कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – अवकलज के अनुप्रयोग

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श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 6 – अवकलज के अनुप्रयोग

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – अवकलज के अनुप्रयोग

कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 6 – अवकलज के अनुप्रयोग के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

6.1 समग्र अवलोकन (Overview)

6.1.1 राशियों के परिवर्तन की दर

फलन y = f (x) के लिए d/dx (f(x)), x के सापेक्ष y के परिवर्तन की दर को निरुपित करता है। अतः यदि s दूरी तथा t समय को व्यक्त करते हैं तो ds/dt, समय के सापेक्ष दूरी के परिवर्तन की दर को व्यक्त करता है।

6.1.2 स्पर्श रेखाएँ तथा अभिलंब

किसी वक्र y = f (x) को बिंदु (x₁, y₁) पर स्पर्श करने वाली रेखा को उस बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा कहते हैं तथा इसका समीकरण y-y₁=(dy/dx) (x₁, y₁) (x–x₁) होता है।

स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर लंब रेखा को वक्र अभिलंब कहते हैं तथा इसका समीकरण

y – y1 = -1 / (dy/dx) (x₁, y₁) (x–x₁) होता है। दो वक्रों के बीच का प्रतिच्छेद कोण वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण होता है।

6.1.3 सन्निकटन

क्योंकि f ′(x) = lim f(x + ∆x)-f(x) / ∆x, इसलिए हम कह सकते हैं कि f ′(x) लगभग (approximately) f(x + ∆x)-f(x) / ∆x के बराबर है।

⇒ f(x + ∆x) का सन्निकट मान = f (x) + ∆x .f ′ (x)

6.1.4 वर्धमान / ह्रासमान फलन

किसी अंतराल (a, b) मेंं एक संतत फलन f (x) :

(i) निरंतर वर्धमान है, यदि सभी x1, x2 ∈ (a, b) के लिए x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) विकल्पतः सभी x ∈ (a, b), के लिए f ′ (x) > 0

(ii) निरंतर ह्रासमान है, यदि सभी x1, x2 ∈ (a, b), के लिए x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2) विकल्पतः सभी x ∈ (a, b), के लिए f ′(x) < 0

6.1.5 प्रमेयः मान लीजिए की फलन f, अंतराल [a, b] पर संतत तथा अंतराल (a, b) में अवकलनीय है, तो

(i) [a, b] में f वर्धमान है, यदि प्रत्येक x ∈ (a, b) के लिए f ′ (x) > 0

(ii) [a, b] में f ह्रासमान है, यदि प्रत्येक x ∈ (a, b) के लिए f ′ (x) < 0

(iii) [a, b] में f एक अचर फलन है, यदि प्रत्येक x ∈ (a, b) के लिए f ′ (x) = 0

6.1.6 उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ

किसी वास्तविक फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ स्थानीय निम्निष्ठ

किसी फलन f के प्रांत के अंतस्थ (भीतर) स्थित बिंदु c को

(i) स्थानीय उच्चिष्ठ कहते हैं, यदि एक ऐसे h > 0 का अस्तित्व है कि (c – h, c + h) में स्थित सभी x के लिए f (c) > f (x)

f (c) के इस मान को f का स्थानीय उच्चतम मान कहते हैं।

(ii) स्थानीय निम्निष्ठ कहते हैं, यदि एक ऐसे h > 0 का अस्तित्व है कि (c – h, c + h) में स्थित सभी x के लिए f (c) < f (x)

f (c) के इन मान को f का स्थानीय निम्नतम मान कहते हैं।

अंतराल [a, b] में परिभाषित फलन f(x), x = c जहाँ c ∈ [a, b], पर उच्चिष्ठ (या निरपेक्ष उच्चिष्ठ) कहा जाता है, यदि सभी x ∈ [a, b] के लिए f (x) ≤ f (c)

इसी प्रकार अंतराल [a, b] में परिभाषित फलन f (x), x = d, जहाँ d ∈ [a, b] पर निम्निष्ठ (या निरपेक्ष निम्निष्ठ) कहा जाता है, यदि सभी x ∈ [a, b] के लिए f (x) ≥ f (d)

