गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 8 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 3 – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत – राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 8
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 3 – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल
कक्षा 8 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल
कक्षा 8 गणित विषय के यूनिट 3- वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहाँ प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
- एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण वर्ग कहलाती है, यदि वह किसी प्राकृत संख्या का वर्ग है। अर्थात् यदि m = n² हो, तो m एक पूर्ण वर्ग है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं।
- एक प्राकृत संख्या एक पूर्ण घन कहलाती है, यदि वह किसी प्राकृत संख्या का घन है, अर्थात्, यदि m = n³ हो, तो m एक पूर्ण घन है, जहाँ m और n प्राकृत संख्याएँ हैं।
- जब किसी संख्या को स्वयं उसी से गुणा किया जाए तो उससे प्राप्त संख्या उस संख्या का वर्ग कहलाती है।
- जब किसी संख्या को स्वयं उसी से तीन बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त संख्या उस संख्या का घन कहलाती है।
- सम संख्याओं के वर्ग और घन सम संख्याएँ होती हैं।
- विषम संख्याओं के वर्ग और घन विषम संख्याएँ होती हैं।
- एक पूर्ण वर्ग (1 के अतिरिक्त) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडों के युग्मों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
- एक पूर्ण घन (1 के अतिरिक्त) को सदैव समान अभाज्य गुणनखंडों के त्रिकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
- एक पूर्ण वर्ग की इकाई का अंक केवल 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हो सकता है।
- उस संख्या का वर्ग जिसकी इकाई का अंक-
- 1 या 9 है, 1 पर समाप्त होता है।
- 2 या 8 है, 4 पर समाप्त होता है।
- 3 या 7 है, 9 पर समाप्त होता है।
- 4 या 6 है, 6 पर समाप्त होता है।
- 5 है, 5 पर समाप्त होता है।
- संख्या n और n+1 के वर्गों के बीच में 2n प्राकृत संख्याएँ हैं।
- वह संख्या जिसके अंत में शून्यों की संख्या विषम हो, एक पूर्ण वर्ग नहीं होती है।
- प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² से प्राप्त होता है।
- तीन प्राकृत a, b और c संख्याओं में, यदि a² + b² = c² हो, तो कहा जाता है कि उनसे एक पाइथागोरियन त्रिक बनती है।
- प्रत्येक प्राकृत संख्या m > 1 के लिए, 2m, m²–1 और m² + 1 से एक पाइथागोरियन त्रिक बनती है।
- संख्या x का वर्गमूल वह संख्या है जिसका वर्ग x होता है। संख्या x के घनात्मक वर्गमूल को √x से निरूपित किया जाता है।
- 2 पर समाप्त होने वाली संख्या का घन 8 पर समाप्त होता है तथा 8 पर समाप्त होने वाली संख्या का घनमूल 2 पर समाप्त होता है।
- 3 पर समाप्त होने वाली संख्या का घन 7 पर समाप्त होता है तथा 7 पर समाप्त होने वाली संख्या का घनमूल 3 पर समाप्त होता है।
(B) हल उदाहरण
उदाहरण 1 से 7 में, चार विकल्प दिए गए हैं, जिनमें से एक सही है। सही उत्तर लिखिए।
उदाहरण 1: निम्न में से कौन एक विषम संख्या का वर्ग है?
- (a) 256
- (b) 361
- (c) 144
- (d) 400
हल- सही उत्तर (b) है।
उदाहरण 2: निम्न में किस संख्या में इकाई के स्थान पर 1 होगा?
- (a) 19²
- (b) 17²
- (c) 18²
- (d) 16²
हल- सही उत्तर (a) है।
उदाहरण 3: 18² और 19² के बीच में कितनी प्राकृत संख्याएँ स्थित हैं?
- (a) 30
- (b) 37
- (c) 35
- (d) 36
हल- सही उत्तर (d) है।
उदाहरण 4: निम्न में से कौन एक पूर्ण वर्ग नहीं है?
