कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन

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श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 2 – प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन

कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 2-प्रतिलोम तिरिकोंमितिया फलन के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

2.1 समग्र अवलोकन (Overview)

2.1.1 प्रतिलोम फलन

फलन ‘f ’ के प्रतिलोम का अस्तित्व केवल तभी होता है जब फलन एकैकी तथा आच्छादक हो अर्थात् एकैकी आच्छादी हो क्योंकि त्रिकोषमितीय फलन बहुएक संगति (many-one) फलन होते हैं इसलिए हम उनके प्रांतों तथा परिसरों को इस प्रकार प्रतिबंधित करते हैं कि वे एकैकी तथा आच्छादक हो जाए और फिर हम उनका प्रतिलोम ज्ञात करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलतों के प्रांत तथा परिसर (मुख्य मान शाखा) नीचे दिए गए हैं।

टिप्पणी

(i) sin–1x से (sinx)–1 की भ्रांति नहीं होनी चाहिए। वास्तव में sin–1x एक कोण है जिसके sine का मान x है। यही तथ्य अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी सत्य है।

(ii) θ के सबसे कम (न्यूनतम) संख्यात्मक मान चाहे वह धनात्मक हो या ऋणात्मक हो, को फलन का मुख्य मान कहते हैं।

(iii) जब कभी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की किसी विशेष शाखा का उल्लेख न हो तो हमारा तात्पर्य मुख्य शाखा से होता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान जो उसकी मुख्य शाखा वेफ परिसर में स्थित होता है उसे मुख्य मान कहते हैं।

2.1.2 त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का आलेख मूल फलन के आलेख में x तथा y अक्षों का परस्पर विनिमय करके प्राप्त किया जा सकता है। अर्थात, यदि (a, b) फलन के आलेख में एक बिंदु है तो (b, a) प्रतिलोम फलन के ग्राफ का संगत बिंदु हो जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि प्रतिलोम फलन के आलेख, रेखा y = x के परितः संगत मूल फलन के आलेख को दर्पण प्रतिबिंब (mirror image) अर्थात् परावर्तन (reflection) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

2.1.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म

प्रश्न 49 से 55 तक प्रत्येक में दिए गए कथन को बताइए कि वह सत्य है या असत्य-

49. प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन का उनके संगत प्रांतों में प्रतिलोम फलन का अस्तित्व होता है।

50. व्यंजक (cos–1 x)2 का मान sec2 x के बराबर है।

51. त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांतों का उनकी किसी भी शाखा (आवश्यक नहीं कि मुख्य शाखा हो) में प्रतिबंधित किया जा सकता है ताकि उनका प्रतिलोम फलन प्राप्त हो सके।

52. θ कोण का न्यूनतम संख्यात्मक मान, चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक, को त्रिकोणमितीय फलन का मुख्य मान कहते हैं।

53. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख उनके संगत त्रिकोणमितीय फलन के आलेख में x तथा y अक्ष का परस्पर विनिमय करके प्राप्त किया जा सकता है।

54. n का वह न्यूनतम मान जिसके लिए tan–1 n/π>π/4,n∈N, के लिए सत्य हो, वह 5 है।

55.

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