कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांतत्य और अवकलनीयता

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श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 5 – सांतत्य और अवकलनीयता

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांतत्य और अवकलनीयता

कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 5 – सांतत्य और अवकलनीयता के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

5.1 समग्र अवलोकन (Overview)

5.1.1 किसी बिंदु पर एक फलन का सांतत्य

मान लीजिए कि वास्तविक संख्याओं के किसी उपसमुच्चय पर f कोई वास्तविक फलन है तथा यह भी मान लीजिए कि c फलन f के प्रांत में स्थित एक बिंदु है। तब f, बिंदु c पर संतत होता है, यदि

lim f(x) = f(c)
x→c

अधिक सुस्पष्ट रूप से, यदि x = c पर फलन के वाम पक्ष की सीमा, दक्षिण सीमा तथा फलन के मान का अस्तित्व हो और ये परस्पर बराबर हो, अर्थात्

lim f(x) = f(c) = lim f(x)
x→c x→c

तो f को x = c पर संतत कहा जाता है।

5.1.2 एक अंतराल में सांतत्य

(i) f एक खुले अंतराल (a, b) में संतत कहा जाता है, यदि वह इस अंतराल में प्रत्येक बिंदु पर संतत हो।

(ii) f एक बंद अंतराल [a, b] मेें संतत कहा जाता है, यदि

• f अंतराल (a, b) में संतत हो।
• lim f (x) = f (a)
  x→a
• lim f (x) = f (a)
  x→b

5.1.3 सांतत्य का ज्यामितीय अर्थ

(i) x = c पर फलन f सतंत होगा, यदि बिंदु (c,f (c) पर इस फलन के आलेख में कोई विच्छेदन न हो।

(ii) एक अंतराल में कोई फलन संतत कहा जाता है, यदि इस संपूर्ण अंतराल में उस फलन के आलेख में कोई विच्छेदन न हो।

5.1.4 असांतत्य

फलन f बिंदु x = a पर निम्नलिखित स्थितियों में से किसी में भी असंतत होगाः

1. lim f (x) और lim f (x) का अस्तित्व है, परंतु ये बराबर नहीं है।
   x→a x→a
2. lim f (x) और lim f (x) का अस्तित्व बराबर है, परंतु इनका मान f (a) के बराबर नहीं है।
   x→a x→a
3. f (a) परिभाषित नहीं है।

5.1.5 कुछ सामान्य फलनों का सांतत्य

5.1.6 संयोजित फलनों का सांतत्य

मान लीजिए कि f और g वास्तविक मानों वाले ऐसे फलन हैं कि (fog) बिंदु a पर परिभाषित है। यदि a पर g संतत है तथा g (a) पर f संतत है, तो (fog) बिंदु a पर संतत होता है।

5.1.7 अवकलनीयता

f ′ (x) = lim f(x + h) – f(x) / h, जहाँ भी सीमा का अस्तित्व हो, से परिभाषित फलन को x पर f के अवकलज के रुप में परिभाषित किया जाता है। दूसरे शब्दों में हम कहते हैं कि कोई फलन f अपने प्रांत में किसी बिंदु c पर अवकलनीय होता है, यदि lim f(c + h) – f(c) / h जिसे वाम अवकलज कहा जाता है और Lf ′ (c) से व्यक्त किया जाता है तथा lim f(c + h) – f(c) / h , जिसे दक्षिण अवकलज कहा जाता है और R f ′ (c) से व्यक्त किया जाता है, दोनों ही परिमित हों तथा परस्पर बराबर हों।

(i) फलन y = f (x) को एक खुले अंतराल (a, b) में अवकलनीय कहा जाता है, यदि वह (a, b) के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय होता है।

(ii) फलन y = f (x) को एक बंद अंतराल [a, b] में अवकलनीय कहा जाता है, यदि R f ′(a) और L f ′ (b) का अस्तित्व हो तथा (a, b) के प्रत्येक बिंदु के लिए f ′ (x) का अस्तित्व हो।

(iii) प्रत्येक अवकलनीय फलन संतत होता है, परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।

