कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिकोणमितीय फलन

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श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद् 
कक्षा: 11 
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 3 – त्रिकोणमितीय फलन

कक्षा 11 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिकोणमितीय फलन

कक्षा 11 गणित विषय के यूनिट 3 – त्रिकोणमितीय फलन के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

3.1 समग्र अवलोकन (Overview)

3.1.1- शब्द ‘trigonometry’ (त्रिकोणमितीय) यूनानी शब्द ‘ट्रिगोन’ (trigon) और ‘मीट्रोन’ (metron) से व्युत्पत्ति हुआ है, जिसका अर्थ एक त्रिभुज की भुजाओं का मापना है। एक कोण एक निश्चित रेखा के सापेक्ष परिभ्रमण करने वाली किसी रेखा के घूर्णन की मात्रा होती है। यदि यह घूर्णन दक्षिणावर्त दिशा में है तो कोण ऋणात्मक होता है तथा कोण धनात्मक होता है, यदि घूर्णन वामावर्त दिशा में होता है। प्रायः, हम कोणों को मापने के लिए, दो प्रकार की पत्तियां, अर्थात् (i) षोष्टिक पद्धति (sexagesinal system) और (ii) वृत्तीय पद्धति अपनाते हैं। षौष्टिक पद्धति में, कोण के मापन की इकाई अंश या डिग्री (Degree) है। यदि प्रारंभिक भुजा

मापन की वृत्तीय पद्धति में, मापन की इकाई रेडियन (radian) है। एक रेडियन वह कोण है जो किसी वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई का चाप उस वृत्त के केंद्र पर अंतरित करता है। त्रिज्या r वाले एक वृत्त के चाप PQ की लंबाई s = rθ दी जाती है, जहाँ θ रेडियनों में मापा गया वह कोण है, जो चाप PQवृत्त के केंद्र पर अंतरित करता है।

3.1.2- डिग्री और रेडियन में संबंध

किसी वृत्त की परिधि का उसके व्यास के साथ सदैव एक अचर अनुपात होता है। यह अचर अनुपात π से व्यक्त की जाने वाली एक संख्या है जिसका मान सभी व्यावहारिक प्रयोजन के लिए लगभग 22/7 लिया जाता है। डिग्री और रेडियन मापों वेफ बीच संबंध निम्नलिखित हैं-

3.1.3 त्रिकोणमितीय फलन

न्यून कोणों के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात को, किसी समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपातों के रूप में परिभाषित किया जाता है। रेडियन माप में व्यक्त किसी कोण वेफ लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात का विस्तार, त्रिकोणमितीय फलन कहलाता है। त्रिकोणमितीय फलनों के विभिन्न चतुर्थांशों में चिन्ह निम्नलिखित तालिका में दिए हैं-

3.1.4- त्रिकोणमितीय फलनों के प्राँत और परिसर

3.1.5- समकोण अर्थात् 90º से छोटे या उसके बराबर कुछ कोणों के sine, cosine और tangent

3.1.6- समवर्गीय या संबंधित कोण

(a) उसी फलन के मान के, यदि n एक सम पूर्णांक है तथा इस मान का चिन्ह उस चतुर्थांश के अनुसार होता है जिसमें वह कोण स्थित है।
(b) θ के संगत सहफलन के मान के यदि n एक विषम पूर्णांक है तथा फलन का चिन्ह उस चतुर्थांश के अनुसार होता है, जिसमें वह कोण स्थित है। यहाँ sine और cosine, tan और cot तथा sec और cosec एक दूसरे के सहफलन हैं।

3.1.7- ऋणात्मक कोणों के फलन मान लीजिए θ कोई कोण है। तब

sin (– θ) = – sin θ, cos (–θ) = cos θ
tan (– θ) = – tan θ, cot (–θ) = – cot θ
sec (–θ) = sec θ, cosec (– θ) = – cosec θ

3.1.8- यौगिक कोणों से संबधी कुछ सूत्र
दो या अधिक कोणों के योग या अंतर से बना एक कोण यौगिक कोण कहलाता है। इस संबंध में मूलभूत परिणाम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ कहलाते हैं। जिन्हें नीचे दिया जा रहा हैः
(i) sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
(ii) sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
(iii) cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
(iv) cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

3.1.9- त्रिकोणमितीय समीकरण
किसी चर के त्रिकोणमितीय फलनों से सम्बद्ध समीकरण त्रिकोणमितीय समीकरण कहलाते हैं। समीकरण सर्वसमिकाएँ कहलाती हैं, यदि वे अज्ञात कोणों के उन सभी मानों से संतुष्ट हो जाएँ, जिनकेलिए वे फलन परिभाषित हैं। किसी त्रिकोणमितीय समीकरण के वे हल जिसके लिए 0 ≤ θ < 2 π, उसका मुख्य हल कहलाते हैं। पूर्णांक n से सम्बद्ध वह व्यंजक जो त्रिकोणमितीय समीकरण के सभी हल दे, उसका व्यापक हल कहलाता है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों के व्यापक हल

3.2 हल किये हुए उदाहरण

लघु उत्तरीय प्रश्न (S. A.)

