 एवं 7x + 24y – 50 = 0 से समदूरस्थ एक बिंदु के निर्देशांक हैंः
(A) (1, –1) (B) (1, 1) (C) (0, 0) (D) (0, 1)
40. रेखाओं 3x + 4y + 2 = 0 एवं 3x + 4y + 5 = 0 के बीच की दूरी को, रेखा 3x + 4y – 5 = 0 निम्नलिखित में से किस अनुपात में बाँटती हैंः
(A) 1 : 2 (B) 3 : 7 (C) 2 : 3 (D) 2 : 5
41. एक समबाहु त्रिभुज का केंद्रक मूल बिंदु है और एक भुजा का समीकरण x + y – 2 = 0 है। उस त्रिभुज का एक शीर्ष हैः
(A) (–1, –1) (B) (2, 2) (C) (–2, –2) (D) (2, –2)
प्रश्न संख्या 42 से 47 में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
42. यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं, तो सरल रेखा ax + by + c = 0 हमेशा ____________ से जायेगी।
43. बिंदु (1, –2) से जाने वाली एवं अक्षों से समान अंतःखंड काटने वाली रेखा का समीकरण _________ है।
44. बिंदु (3, 2) से जाने वाली और रेखा x – 2y = 3 के साथ 45º का कोण बनाने वाली रेखाओं के समीकरण _______________ हैं।
45. बिंदु (3, 4) एवं (2, -6) रेखा 3x – 4y – 8 = 0 के ___________ पर स्थित है।
46. एक बिंदु इस प्रकार भ्रमण करता है कि बिंदु (2, -2) से इसकी दूरी का वर्ग, संख्यात्मक रूप में, रेखा 5x – 12y = 3 से उसकी दूरी, के समान है। उसके बिंदु पथ का समीकरण ______________ है।
47. अक्षों के बीच अंतःखंडित रेखा x sin θ + y cos θ = p के मध्य बिंदु का बिंदु पथ ___________ है।
बताईए कि प्रश्न संख्या 48 से 56 तक दिये हुए कथन सत्य हैं अथवा असत्य। उत्तर की पुष्टि कीजिए-
48. यदि किसी त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक पूर्णांक हैं तो त्रिभुज समबाहु नहीं हो सकता।
49. बिंदु A (– 2, 1), B (0, 5), C (– 1, 2) संरेख हैं।
56. बिंदुओं (3, -4) एवं (-2, 6) को मिलाने वाली रेखा, बिंदुओं (-3, 6) एवं (9, -18) को मिलाने वाली रेखा पर लंब है।
प्रश्न संख्या 57 से 59 तक स्तंभ C₁ के अंतर्गत दिए हुए प्रश्न स्तंभ C₂ के अंतर्गत दिए हुए उचित उत्तर के साथ मिलान कीजिए –
58. यदि रेखाएँ (2x + 3y + 4) + λ (6x – y + 12) = 0 निम्नलिखित प्रतिबंधों को संतुष्ट करती हैं तो λ का मान है
59. रेखायें 2x – 3y = 0 एवं 4x – 5y = 2 के प्रतिच्छेद बिंदु से जाने वाली तथा निम्नलिखित प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाली रेखा का समीकरण है।
उत्तरमाला अध्याय 10 (सरल रेखाएँ)
इस पेज पर दिए गए कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सरल रेखाएँ की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