5.1.8 अवकलजों का बीजगणति

यदि u और v चर x के फलन हैं, तो

5.1.11 चरघातांकी और लघुगणकीय फलन

(i) मान लीजिए धनात्मक आधार b > 1 वाला चरघातांकी फलन y = f (x) = b है। इसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है तथा परिसर सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। आधार 10 वाला चरघातांकी फलन सामान्य चरघातांकी फलन कहलाता है तथा आघार e वाला चरघातांकी फलन प्राकृतिक चरघातांकी फलन कहलाता है।

(ii) मान लीजिए की b > 1, यदि b=a तो आधार b पर a के लघुगणक, x होता है। इसे logb a = x द्वारा व्यक्त किया जाता है। यदि आधार b = 10 हो, तो इसे सामान्य लघुगणक कहा जाता है तथा यदि आधार b = e हो, तो इसे प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। log x आधार – e पर लघुगणक फलन को व्यक्त करता है। लघुगणकीय फलन का प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R⁺ है तथा इसका परिसर सभी वास्तविक संख्याओं समुच्चय R है।

(iii) किसी भी आधार b > 1 के लिए, लघुगणकीय फलन के गुण नीचे लिखे जा रहे हैंः

5.1.12 f (x) = (u (x)v(x), के रूप के फलनों को अवकलित करने के लिए, लघुगणकीय अवकलन एक सशक्त तकनीक है जहाँ f और u दोनों का, इस तकनीक का कुछ अर्थ होने के लिए, धनात्मक फलन होना आवश्यक है।

5.1.13 किसी फलन का एक अन्य फलन के सापेक्ष अवकलन

मान लीजिए कि u = f (x) और v = g (x) चर x के दो फलन हैं। तब, g (x) के सापेक्ष f (x) का अवकलज ज्ञात करने के लिए, अर्थात् du/dv ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र du/dv = du/dx/dv/dx का उपयोग करते हैं।

5.1.14 द्वितीय कोटि अवकलज

d/dx dy/dx =d²y/dx², फलन y का x के सापेक्ष द्वितीय कोटि अवकलज कहलाता है। यदि y = f (x) हो, तो इसे y′′ या y₂ से व्यक्त करते हैं।

5.1.15 रोले का प्रमेय

मान लीजिए कि f : [a, b] → R अंतराल [a, b] पर संतत और (a, b) पर अवकलनीय इस प्रकार है कि f (a) = f (b), जहाँ a और b कोई वास्तविक संख्याएँ है। तब (a, b) में न्यूनतम एक बिंदु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि f ′ (c) = 0
ज्यामितीय रूप से, रोले का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि वक्र y = f (x) पर न्यूनतम एक बिंदु ऐसा है कि जिस पर वक्र की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है (बिंदु का भुज (a, b) में स्थित है)।

5.1.16 माध्यमान प्रमेय (लग्रांज)

मान लीजिए कि f : [a, b] → R अंतराल [a, b] पर एक संतत फलन है तथा (a, b) पर अवकलनीय है। तब, (a, b) में कम से कम एक बिंदु c ऐसा है कि f ′ (c) = f(b)-f(a)/b-a होता है।
ज्यामितीय रूप से, माध्य मान प्रमेय यह कहती है कि (a, b) में न्यूनतम एक ऐसे बिंदु c का अस्तित्व है कि बिंदु (c, f (c)) पर स्पर्श रेखा बिंदुओं (a, f (a) और (b, f (b)) को मिलाने वाली रेखाखंड के समांतर होती है।

5.2 हल उदाहरण

लघु उत्तरीय (S.A.)

उदहारण 25. फलन f (x) = [x], जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन को व्यक्त करता है, निम्नलिखित पर संतत है

(A) 4 (B) – 2 (C) 1 (D) 1.5

हल (D) सही उत्तर है। महत्तम पूर्णांक फलन [x], x के सभी पूर्णांकीय मानों पर असतंत है। अतः D सही उत्तर है।

उदाहरण 26. उन बिंदुओं की संख्या, जिन पर फलन f (x) = 1/x –[x] संतत नहीं है,

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) इनमें से कोई नहीं

हल (D) सही उत्तर है। क्योंकि जब x एक पूर्णांक है, तो x – [x] = 0 है, इसलिए दिया हुआ फलन सभी x ∈ Z के लिए असंतत है।

