कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिविमयि ज्यामिति

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श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 11 – त्रिविमयि ज्यामिति

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिविमयि ज्यामिति

कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 11 – त्रिविमयि ज्यामिति के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

11.1 समग्र अवलोकन (Overview)

11.1.1 किसी रेखा की दिक्कोज्याएँ उन कोणों की कोज्याएँ  (cosines) हैं जो वह रेखा निर्देशांक अक्षों की धनात्मक दिशाओं के साथ बनाती है। 

11.1.2 यदि  l, m, n किसी रेखा की दिक्कोज्याएँ हैं, तो l² + m² + n²  = 1 होता है। 

11.1.3 दो बिंदुओं P (x₁ , y₁ , z₁) और Q (x₂ , y₂ , z₂) को मिलाने वाली रेखा की दिक्कोज्याएँ होती हैंः 

11.1.4 किसी रेखा के दिक्-अनुपात वे संख्याएँ है जो उस रेखा की दिक्कोज्याओं के समानुपाती होती हैं। 

11.1.5 यदि किसी रेखा की l, m, n दिक्कोज्याएँ हैं और a, b, c दिक्अनुपात हैं, तो 

11.1.6 विषमतलीय रेखाएँ त्रिवमीय आकाश (space) में ऐसी रेखाएँ होती हैं जो न समांतर और न ही प्रतिच्छेदी। ये भिन्न-भिन्न तलों में स्थित होती है। 

11.1.7 दो विषमतलीय रेखाओं के बीच का कोण उन दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण है, जो किसी बिंदु से (मूलबिंदु को प्राथमिकता देते हुए) इन विषमतलीय रेखाओं में से प्रत्येक के समांतर खींची जाती हैं। 

11.1.8 यदि l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ हैं तथा इन दोनों के बीच का न्यून कोण  θ है, तो 

                      cosθ = |l,l₂+m,m₂+n,n₂|

11.1.9 यदि a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ दो रेखाओं के दिक्-अनुपात हैं तथा इन दोनों के बीच का न्यून कोण θ है, तो 

11.1.10 एक रेखा, जो स्थिति सदिश a वाले एक बिंदु से होकर जाती है और एक दिए हुए सदिश b के समांतर है, की सदिश समीकरण  r=a + λb होती है। 

11.1.11 एक बिंदु (x₁ , y₁ , z₁) से होकर जाने वाली तथा दिक्कोज्याएँ  l, m, n (या दिक्-अनुपात a, b, c) वाली रेखा की समीकरण होती हैः

11.1.12 स्थिति सदिशों a और b वाले दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की सदिश समीकरण r=a +λ(b-a) है। 

11.1.13 दो बिंदुओं (x₁ , y₁ , z₁) और  (x₂ , y₂ , z₂) से होकर जाने वाली रेखा की कार्तीय समीकरण 

11.1.14 यदि r=a₁+λb₁ और r=a₂+λb₂ रेखाओं के बीच का न्यून कोण θ है, तो θ निम्नलिखित से प्राप्त किया जाता हैः 

11.1.15

11.1.16 दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी उस रेखाखंड की लंबाई होती है जो इन दोनों रेखाओं पर लंब हो। 

11.1.20 एक समतल की सदिश समीकरण, जो मूलबिंदु से दूरी p पर है तथा उस समतल पर अभिलंब मात्रक सदिश में है, r.n = p होती है। 

11.1.21 उस समतल की समीकरण, lx + my + nz = p होती है। जिसकी मूलबिंदु से दूरी p है और जिसकेअभिलंब की दिक्कोज्याएँ  l, m, n हैं। 

11.1.22 उस समतल की समीकरण, जो उस बिंदु से होकर जाती है जिसका स्थिति सदिश a है और जो सदिश n पर लंब है, (r-a)n =0 या r.n=d होती है, जहाँ d=a.n है। 

11.1.23 उस समतल की समीकरण, जो दिक्-अनुपातों a, b, c वाली एक रेखा पर लंब है और एक दिए हुए बिंदु (x₁ , y₁ , z₁) से होकर जाता है, a (x – x₁) + b (y – y₁ ) + c (z – z₁ ) = 0 होती है।     

11.1.24 तीन अंसरेखी बिंदुओं (x₁ , y₁ , z₁), (x₂ , y₂ , z₂) और (x₃ , y₃ , z₃) से होकर जाने वाले समतल की समीकरण 

11.1.25 स्थिति सदिश a, b, c वाले तीन असरेखा बिंदुओं को अंतर्विष्ट करने वाले समतल की सदिश समीकरण (r-a).[ (b-c)×(c-a) ] = 0 होती है। 

11.1.26 निर्देशांक अक्षों को (a, 0, 0), (0, b, 0) और  (0, 0, c ) पर काटने वाले समतल की समीकरण x/a + y/b + z/c = 1 होती है। 

11.1.27 समतलों r.n₁ = d₁ और r.n₂ = d₂ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले किसी समतल की सदिश समीकरण (r.n₁ – d₁) +λ (r.n₂ – d₂) = 0 होती है, जहाँ λ कोई शून्येतर अचर है। 