6.1.7 f का क्रांतिक बिंदु : किसी फलन f के प्रांत में एक बिंदु c, जिस पर या तो f ′ (c) = 0 या f अवकलनीय नहीं है, f का क्रांतिक बिंदु कहलाता है।

स्थानीय उच्चतम अथवा स्थानीय मान निम्नतम ज्ञात करने की व्यावहारिक विधि

(a) प्रथम अवकलज परीक्षण

(i) x के बिंदु c से होकर बढ़ने पर यदि f ′ (x) का चिह्न धन से ऋण में परिवर्तित होता है, तो c स्थानीय उच्चिष्ठ का एक बिंदु है तथा f (c) स्थानीय उच्चतम मान है।

(ii) x के बिंदु c से होकर बढ़ने पर यदि f ′ (x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित होता है, तो c स्थानीय निम्निष्ठ का एक बिंदु है तथा f (c) स्थानीय निम्नतम मान है।

(iii) x के बिंदु c से होकर बढ़ने पर यदि f ′ (x) का चिह्न परिवर्तित नहीं होता है, तो c न तो स्थानीय उच्चिष्ठ का बिंदु है और न स्थानीय निम्निष्ठ का बिंदु है। इस प्रकार के बिंदु को नति परिवर्तन बिंदु कहते हैं।

(b) द्वितीय अवकलज परीक्षण

मान लीजिए कि f किसी अंतराल I में परिभाषित एक फलन है तथा c ∈ I मान लीजिए कि f, c पर दो बार अवकलनीय ह। तब

(i) यदि f ′(c) = 0 तथा f ″(c) < 0, तो x = c स्थानीय उच्चिष्ठ का एक बिंदु है। इस दशा में f का स्थानीय उच्चतम मान f (c) है।

(ii) यदि f ′ (c) = 0 तथा f ″(c) > 0, तो x = c स्थानीय निम्निष्ठ का एक बिंदु है। इस दशा में f का स्थानीय निम्नतम मान f (c) है।

(iii) यदि f ′ (c) = 0 तथा f ″(c) = 0, तो यह परीक्षण असफल हो जाता है। ऐसी स्थिति में, हम पुनः प्रथम अवकलज परीक्षण पर वापस जाते हैं।

6.1.8 निरपेक्ष उच्चिष्ठ तथा / अथवा निरपेक्ष निम्निष्ठ ज्ञात करने के व्यावहारिक विधि

चरण 1 : प्रदत्त अंतराल में f के सभी क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

चरण 2 : इन सभी बिंदुओं पर तथा अंतराल के अंत्य बिंदुओं पर f के मान का परिकलन कीजिए।

चरण 3 : चरण 2 में परिकलित मानों में से f के उच्चतम तथा निम्नतम मानों को लीजिए। उच्चतम मान f का निरपेक्ष उच्चतम मान तथा निम्नतम मान f का निरपेक्ष निम्नतम मान होगा।

6.2 हल किए हुए उदाहरण

लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)

उदाहरण 1 – वक्र y = 5x – 2x³ के लिए, यदि x में 2 इकाई/से की दर के वृद्धि हो रही है, तो x = 3 पर वक्र का प्रावण्य कितनी तीव्रता से परिवर्तित हो रहा है।

6.3 प्रश्नावली

लघु उत्तरीय प्रश्न (S.A.)

1. नमक का एक गोलाकार गेंद पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी क्षण उसके आयतन के घटने की दर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती है। सिद्ध कीजिए की उसकी त्रिज्या एक अचर दर से घट रही है।

2. यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल एक समान दर से बढ़ता है, तो सिद्ध कीजिए कि उसका परिमाप (परिधि) उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है।

3. एक पतंग 151.5 cm की ऊँचाई पर क्षेतिज दिशा में गतिमान है। यदि पतंग की चाल 10 m/s है, तो उसकी डोर को कितनी तेजी से छोड़ा जा रहा है, जब उसकी दूरी पतंग उड़ाने वाले लड़के से 250 m है। लड़के की ऊँचाई 1.5 m है।

4. एक दूसरे से 45° पर झुकी हुई दो सड़कों के संधि-स्थल से दो मनुष्य A तथा B, एक ही समय v वेग से चलना प्रारंभ करते हैं। यदि वे अलग-अलग सड़कों पर चलते हैं तो उनके परस्पर एक दूसरे से अलग होने की दर ज्ञात कीजिए।

