गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समाकल यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ समाकल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 7 – समाकल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 7 – समाकल
कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समाकल
कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 7 – समाकल के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।
7.1 समग्र अवलोकन (Overview)
7.1.1 मान लीजिए कि d/dx (F (x)) = f (x) है। तब, हम f (x) dx = F (x) + C लिखते हैं। ये समाकल अनिश्चित समाकल या व्यापक समाकल कहलाते हैं। C समाकल का स्थिरांक या अचर कहलाता है। इन सभी समाकलों का अंतर एक अचर होता है।
7.1.2 यदि दो फलनों का अंतर एक अचर हो तो उनको एक ही अवकलज होता है।
7.1.3 ज्यामितीय रूप से, कथन f(x) dx = F (x) + C = y (मान लीजिए) वक्रों के एक कुल की निरूपित करता है। C के विभिन्न मान इस कुल के विभिन्न सदस्यों के संगत होते हैं तथा ये सभी सदस्य इन वक्रों में से किसी एक को स्वयं उसके समांतर स्थानांतरित करके प्राप्त किए जा सकते हैं। साथ ही, एक रेखा x = a और इन वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुओं पर वक्रों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं।
7.1.4 अनिश्चित समाकलों के कुछ गुण
7.1.5 समाकलन की विधियाँ
समाकल ज्ञात करने के लिए कई विधियाँ या तकनीकें हैं, जहाँ हम फलन f का प्रतिअवकलज प्रत्यक्ष रूप से नहीं चुन सकते हैं। यहाँ हम इन्हें मानक रूपों में बदलते हैं। इनमें से कुछ विधियाँ निम्नलिखित पर आधारित हैं-
- प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन 2. आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन 3. खंडशः समाकलन
7.1.6 निश्चित समाकल
निश्चित समाकल को ∫ f(x) dx, से वयक्त किया जाता है, जहाँ a समाकल की भिन्न सीमा है तथा b समाकल की उच्च (या उपरि) सीमा है। निश्चित समाकल का मान निम्नलिखित दो विधियों से ज्ञात किया जाता है-
(i) योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल
(ii) ∫ f(x) dx = F(b) – F(a), यदि n f (x) फलन f (x) का एक प्रति अवकलज है।
7.1.7 योग की सीमा के रूप में निश्चित समाकल
निश्चित समाकल ∫ f(x) dx वक्र y = f (x), (y > 0) कोटियों x = a तथा x = b तथा x- अक्ष से परिबद्ध क्षेत्रफल है, निम्न प्रकार लिखा जाता हैः
7.1.8 कलन की मूलभूत प्रमेय
(i) क्षेत्रफल फलन : फलन A (x) क्षेत्रफल फलन को व्यक्त करता है तथा इसे A (x) = ∫f(x) dx
(ii) समाकलन की प्रथन मूलभूत प्रमेय
मान लीजिए कि एक बंद अंतराल [a, b] पर f एक सतत फलन है तथा मान लीजिए कि A (x) क्षेत्रफल फलन है। तब, सभी x ∈ [a, b] के लिए, A′ (x) = f (x) होता है।
(iii) समाकलन की द्वितीय मूलभूत प्रमेय
मान लीजिए कि एक बंद अंतराल [a, b] पर परिभाषित f एक सतत फलन है तथा F फलन f का एक प्रतिअवकलज है तब,
∫ f(x) dx= [F(x)]=F(b)-F(a)
7.1.9 निश्चित समाकलों के कुछ गुण
7.2 हल किए हुए उदाहरण
संक्षिप्त उत्तर (S.A.)
7.3 प्रश्नावली
संक्षिप्त उत्तर (S.A.)
निम्नलिखित का सत्यापन कीजिए-
कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समाकल
यूनिट 7 – समाकल प्रश्नों के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
इस पेज पर दिए गए कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समाकल की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