- (a) 361
- (b) 1156
- (c) 1128
- (d) 1681
हल- सही उत्तर (c) है।
उदाहरण 5: एक पूर्ण वर्ग में इकाई के स्थान पर कभी भी निम्न अंक नहीं हो सकता।
- (a) 1
- (b) 6
- (c) 5
- (d) 3
हल- सही उत्तर (d) है।
उदाहरण 8 से 14 में, रिक्त स्थानों को भरिए, ताकि कथन सत्य हो जाएँ-
उदाहरण 8: 1 और 50 के बीच ______________ पूर्ण वर्ग हैं।
हल- 6
उदाहरण 9: 100 के घन में ______________ शून्य होंगे।
हल- 6
उदाहरण 10: 6.1 का वर्ग ______________ है।
हल- 37.21
उदाहरण 11: 0.3 का घन ______________ है।
हल- 0.027
उदाहरण 12: 68² में ईकाई के साथान पर ______________ होगा।
हल- 4
उदाहरण 13: संख्या x के घनात्मक वर्गमूल को ______________ से निरूपित करते हैं।
हल- √x
उदाहरण 14: वह न्यूनतम संख्या जिसे 9 से गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो ______________ है।
हल- 3
उदाहरण 15 से 19 में, बताइए कथन सत्य हैं या असत्य-
उदाहरण 15: 0.4 का वर्ग 0.16 है।
हल- सत्य
उदाहरण 16: 729 का घनमूल 8 है।
हल- असत्य
उदाहरण 17: 10² और 11² क बीच 21 प्राकृत संख्याएँ हैं।
हल- असत्य
उदाहरण 18: प्रथम 7 विषण संख्याओं का योग 49 है।
हल- असत्य
उदाहरण 19: n अंकों वाले एक पूर्ण वर्ग के वर्गमूल में n/2 अंक हंगे, यदि n सम है।
हल- सत्य
उदाहरण 20: 36 को उत्तरोतर विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल- 1+3+5+7+9+11 = 36
उदाहरण 22: अभाज्य गुणनखंडन द्वारा जाँच कीजिए कि 1728 एक पूर्ण घन है या नहीं।
हल- 1728 का अभाज्य गुणनखं है-
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
क्योंकि सभी अभाज्य गुणनखंडों को तीन-तीन के समूहों में रखा जा सकता है,
अत:, 1728 एक पूर्ण घन है।
उदाहरण 27: वह न्यूनतम पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए, जो 3, 4, 5 और 6 से विभाज्य है।
हल- 3, 4, 5 और 6 से विभाज्य न्यूनतम संख्या इनका LCM है। 3, 4, 5 और 6 का LCM= 60 है। अब, 60 = 2 × 2 × 5 × 3 है।
हम देखते हैं कि यहाँ अभाज्य गुणनखंड 5 और 3 युग्मों में नहीं है। अतः, 60 एक पूर्ण वर्ग नहीं है। अतः, 60 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, हमें इसे 5×3 = 15 से गुणा करना चाहिए।
अतः, वांछित न्यूनतम पूर्ण वर्ग = 60 × 15 = 900 है।
उदाहरण 28: 10 उ लंबी एक सीढ़ी एक दीवार वेफ सहारे टिकी हुई है। यदि सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 6 उ दूर है तथा सीढ़ी ठीक दीवार वेफ ऊपरी सिरे तक पहुँचती है, तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल- मान लीजिए कि AC सीढ़ी है। अत:, AC = 10 m है।
उदाहरण 29: विमाओं 20 m× 15 m वाले आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल- पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग में हमें प्राप्त होता है- आयत के विकर्ण की लंबाई
उदाहरण 30: एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल जिसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी है, 2450 m² है। इस खेत का परिमाप ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 31: एक व्यापक ड्रिल अभ्यास के लिए विभिन्न स्कूलों के 6250 विद्यार्थियों को पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाता है कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही विद्यार्थी रहें, जितनी कि पंक्तियों की संख्या है। ऐसा करने पर प्रशिक्षक यह पाता है कि 9 विद्यार्थी शेष रह जाते हैं। उस वर्ग की प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 32: वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 1500 में जोड़ने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो। साथ ही इस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 33: समस्या हल करने की युक्ति पर अनुप्रयोग
- वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1620 को भाग देने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो।
हल- समस्या को समझिए और उसकी जाँच कीजिए
- प्रश्न में क्या सूचना दी गयी है?- एक संख्या जो पूर्ण नहीं है।
- आप क्या ज्ञात करना चाहते हैं?- ऐसी न्यूनतम संख्या जिससे 1620 को भाग देने पर, एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो।
एक युक्ति की योजना बनाइए
- आप अभाज्य गुणनखंड पहले से ही पढ़ चुके हैं। इसका प्रयोग करते हुए, 1620 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए।
- अभाज्य गुणनखंडों के युग्म बनाइए और देखिए कि क्या कोई गुणनखंड बिना युग्मित हुए रह गया है।
- यही गुणनखंड, जो युग्मित नहीं हुआ है, ही वाँछित न्यूनतम संख्या है, जिससे 1620 को भाग देने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त होगा।
हल कीजिए
(c) प्रश्नावली
प्रश्न 1 से 24 में, चार विकल्प दिए हैं, जिनमें से एक ही सही है। सही उत्तर लिखिए
1.196 निम्न वर्ग है-
- (a) 111
- (b) 12
- (c) 14
- (d) 16
2. निम्न में से कौन एक सम संख्या का वर्ग है?