11.1.28 दिए हुए दो समतलों A₁x+B₁y+C₁z D₁=0 और A₂x+B₂y+C₂z D₂=0 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल की कार्तीय समीकरण (A₁x+B₁y+C₁z+D₁) +λ (A₂x+B₂y+C₂z D₂)=0 जहाँ λ कोई शून्येतर अचर है। 

11.1.29 दो रेखाएँ r=a₁+λb₁ = और r=a₂+λb₂ सह-तलीय होती है, यदि (a₂-a₁), (b₁×b₂)=0 हो। 

11.2 हल किये हुए उदाहरण 

संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न (S.A.)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न 

उदाहरण 14 से 19 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिएः 

उदाहरण 14 – बिंदु (2, 5, 7) से  x- अक्ष पर डाले गए लंबपाद के निर्देशांक है। 

(A) (2, 0, 0)         (B) (0, 5, 0) (C) (0, 0, 7)        (D) (0, 5, 7)

हल – (A) सही उत्तर है। 

उदाहरण 15 – बिंदु (3, 2, –1) और (6, 2, –2) को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित कोई बिंदु P है। यदि P का x-निर्देशांक 5 है, तो उसका y निर्देशांक है। 

(A) 2              (B) 1 (C) –1            (D) –2

हल – (A) सही उत्तर है। मान लीजिए कि P रेखाखंड को  म : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। तब, P के x निर्देशांक को x = 6λ+3/λ+1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे 6λ+3/λ+1 = 5 प्राप्त होता है। इस कारण λ = 2 है। इस प्रकार, P का  y निर्देशांक 2λ+2/λ+1 = 2 है। 

उदाहरण 16 – यदि एक रेखा x, y, z अक्षों की धनात्मक दिशाओं से क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है तो इस रेखा की दिक्कोज्याएँ हैंः 

(A) sin α, sin β, sin γ           (B) cos α, cos β, cos γ

(C) tan α, tan β, tan γ          (D) cos2 α, cos2 β, cos2 γ

हल – (B) सही उत्तर है। 

उदाहरण 18 – आकाश (स्पेस) में  x-अक्ष की समीकरण हैं

(A) x = 0, y = 0          (B) x = 0, z = 0 (C) x = 0       (D) y = 0, z = 0

हल – (D) सही उत्तर है। x-अक्ष पर y निर्देशांक और z निर्देशांक शून्य होते हैं। 

उदाहरण 23 और 24 में बताइए कि कथन सत्य हैं या असत्य- 

उदाहरण 23 – बिंदु (1, 2, 3), (–2, 3, 4) और (7, 0, 1) सरेखी है। 

हल – मान लीजिए कि A, B, C क्रमशः बिंदु (1, 2, 3), (–2, 3, 4) और (7, 0, 1) हैं। तब AB और BC रेखाओं में से प्रत्येक के दिक्अनुपात  – 3, 1, 1 के समानुपाती है। अतः कथन सत्य है। 

उदाहरण 24 – बिंदु  (3,5,4) और (5,8,11) से होकर जाने वाले रेखा की सदिश समीकरण 

 r= 3i + 5j + 4k + λ(2i + 3j + 7k) है। 

हल – बिंदुओं (3,5,4) और (5,8,11) के स्थिति सदिश a = 3i + 5j + 4k, b = 5i + 8j + 11k है। अतः रेखा की वाँछित समीकरण है r= 3i + 5j + 4k + λ(2i + 3j + 7k) अतः कथन सत्य है। 

11.3 प्रश्नावली 

लघुउत्तरीय  (S.A.)

1 . आकाश (स्पेस) में ऐसे बिंदु A के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए कि OA, OX से 60º झुका हुआ हो और OY से 45° पर झुका हुआ हो तथा |OA|  = 10 इकाई है। 

2. उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश 3i-2j+6k के समांतर है तथा बिंदु (1,–2,3) से होकर जाती है। 

3. दर्शाइए कि रेखाएँ x-1/2 = y-2/3 = z-3/4 और x-4/5 = y-1/2 = z प्रतिच्छेद करती हैं। साथ ही, इनका प्रतिच्छेद बिंदु भी ज्ञात कीजिए। 

4. रेखा r= 3i – 2j + 6k + λ(2i + j + 2k) और r= (2j – 5k) + µ(6i + 3j + 2k) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। 

5. सिद्ध कीजिए कि A (0, –1, –1) और B (4, 5, 1) बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा C (3, 9, 4) और D (– 4, 4, 4) बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा को प्रतिच्छेद करती है। 

6. सिद्ध कीजिए कि  x = py + q, z = ry + s तथा x = p′y + q′, z = r′y + s′ रेखाएँ परस्पर लंब हैं, यदि  pp′ + rr′ + 1 = 0.

7. उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए, जो A (2, 3, 4) और B (4, 5, 8) बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को समकोण पर समाद्विभाजित करता है। 

8. उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए, जो मूलबिंदु से 3√3 इकाई की दूरी पर है तथा जिसका अभिलंब निर्देशांक अक्षों से समान झुकाव पर है। 

9. यदि किसी बिंदु (–2, – 1, – 3) से होकर खींची गई रेखा किसी समतल को समकोण पर बिंदु (1, – 3, 3) पर मिलती है, तो उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए। 

10. बिंदुओं  (2, 1, 0), (3, –2, –2) vkSj (3, 1, 7) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

11. मूलबिंदु से होकर जाने वाली उन दो रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक रेखा  x-3/2=y-3/1=z/1 को π/3 के कोण पर प्रतिच्छेद करती है।   

12. उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ l + m + n = 0 तथा  l² + m² – n² = 0 समीकरणों से प्राप्त होती है। 

13. यदि किसी चर रेखा की दो आसन्न स्थितियों से दिक्कोज्याएँ  l, m, n और l + δl, m + δm, n + δn हैं तो दर्शाइए कि इन दो स्थितियों के बीच में छोटा कोण δθ निम्नलिखित से प्राप्त होगा। 

δθ² = δl² + δm²+ δn²

14. O मूल बिंदु है तथा (a, b, c) बिंदु A को प्रदर्शित करते हैं। रेखा OA की दिक्कोज्याएँ ज्ञात कीजिए तथा A से होकर जाने वाले और  OA से समकोण पर रहने वाले समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए। 

15. समकोणिक अक्षों की दो पद्धत्तियों का एक ही मूल बिंदु है। यदि कोई तल इनको मूल बिंदु से क्रमशः  a, b, c और a′, b′, c′ पर काटता है, तो सिद्ध कीजिए कि 

1/a²+1/b²+1/c²=1/a′²+1/b′²+1/c′²

दीर्घ उत्तरीय  (L.A.)

19. बिंदु (3,0,1) से होकर जाने वाली उस रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए, जो x + 2y = 0 और 3y – z = 0 समतलों के समांतर है। 

20. उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए, जो (2,1,–1) और (–1,3,4) बिंदुओं से होकर जाता है तथा समतल  x – 2y + 4z = 10 पर लंब है। 

21. रेखाओं r=(8+3λi)-(9+16λ) j+(10+7λ)k और r=15i+29j+5k+µ(3i+8j-5k) बीच की लघुत्तम दूरी ज्ञात कीजिए। 

22. उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 5x + 3y + 6z + 8 = 0 पर लंब है तथा जिसमें x + 2y + 3z – 4 = 0 vkSj 2x + y – z + 5 = 0 समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा अंतर्विष्ट है। 

23. समतल ax + by = 0 को इसकी समतल  z = 0 के साथ प्रतिच्छेदन रेखा के परितः कोण α पर घुमाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि उस समतल का अपनी नई स्थिति में समीकरण 

 ax + by ± (√a²+b² tan α) z = 0 है। 

24. समतल r  . ( ˆi + 3 ˆj ) – 6 = 0  और r . (3 ˆi – ˆj – 4 ˆ k ) = 0 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए, जिसकी मूल बिंदु से लांबिक दूरी इकाई है। 

25. दर्शाइए कि बिंदु (i – j + 3k) और 3 (i + j + 3k) समतल r. (5i – 2j + 7k)+9=0 से समदूरस्थ है तथा इसके विपरीत और स्थित है। 

26. AB = 3i – j + k और CD = – 3i + 2j + 4k दो सदिश हैं। बिंदु  A और C के स्थिति सदिश क्रमशः 6i – 7j + 4k और -9j + 2k हैं, रेखा AB पर स्थित बिंदु P और रेखा CD पर स्थित बिंदु Q के स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए ताकि PQ, AB और CD दोनों पर लंब हो। 

27. दर्शाइए कि वे सरल रेखाएँ जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों 2l + 2m – n = 0 और mn + nl + lm = 0 से प्राप्त होती है परस्पर समकोण है। 

28. यदि  l₁, m₁, n₁; l₂, m₂, n₂; l₃, m₃, n₃ तीन परस्पर लंब रेखाओं की दिक्कोज्याएँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि वह रेखा, जिसकी दिक्कोज्याएँ l₁ + l₂ + l₃, m₁ + m₂ + m₃,  n₁ + n₂ + n₃ के समानुपाती है, उपरोक्त रेखाओं से बराबर कोण बनाती हैं। 

वस्तुनिष्ठ प्रश्न 

प्रश्न 29 से 36 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए- 

प्रश्न 37 से 41 तक प्रत्येक में रिक्त स्थानों को भरिए- 

37. एक समतल (2,0,0) (0,3,0) और (0,0,4) बिंदुओं से होकर जाता है। इस समतल की समीकरण ________ है। 

38. सदिश (2 i + 2j – k) की दिक्कोज्याएँ ________ है।

39. रेखा x-5/3=y+4/7=z-6/2 की सदिश समीकरण ________ है।

40. बिंदु  (3,4,–7) और (1,–1,6) से होकर जाने वाली रेखा की सदिश समीकरण  ________ है।

41. समतल r(i + j – k)=2 का कार्तीय समीकरण ________ है। 

प्रश्न 42 से 49 तक प्रत्येक में सत्य या असत्य कथन बताइए- 

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिविमयि ज्यामिति

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