5. कोण θ, 0 < θ < π / 2, ज्ञात कीजिए जो अपने sine से दोगुनी तेजी से बढ़ता है।

6. (1.999)⁵ का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

7. एक खोखले बेलनाकार खोल, जिसकी अांतरिक तथा बाह्य त्रिज्याएँ क्रमशः 3 cm तथा 3,0005 cm हैं, में धातु के आयतन का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।

8. 2 m लंबा एक मनुष्य 1 2/3 m/s की दर से किसी बिजली के खंभे की ओर, जो जमीन से 5 1/3 m ऊपर है, चल रहा है। उसकी छाया का अग्रभाग किसी दर से गतिमान है। उसकी छाया की लंबाई, उस समय किस दर से परिवर्तित हो रही है, जब वह प्रकाश के स्रोत के आधार से 3 1/3 m दूर हैं।

9. किसी तरनताल को सफाई के लिए खाली करना है। यदि ताल को बंद करने के t seconds बाद ताल में पानी की मात्रा, लिटर में, L से निरुपित होती है तथा L = 200 (10 – t)², तो 5 seconds में अंत में पानी कितनी तेजी से बाहर निकल रहा है। प्रथम 5 seconds में पानी के बाहर निकलने की औसत दर क्या है?

10. किसी घन का आयतन एक अचर दर से बढ़ रहा है। सिद्ध कीजिए कि उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल की वृद्धि उसकी भुजा की व्युत्क्रमानुपाती है।

11. x तथा y दो वर्गों की भुजाएँ हैं, इस प्रकार कि y = x – x² दूसरे वर्ग के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर पहले वर्ग के क्षेत्रफल के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।

12. वक्र 2x = y² तथा 2xy = k के लंबकोणीय प्रतिच्छेद के लिए प्रतिबंध ज्ञात कीजिए।

13. सिद्ध कीजिए कि वक्र xy = 4 तथा x² + y² = 8, एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।

14. वक्र √x + √y = 4 उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिस पर स्पर्श रेखा का अक्षों से झुकाव समान है।

15. वक्र y = 4 – x² तथा y = x² का प्रतिच्छेद कोण ज्ञात कीजिए।

16. सिद्ध कीजिए कि वक्र y² = 4x तथा x² + y² – 6x + 1 = 0 एक दूसरे को बिंदु (1, 2) पर स्पर्श करते हैं।

17. वक्र 3x²-y²= 8 के उन अभिलम्ब रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो रेखा x + 3y = 4 के समांतर है।

18. वक्र x²+y²-2x – 4y + 1 = 0 के किन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समांतर हैं।

19. सिद्ध कीजिए कि रेखा x/a + y/b = 1, वक्र y = b . e को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जिस पर वक्र y-अक्ष को काटता है।

20. सिद्ध कीजिए कि f (x) = 2x + cot–1x + log (√1+x²), R में वर्धमान फलन है।

21. सिद्ध कीजिए कि a ≥ 1के लिए f (x) = √3 sinx – cosx – 2ax + b, R में ह्रासमान फलन है।

22. सिद्ध कीजिए कि f (x) = tan–1(sinx + cosx), अंतराल 0, π/4 में एक वर्धमान फलन है।

23. किस बिंदु पर, वक्र y = – x³ + 3x² + 9x – 27 की प्रवणता उच्चतम है। उच्चतम प्रवणता भी ज्ञात कीजिए।

24. सिद्ध कीजिए कि f (x) = sinx + √3cosx का उच्चिष्ठ मान x = π/6 पर है।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

25. यदि किसी समकोण त्रिभुज की एक भुजा तथा कर्ण की लंबाईयों का योगफल दिया हुआ है, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल उच्चतम है, जब उनके मध्य का कोण π/3 है।

26. फलन f (x) =x⁵– 5x⁴+5x³-1 के स्थानीय उच्चिष्ठ, स्थानीय निम्निष्ठ तथा नति परिवर्तन के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए। साथ ही संगत स्थानीय उच्चतम तथा स्थानीय निम्नतम मानों को भी ज्ञात कीजिए।

