कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सदिश बीजगणित

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श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 12
विषय: गणित 
अध्याय: यूनिट 10 – सदिश बीजगणित

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सदिश बीजगणित

कक्षा 12 गणित विषय के यूनिट 10 – सदिश बीजगणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।

10.1 समग्र अवलोकन (Overview)

10.1.1 एक ऐसी राशि जिसमें परिमाण एवं दिशा दोनों होते हैं, सदिश कहलाती है।

10.1.2 सदिश a की दिशा में पात्रक सदिश a/|a| होता है और जिसे a से निरूपित करते हैं।

10.1.3 किसी बिंदु P (x, y, z) की स्थिति सदिश OP = xi + y j + zk होता है और इसका परिमाण|OP| = √x² + y²+ z² होता है, जहाँ O मूल बिंदु है।

10.1.4 एक सदिश के अदिश घटक इसके दिक्-अनुपात होते हैं और क्रमागत अक्षों के साथ इसके प्रक्षेप को निरूपित करते हैं।

10.1.5 एक सदिश का परिमाण r, दिक्-अनुपात (a, b, c) और दिक्-कोसाइन l, m, n निम्नलिखित रूप से संबंधित हैंः

l=a/r,m = b/r,n =c/r

10.1.6 त्रिभुज की तीनों भुजाओं को क्रमागत निरुपित करने वाले सदिशों का योग 0 होता है।

10.1.7 सदिश के योग के त्रिभुज नियम के अनुसार यदि दो सदिशों को किसी त्रिभुज की दो क्रमागत भुजाओं से निरूपित किया जाए, तो उनका योग या परिणामों सदिश उस त्रिभुज की विपरीत क्रम में ली गई तीसरी भुजा से निरूपित होता है।

10.1.8 अदिश गुणन यदि a एक दिया हुआ सदिश है और λ एक अदिश हो तो λ a एक सदिश है, जिसका परिमाण |λ a| = |λ| | a|. यदि λ धनात्मक है तो λ a की दिशा a की दिशा के समान होती है तथा यदि λ ऋणात्मक है तो λ a की दिशा a की दिशा के विपरीत होती है।

10.1.9 दो बिंदुओं को मिलाने वाला सदिश यदि P₁ (x₁y₁z₁) और P₂ (x₂y₂z₂) कोई दो बिंदु है

P₁P₂=(x₂-x₁) i+(y₂-y₁) j + (z₂-z₁) k

P₁P₂=√(x₂-x₁)² i+(y₂-y₁)² j + (z₂-z₁)²

10.1.10 खंड सूत्र (Section formula)

एक बिंदु R का स्थित सदिश, जो बिंदु P और Q, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः a और b है को

(i) m : n के अनुपात में अंतः विभाजित करता है, na + mb/m+n होता है

(ii) m : n के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है, mb-na/m-n होता है

10.1.11 सदिश a का b के अनुदिश प्रक्षेप a, b/|b| होता है और a का b के अनुदिश प्रक्षेप सदिश (a, b/|b|) b होता है।

10.1.12 अदिश गुणनफल (Scalar or dot product) दो सदिशों a और b जिनके बीच का कोण θ है, का अदिश गुणनफले a, b/ = |a||b| cos θ द्वारा परिभाषित है।

10.1.13 सदिश गुणनफल (Vector or cross product) दो सदिशों a और b, जिनके बीच का कोण θ है, का सदिश गुणनफल a × b = |a||b| sin θ nˆ जहाँ n एक मात्रक सदिश है जो a और b को अंतर्विष्ट करने वाले तल पर लंब है और a, b, n एक दक्षिणावर्ती पद्धति निर्मित करते हैं।

10.2 हल किए हुए उदाहरण

लघु उत्तरीय प्रश्न Short Answer (S.A.)

10.3 प्रश्नावली

लघुउत्तरीय प्रश्न Short Answer (S.A.)