उदाहरण 1 3 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार तार को काट कर इस प्रकार मोड़ा जाता है कि वह 48 cm (त्रिज्या) वाले एक छल्ले की परिधि के अनुदिश स्थित हो जाए। अंशों (डिगरीस) में वह कोण ज्ञात कीजिए जो यह छल्ले के केंद्र पर अंतरित करता है।
हल तार की त्रिज्या 3 cm, दिया हुआ है। इसलिये, इसे काटने पर, इसकी लंबाई त्र = 2π × 3cm = 6π cm (त्रिज्या) पुनः इसे 48 cm त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार छल्ले के अनुदिश रखा जाता है। यहाँ s = 6π cm चाप की लंबाई है तथा r = 48 cm cm वृत्त की त्रिज्या है। इसलिए, इस चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

उदाहरण 12 : सिद्ध कीजिए कि 2 sin² β + 4 cos (α + β) sin α sin β + cos 2 (α + β) = cos 2α
हल :

उदाहरण 13 यदि कोण θ को ऐसे भागों में विभाजित किया जाता है कि एक भाग का tangent दूसरे भाग के tangent का k गुना है, तथा इन भागों का अंतर φ है, तो-

वस्तुनिष्ठ उदाहरण (MCQ)
उदाहरण 15 से 19 तक प्रत्येक में, दिए हुए चारों विकल्पों में से सही उत्तर चुनिएः

रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिएः

उदाहरण 20 यदि, 3 tan (θ – 15°) = tan (θ + 15°), 0° < θ < 90° है, तो θ =_____________ है।
हल 3 tan (θ – 15°) = tan (θ + 15°) को इस रूप में लिखा जा सकता हैः

स्तंभ C₁ में दिए प्रत्येक प्रविष्टि की स्तंभ C₂ में दी गई प्रविष्टियों से मिलान कीजिएः
उदाहरण 22

3.3 प्रश्नवाली

लघु उत्तरीय प्रश्न

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (LA)

20. यदि sin (θ + α) = a vkSj sin (θ + β) = b है, तो सिद्ध कीजिए कि cos 2(α – β) – 4ab
cos (α – β) = 1 – 2a² – 2b² है।
[संकेत: cos (α – β) = cos {(θ + α) – (θ + β) लिखिए]}

23. यदि a cos 2θ + b sin 2θ = c के मूल α और β हैं, तो सिद्ध कीजिए कि

24. यदि x = sec φ – tan φ vkSj y = cosec φ + cot φ हैं तो सिद्ध कीजिए कि xy + x – y + 1 = 0 है।

[संकेत : Find xy + 1 ज्ञात कीजिए और फिर सिद्ध कीजिए कि x, y = – (xy + 1) है।]

27. समीकरण 5cos² θ + 7sin² θ – 6 = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

28. समीकरण sinx – 3sin2x + sin3x = cosx – 3cos2x + cos3x का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 30 से 59 में, दिए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए (M.C.Q).

30. यदि sin θ + cosec θ = 2, तो sin² θ + cosec² θ बराबर है –

(A) 1 (B) 4
(C) 2 (D) इनमें से कोई नहीं

31. यदि f(x) = cos² x + sec² x है , तो

(A) f(x) < 1 (B) f (x) = 1 (C) 1< f (x) < 2 (D) f (x) ≥ 2 [संकेत: A.M ≥ G.M.]

41. 3 cosx + 4 sinx + 8 का न्यूनतम मान है –

(A) 5 (B) 9 (C) 7 (D) 3

42. tan 3A – tan 2A – tan A बराबर है –

(A) tan 3A tan 2A tan A (B) – tan 3A tan 2A tanA
(C) tan A tan 2A – tan 2A tan 3A – tan 3A tan A (D) इनमें से कोई नहीं

43. sin (45° + θ) – cos (45° – θ) का मान है –

(A) 2 cosθ (B) 2 sinθ (C) 1 (D) 0

(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) परिभाषित नहीं

45. cos 2θ cos 2φ + sin² (θ – φ) – sin² (θ + φ) के बराबर है –

(A) sin 2(θ + φ) (B) cos 2(θ + φ)
(C) sin 2(θ – φ) (D) cos 2(θ – φ)
[संकेत: sin2A – sin2 B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग कीजिए]

46. cos 12° + cos 84° + cos 156° + cos 132° का मान है –

49. sin 50° – sin 70° + sin 10° का मान बराबर है –

(A) 1 (B) 0 (C) 1/2 (D) 2

50. यदि sin θ + cos θ = 1है, तो sin 2θ का मान बराबर है –

(A) 1 (B)1/2 (C) 0 (D) –1

(A) θ एक न्यून कोण है (B) θ एक समकोण है
(C) θ एक अधिक कोण है (D) θ का कोई मान संभव नहीं है

प्रश्न संख्या 60 से 67 तक में रिक्त स्थानों को भरिएः

प्रश्न 68 से 75 तक प्रत्येक में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य, साथ ही इसका औचित्य भी दीजिए।

69. समिका sin A + sin 2A + sin 3A = 3 के कुछ वास्तविक मानों के लिए सत्य है।

70. sin 10°, cos 10° से बड़ा है।

72. θ का एक मान, जो समीकरण sin⁴ θ – 2sin² θ – 1 = 0 को संतुष्ट करता है, तथा 0 और 2π के बीच में स्थित होता है।

उत्तरमाला अध्याय 3 (त्रिकोणमिति फलन)

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