27. किसी नगर में एक टेलीफोन कंपनी की सूची में 500 ग्राहक हैं और वह प्रत्येक ग्राहक से प्रति वर्ष 300 रु निश्चित शुल्क वसूलती हैं। कंपनी वार्षिक शुल्क बढ़ाना चाहती है, और ऐसा माना जाता है कि प्रत्येक 1रु की वृद्धि करने पर एक ग्राहक टेलीफोन सेवा लेना समाप्त कर देगा। ज्ञात कीजिए कि कितनी वृद्धि करने से महत्तम (उच्चतम) लाभ होगा।

28. यदि सरल रेखा x cosα + y sinα = p वक्र x²/a² + y²/b²= 1 को स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि a² cos²α + b² sin²α = p²

29. c² क्षेत्रफल के किसी दिए हुए गत्ते से वर्गाकार आधार का एक खुला हुआ बाक्स बनाना है। सिद्ध कीजिए कि बाक्स का महत्तम आयतन c³ / 6√3 घन इकाई है।

30. 36 cm परिमाप वाले आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए जिसे उसकी भुजाओं में से किसी एक के चारों ओर घुमाने पर अधिक से अधिक संभव आयतन प्रसर्प (sweep) हो।

31. यदि किसी घन तथा गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर है तो घन के एक कोर (edge) तथा गोले के व्यास का अनुपात उस समय क्या है जब उनके आयतन का योगफल निम्नतम है।

32. AB किसी वृत्त का एक व्यास है तथा C उसकी परिधि पर कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC का क्षेत्रफल महत्तम उस समय होगा जब वह समद्विबाहु है।

33. वर्गाकार आधार तथा ऊर्ध्वाकर पृष्ठ वाले धातु के किसी बाक्स में 1024 cm³ वस्तु आती है। शीर्ष तथा आधार के पृष्ठों के माल (वस्तु) का मूल्य Rs 5/cm² है तथा पृष्ठों के मान का मूल्य Rs 2.50/cm2 है। बाक्स का निम्नतम मूल्य ज्ञात कीजिए।

34. भुजा x, 2x और x / 3 के किसी आयताकार समांतर षट्फलक तथा एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का योगफल अचर दिया हुआ है। सिद्ध कीजिए कि उनके आयतन का योगफल निम्नतम होगा, यदि x गोले की त्रिज्या के तीन गुने के बराबर है। उनके आयतम के योगफल का निम्नतन मान भी ज्ञात कीजिए।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 35 से 39 तक प्रत्येक में दिए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए-

35. किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 2 cm/sec की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा 10 cm है, त्रिभुज का क्षेत्रफल

(A) 10 cm²/s (B) √3 cm²/s (C) 10 √3 cm²/s (D) 10/3 cm²/s

की दर से बढ़ता है।

36. एक क्षैतिज फर्श पर 5 मीटर लंबी एक सीढ़ी किसी ऊर्ध्वाधर दीवार पर झुकी है। यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 10 cm/sec, की दर से नीचे की ओर फिसल रहा है तो सीढ़ी तथा फर्श के बीच का कोण, उस समय जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से-2 मीटर दूर हैः

(A) 1/10 radian/sec (B) 1/20 radian/sec (C) 20 radian/sec (D) 10 radian/sec

37. बिंदु (0,0) पर एक वक्र y=x¹⁄⁵ की

(A) एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शी रेखा (y-अक्ष के समांतर)

(B) एक क्षैतिज स्पर्शी रेखा (x- अक्ष के समांतर)

(C) एक तिरछी स्पर्शी रेखा

(D) कोई भी स्पर्शी रेखा नहीं

38. रेखा x + 3y = 8 के समांतर, वक्र 3x²-y²=8 के अभिलंब का समीकरण है।

(A) 3x – y = 8 (B) 3x + y + 8 = 0
(C) x + 3y ± 8 = 0 (D) x + 3y = 0

39. यदि वक्र ay + x² = 7 तथा x³=y, बिंदु (1,1) पर लंबवत काटते हैं, तो a का मान है

(A) 1 (B) 0 (C) – 6 (D) .6

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – अवकलज के अनुप्रयोग

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