उदाहरण 27. f (x) = tanx द्वारा दिए जाने वाला फलन निम्नलिखित समुच्चय पर असंतत है

(A) {nπ:n ∈ Z} (B) {2n π : n ∈Z} (C) (2n+1)π/2: n ∈Z (D) n π/2:n ∈Z

हल (C) सही उत्तर है।

उदाहरण 28. मान लीजिए कि f (x)= |cosx|है। जब,

(A) f प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है
(B) f प्रत्येक स्थान पर संतत है, परंतु x = nπ, n ∈Z पर अवकलनीय नहीं है
(C) f प्रत्येक स्थान पर संतत है, परंतु x = (2n + 1) π/2, n∈ Z पर अवकलनीय नहीं है
(D इनमेें से कोई नहीं

हल (C) सही उत्तर है।

उदाहरण 29. फलन f (x) = |x| + |x – 1

(A) x = 0 तथा x = 1 दोनों पर सतंत है (B) x = 1 पर संतत है, परंतु x = 0 पर संतत नहीं है
(C) x = 0 तथा x = 1 दोनों पर असतंत है (B) x = 0 पर संतत है, परंतु x = 1 पर संतत नहीं है

हलः सही उत्तर (A) है।

उदाहरण 31. उन बिंदुओं का सम्मुच्चय, जहाँ f (x) = |x – 3| cosx द्वारा दिया जाने वाला फलन अवकलनीय है,
(A) R (B) R – {3} (C) (0, ∞) (D)इनमें से कोई नहीं
हल – (B) सही उत्तर है।

उदाहरण 41. cos x के सापेक्ष sin x का अवकलज __________ है।
हल – cot x

उदाहरण 42 से 46 तक प्रत्येक में बताइए कि कथन सत्य है या असत्य –

उदाहरण 42. x = a, पर f (x) संततता के लिए? lim f (x) में से प्रत्येक f (a) के बराबर होता है।
हल – सत्य

उदाहरण 43. y = |x – 1| एक संतत फलन है।
हल – सत्य

उदाहरण 44. एक सतंत फलन में कुछ ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ सीमाओं का अस्तित्व न हों।
हल – असत्य

उदाहरण 45. |sinx| चर x के प्रत्येक मान के लिए एक अवकलनीय फलन है।
हल – असत्य

उदाहरण 46. cos |x| प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है।
हल – सत्य

5.3 प्रश्नावली

संक्षिप्त उत्तर (S.A.)

1. फलन f (x) = x³ + 2x² – 1 को x = 1 पर संततता की जाँच कीजिए। ज्ञात कीजिए कि प्रश्न 2 से 10 तक में दिए फलनों में से कौन से फलन इंगित बिंदुओं पर संतत या असंतत हैंः

प्रश्न संख्या 97 से 101 तक प्रत्येक में रिक्त स्थानों को भरिए-

97. एक ऐसे फलन का उदाहरण जो सभी स्थानों पर संतत है, परंतु ठीक दो बिंदुओं पर अवकलनीय रहने में असमर्थ रहता है ________ है।

98. x³ के सापेक्ष x² अवकलज ________ है।

99. यदि f (x) = |cosx| तो f ′π/4 = ________

100. यदि f (x) = |cosx – sinx| है तो f ′ π/3 = ________

101. वक्र √x + √y =1 के लिए, (1/4, 1/4) पर dy/dx ________

प्रश्न संख्या 102 से 106 तक प्रत्येक में दिए हुए कथन के लिए बताइए कि यह सत्य है या असत्य-

102. [0, 2] में फलन f (x) = |x – 1| के लिए, रोले का प्रमेय प्रयुक्त है।

103. यदि f अपने प्राँत D सतंत है, तो | f | भी D पर संतत होगा।

104. दो संतत फलनों को संयोजन एक संतत फलन होता है।

105. त्रिकोणमितीय एवं त्रिकोणमितीय व्युत्क्रम फलन अपने-अपने प्राँतों में अवकलनीय होते हैं।

106. यदि f . g बिंदु x = a पर संतत है, तो f और g बिंदु x = a पर पृथ्क-पृथ्क रूप से संतत होते हैं।

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