- (a) 144
- (b) 169
- (c) 441
- (d) 625
3. अंक 9 पर समाप्त होने वाली संख्या के वर्ग के इकाई का अंक होगा-
- (a) 3
- (b) 9
- (c) 1
- (d) 6
4. निम्न में से किस में इकाई के स्थान पर 4 होगा?
- (a) 14²
- (b) 62²
- (c) 27²
- (d) 35²
5. 5² और 6² के बीच में कितनी प्राकृत संख्याएँ हैं?
- (a) 9
- (b) 10
- (c) 11
- (d) 12
6. निम्न में से कौन एक पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता?
- (a) 841
- (b) 529
- (c) 198
- (d) उपरोक्त में से सभी
7. 23 के घन में इकाई का अंक है-
- (a) 6
- (b) 7
- (c) 3
- (d) 9
8. एक वर्गाकार बोर्ड का क्षेत्रफल 144 वर्ग इकाई है। इस बोर्ड की प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या है?
- (a) 11 इकाई
- (b) 12 इकाई
- (c) 13 इकाई
- (d) 14 इकाई
9. कौन-सा अक्षर नीचे दी हुई संख्या रेखा पर √25 को सबसे अच्छी प्रकार से निरूपित करता है?
- (a) A
- (b) B
- (c) C
- (d) D
10. यदि एक पाइथागोरियन त्रिक का एक सदस्य 2 m है, तो उसके अन्य दो सदस्य हैं-
- (a) m, m²+1
- (b) m²+1, m²–1
- (c) m², m²–1
- (d) m², m+1
11. उत्तरोत्तर विषम संख्याओं 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 और 15 का योग है
- (a) 81
- (b) 64
- (c) 49
- (d) 36
12. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग है-
- (a) 2n+1
- (b) n²
- (c) n²–1
- (d) n²+1
13. निम्न में से कौन-सी संख्या एक पूर्ण घन है?
- (a) 243
- (b) 216
- (c) 392
- (d) 8640
14. एक 3x और 4x भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है-
- (a) 5x
- (b) 7x
- (c) 16x
- (d) 25x
15. संख्या पैटर्न 1, 4, 9, 16, 25 ………… में अगली दो संख्याएँ हैं-
- (a) 35, 48
- (b) 36, 49
- (c) 36, 48
- (d) 35,49
16. 43², 67², 52² और 59² में से कौन अंक 1 पर समाप्त होता है?
- (a) 43²
- (b) 67²
- (c) 52²
- (d) 59²
17. एक पूर्ण वर्ग में इकाई का अंक निम्न कभी नहीं हो सकता-
- (a) 1
- (b) 8
- (c) 0
- (d) 6
18. निम्न में से कौन-सी संख्या एक पूर्ण घन नहीं है?