1 . सदिश a=2i-j+k और b=2j+k के योग के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।

2. यदि a=i+j+2k और b=2i+j+2k, की दिशाओं में मात्रक सदिश है

(i)6 b (ii)2a-b

3. PQ, की दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ P और Q के निर्देशांक क्रमशः (5,0,8) और (3,3,2) हैं।

4. यदि a और b बिंदु A और B के क्रमशः स्थिति सदिश हैं तथा बढ़ाई गई BA में एक बिंदु C इस प्रकार है कि BC = 1.5 BA, तो C का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

5. सदिशों के प्रयोग से k का मान ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु (k, – 10, 3), (1, –1, 3) और (3, 5, 3) सरेखी हों।

6. एक सदिश r तीनों अक्षों से समान कोण पर झुका हुआ है। यदि r का परिमाण 2√3 इकाई है तो r ज्ञात कीजिए।

7. एक सदिश r का परिमाण 14 है तथा दिक्-अनुपात 2,3,-6 हैं। r के दिक्-कोसाइन और घटक ज्ञात कीजिए जब कि यह दिया है कि x-अक्ष से r न्यून कोण बनता है।

8. परिमाण 6 का एक सदिश ज्ञात कीजिए जो दोनों ही सदिशों 2i – j + 2k और 4i – j + 3k पर लंब है।

9. सदिशों 2i – j + k और 3i -4j + k के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

10. यदि a+b+c=0, तो सिद्ध कीजिए कि a×b=b×c=c×a इस परिणाम का ज्यामितीय विमोचन कीजिए।

11. सदिश a=3i -j + 2k तथा सदिश b=2i – 2j + 4k के बीच का sine ज्ञात कीजिए।

12. यदि A, B, C, D बिंदुओं के स्थिति सदिश क्रमशः i + j – k, 2i – j +3k, 2i – 3k, 3i – 2j +k, है तो AB का CD अनुदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।

13. सदिशों के प्रयोग से त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि जिसके शीर्ष A(1, 2, 3), B(2, – 1, 4) और C(4, 5, – 1) है।

14. सदिशों के प्रयोग से सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के मध्य स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (L.A.)

15. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज ABC में cosA=b²+c²-a²/2bc, होता है जहाँ a, b, c क्रमशः शीर्षों A, B, C, की सम्मुख भुजाओं के परिमाण हैं।

16. यदि a, b, c किसी त्रिभुज के शीर्षो को निर्धारित करते हैं तो, सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 b×c+c×a+a×b है। इसके प्रयोग से तीन बिंदुओं a,b,c के सरेखी होने के प्रतिबंध का निगमन कीजिए। साथ ही त्रिभुज के तल पर अभिलंब मात्रक सदिश भी ज्ञात कीजिए।

17. सिद्ध कीजिए कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसके विकर्ण a और b द्वारा व्यक्त है, a×b /2 है। साथ ही उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 2i – j + k और i + 3j – k है।

18. यदि a= i + j + k और b=j – k तो सदिश c ज्ञात कीजिए इस प्रकार कि a×c×b= और a. c=3

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 19 से 33 तक प्रत्येक में दिए हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए-

प्रश्न 34 से 40 तक प्रत्येक में रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए-

34. सदिश a + b असरेखी सदिशो a और b के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है यदि _________

35. यदि किसी शून्येतर सदिश r के लिए r.a=0,r.b=0, और r,c=0 तब a,(b×c) का मान _________ के बराबर है।

36. सदिश a=3i – 2j + 2k और b= -i -2k एक समांतर चतुर्भुज है। इसके विकणों के बीच की न्यूनकोण _________ है।

37. यदि k के मानों के लिए |ka|<|a|और ka+1/2a सदिश a के समांतर है, तो k के मान _________ हैं।

38. व्यंजक |a×b|² + (ab)² का मान _________ है।

39. यदि |a×b|² + |a.b|² = 144 और |a|= 4, तो |b| _________ के बराबर है।

40. यदि a कोई शून्येतर सदिश है तो (a.i)i+(a,j)j+(a.k)k _________ के बराबर है।

बतलाइए कि निम्नलिखित प्रश्नों के कथन सत्य हैं या असत्य-

41. यदि |a|=|b|, तो यह आवश्यक है कि a= ± b है।

42. किसी बिंदु P का स्थिति सदिश का प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु होता है।

43. यदि |a+b|=|a – b|, है तब सदिश a और b लांबिक (orthogonol) हैं।

44. सूत्र (a+b)² = a²+b²+2a×b शून्येतर a और b सदिशो के लिए सत्य है।

45. यदि a और b समचतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ हैं तब a,b = 0 है।

कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सदिश बीजगणित

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