- (a) 216
- (b) 567
- (c) 125
- (d) 343
19. √1000 बराबर है-
- (a) 10
- (b) 100
- (c) 1
- (d) इनमें से कोई नहीं
20. यदि m किसी प्राकृत संख्या n का वर्ग है, तो n है-
- (a) m का वर्ग
- (b) m से बड़ा
- (c) m के बराबर
- (d) √m
21. n अंको वाले एक पूर्ण वर्ग, जहां n एक सम संख्या है, के वर्गमूल में होंगे-
प्रश्न 25 से 48 में, रिक्त स्थानों को भरिए, ताकि कथन सत्य हो जाएँ-
25. 1 और 100 के बीच में _____________ पूर्ण वर्ग हैं।
26. 1 और 1000 के बीच में _____________ पूर्ण घन हैं।
27. 1294 के वर्ग में इकाई का अंक _____________ है।
28. 500 के वर्ग में _____________ शून्य होंगे।
29. किसी प्राकृत संख्या n के लिए n² और (n + 1)² के बीच में प्राकृत संख्याएँ _____________ हैं।
30. 24025 के वर्गमूल में _____________ अंक होंगे।
31. 5.5 का वर्ग _____________ है।
32. 5.3 × 5.3 का वर्गमूल _____________ है।
33. 100 के घन में _____________ शून्य होंगे।
34. 1 m² = _____________ cm² है।
35. 1 m³ = _____________ cm³ है।
36. 38 के घन में इकाई का अंक _____________ है।
37. 0.7 का वर्ग _____________ है।
38. प्रथम 6 विषम प्राकृत संख्याओं का योग _____________ है।
39. 57² की इकाई का अंक _____________ है।
40. उस समकोण त्रिभुज की पूर्णांकीय लंबाईयों वाली भुजाएँ, जिनका कर्ण 17cm है, _____________ और _____________ हैं।
41. √1.96= _____________ है।
42. (1.2)³ = _____________ है।
43. एक विषम संख्या का घन सदैव एक _____________ संख्या होता है।
44. संख्या x के घनमूल को _____________ से निरूपित किया जाता है।
45. वह न्यूनतम संख्या, जिससे 125 को गुणा करने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो, _____________ है।
46. वह न्यूनतम संख्या, जिससे 72 को गुणा करने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो, _____________ है।
47. वह न्यूनतम संख्या, जिससे 72 को भाग देने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो, _____________ है।
48. 7 पर समाप्त होने वाली संख्या का घन _____________ पर समाप्त होगा।
प्रश्न 49 से 86 में, बताइए कि कथन सत्य हैं या असत्य-
49. 86 के वर्ग में इकाई के स्थान पर 6 होगा।
50. दो पूर्ण वर्गों का योग एक पूर्ण वर्ग होता है।
51. दो पूर्ण वर्गों का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग होता है।
52. 50 और 60 के बीच में कोई पूर्ण वर्ग नहीं है।
53. 1521 का वर्गमूल 31 है।
54. किसी संख्या के घन में, प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड तीन बार प्रकट होता है।
55. 2.8 का वर्ग 78.4 है।
56. 0.4 का घन 0.064 है।
57. 0.9 का वर्गमूल 0.3 है।
58. प्रत्येक प्राकृत संख्या का वर्ग सदैव उस संख्या से बड़ा होता है।
59. 8000 का घनमूल 200 है।
60. 1 और 100 के बीच में पाँच पूर्ण घन हैं।
61. 100² और 101² के बीच में 200 प्राकृत संख्याएँ हैं।
62. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग n² है।
63. 1000 एक पूर्ण वर्ग है।
64. एक पूर्ण वर्ग का इकाई का अंक 8 हो सकता है।
65. प्रत्येक प्राकृत संख्या m के लिए (2m–1, 2m²–2m, 2m² – 2m + 1) एक पाइथागोरियन त्रिक है।
66. एक पाइथागोरियन त्रिक की सभी संख्याएँ विषम प्राकृत संख्याएँ हैं।
67. किसी पूर्णांक a के लिए, a³ सदैव a² से बड़ा होता है।
74. इकाई के अंक 7 वाली संख्या के वर्ग का इकाई का अंक 3 होगा।
75. इकाई के अंक 7 वाली संख्या के घन के इकाई का अंक 3 होगा।
76. एक अंकों की संख्या का घन दो अंकों की संख्या नहीं हो सकता।
77. एक सम संख्या का घन एक विषम संख्या होता है।
78. एक विषम संख्या का घन एक सम संख्या होता है।
79. एक सम संख्या का घन एक सम संख्या होता है।
80. एक विषम संख्या का घन एक विषम संख्या होता है।
81. 999 एक पूर्ण घन है।
82. 363 × 81 एक पूर्ण घन है।
85. एक ऋणात्मक पूर्णांक का कोई घनमूल नहीं होता है।
86. किसी संख्या का वर्ग घनात्मक है, अतः उस संख्या का घन भी घनात्मक होगा।
निम्न प्रश्नों को हल कीजिए-
87. प्रथम पाँच वर्ग संख्याएँ लिखिए।
88. 3 के प्रथम तीन गुणजों के घन लिखिए।
89. दर्शाइए कि 500 एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
90. 81 को प्रथम 9 विषम प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिखिए।
91. अभाज्य गुणनखंड का प्रयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए कि निम्न में से कौन पूर्ण वर्ग है-
- (a) 484
- (b) 11250
- (c) 841
- (d) 729
92. अभाज्य गुणनखंड का प्रयोग करते हुए, ज्ञात कीजिए कि निम्न में से कौन पूर्ण घन है-
- (a) 128
- (b) 343
- (c) 729
- (d) 1331
93. वितरण नियम का प्रयोग करते हुए, निम्न के वर्ग ज्ञात कीजिए-
- (a) 101
- (b) 72
94. क्या 6 cm, 10 cm और 8 cm किसी समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती है? कारण दीजिए।
95. वह पाइथागोरियन त्रिक लिखिए जिसकी एक संख्या 4 है।
96. अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, निम्न के घनमूल ज्ञात कीजिए-
- (a) 11025
- (b) 4761
97. अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, निम्न के घनमूल ज्ञात कीजिए-
- (a) 512
- (b) 2197
98. क्या 176 एक पूर्ण वर्ग है? यदि नहीं, तो वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 176 को गुणा करने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो।
99. क्या 9720 एक पूर्ण घन है? यदि नहीं, तो वह न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 9720 को भाग देने पर एक पूर्ण घन प्राप्त हो।
100. दो पाइथागोरियन त्रिक लिखिए, जिनमें से प्रत्येक में एक संख्या 5 हो।
101. 216 को किस न्यूनतम संख्या से भाग दिया जाए कि प्राप्त भागफल एक पूर्ण वर्ग हो?इस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
102. 3000 को किस न्यूनतम संख्या से गुणा किया जाए कि प्राप्त गुणनफल एक पूर्ण घन हो? इस पूर्ण घन का घनमूल भी ज्ञात कीजिए।
103. लंबी विभाजन विधि द्वारा, निम्न के वर्गमूल ज्ञात कीजिए-
- (a) 1369
- (b) 5625
104. लंबी विभाजन विधि द्वारा, निम्न के वर्गमूल ज्ञात कीजिए-
- (a) 27.04
- (b) 1.44
105. एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, 1385 में से किस न्यूनतम संख्या को घटाया जाना चाहिए? इस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल भी ज्ञात कीजिए।
106. 6200 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए, इसमें किस न्यूनतम संख्या को जोड़ना चाहिए?
107. चार अंकों की ऐसी न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए, जो एक पूर्ण वर्ग है।
108. तीन अंकों की ऐसी अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए, जो एक पूर्ण वर्ग है।
109. वह न्यूनतम वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए, जो 3, 4, 5, 6 और 8 से विभाज्य है।
110. उस वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके विकर्ण की लंबाई 10 सेमी है।
111. एक दशमलव संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है। यदि गुणनफल 51.84 है, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए।
112. एक दशमलव संख्या ज्ञात कीजिए जिसको स्वयं से गुणा करने पर 84.64 प्राप्त होता है।
113. एक किसान 150 मी भुजा वाले अपने वर्गाकार खेत की जुताई करना चाहता है। उसे कितने क्षेत्रफल में जुताई करवानी होगी?
114. एक वर्गाकार आलेख कागज की प्रत्येक भुजा पर कितनी इकाइयाँ होंगी, यदि इसमें इकाई वर्गों की कुल संख्या 256 हैं?
115. यदि एक घन की एक भुजा की लंबाई 15 मी है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
116. एक आयताकार खेत की भुजाएँ 80 मी और 18 मी हैं। इसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
117. एक वर्गाकार खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसका परिमाप 96 मी है।
118. एक घन की प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि उसका आयतन 512 सेमी³ है।
119. तीन संख्याएँ 1ः 2ः 3 के अनुपात में हैं तथा इनके घनों का योग 4500 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
120. भुजा 6.5 मी वाले एक वर्गाकार कमरे में कालीन बिछाने के लिए, कितने वर्गमीटर कालीन की आवश्यकता होगी?
121. उस वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल 6.4 मी और 2.5 मी भुजाओं वाले एक आयत के क्षेत्रफल के बराबर है।
122. दो पूर्ण घनों का अंतर 189 है। यदि इनमें से छोटी संख्या का घनमूल 3 है, तो बड़ी संख्या का घनमूल ज्ञात कीजिए।
123. यदि 1024 पौधें को इस प्रकार लगाया जाता है कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही पौधें हों, जितनी पंक्तियाँ हैं, तो प्रत्येक पंक्ति में पौधें की संख्या ज्ञात कीजिए।
124. एक हाॅल में 2704 सीटें हैं। यदि पंक्तियों की संख्या उतनी है जितनी कि एक पंक्ति में सीटें हैं, तो प्रत्येक पंक्ति में सीटों की संख्या ज्ञात कीजिए।
125. एक जनरल अपने 7500 सैनिकों को एक बडे़ से बड़े वर्ग के रूप में खड़ा करना चाहता है। उन्हें खड़ा करने के बाद, उसे पता लगता है कि कुछ सैनिक शेष रह गये हैं। कितने सैनिक शेष रह गये हैं?
126. किसी व्याख्यान कक्ष में, 8649 विद्यार्थी इस प्रकार बैठे हुए थे कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही विद्यार्थी थे, जितनी कि कुल पंक्तियाँ थीं। उस व्याख्यान कक्ष की प्रत्येक पंक्ति में कितने विद्यार्थी थे?
127. राहुल अपने घर से उत्तर की ओर 12 m चलता है और फिर मुड़कर पश्चिम की ओर 35 m चलता है, ताकि वह अपने मित्र के घर पहुँच जाये। लौटते समय वह अपने मित्र के घर से अपने घर तक विकर्णतः चल कर पहुँचता है। लौटते समय उसने कितनी दूरी तय की?
128. 5.5 मी लंबी एक सीढ़ी एक दीवार के सहारे टिकी हुई है। यह सीढ़ी दीवार की 4.4 मी ऊँचाई तक पहुँचती है। सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी तय कीजिए।
129. एक राजा अपने राज्य के एक चतुर व्यक्ति और सलाहकार को पुरस्कार देना चाहता है। उसने उस चतुर व्यक्ति से पुरस्कार स्वयं ही तय करने को कहा। उस चतुर व्यक्ति ने राजा को ध्न्यवाद देकर कहा कि वह एक मास तक प्रतिदिन केवल कुछ सोने के सिक्के माँगेगा। सिक्कों को इस पैटर्न पर दिया जाता है- पहले दिन एक सिक्का, दूसरे दिन 3 सिक्के, तीसरे दिन 5 सिक्के इत्यादि 30 दिन तक। बिना परिकलन किये, ज्ञात करें कि उस सलाहकार को उस मास में कितने सिक्के प्राप्त होंगे।
130. 2: 3: 5 के अनुपात में ऐसी तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनके वर्गों का योग 608 है।
131. 8, 9 और 10 से विभाज्य न्यूनतम वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए।
132. एक वर्गाकार प्लाॅट का क्षेत्रफल 101 1/400 m³ है। इस प्लाॅट की एक भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
133. बार-बार व्यवकलन की विधि से 324 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।
134. तीन संख्याएँ 2ः 3ः 4 के अनुपात में हैं। इनके घनों का योग 0.334125 है। ये संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
मान निकालिए-
138. एक पूर्ण वर्ग संख्या में 4 अंक हैं, जिसमें से कोई भी शून्य नहीं है। इसके अंक बाएँ से दाएँ इस प्रकार के मानों वाले हैं- सम, सम, विषम, सम। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
139. नीचे आकृति में, प्रत्येक वृत में ऐसी संख्याएँ लिखिए कि जब आप प्रत्येक रेखा की संख्याओं को जोड़ें, तो योग सदैव एक पूर्ण वर्ग हो।
140. दो वर्गों के परिमाप 40 मीटर और 96 मीटर हैं। उस वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वर्गों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
141. तीन अंकों वाली एक पूर्ण वर्ग संख्या इस प्रकार है कि यदि इन्हें उल्टा देखा जाए, तो भी वह पूर्ण वर्ग संख्या होगी। वह संख्या क्या है?
(संकेत- 1, 0 और 8 उल्टा देखने पर वही दिखायी देती हैं। 6 और 9 को उल्टा देखने पर 6 बन जाता है 9 और 9 बन जाता है 6)।
142. 13 और 31 ऐसी अदभुत संख्याओं के युग्म हैं कि वे और इनके वर्ग 169 और 961 एक दूसरे के अंक पलटने से प्राप्त होते हैं। क्या आप ऐसी संख्याओं के अन्य युग्म ज्ञात कर सकते हैं?
(D) अनुप्रयोग, खेल और पहेलियां
2. क्रॉसवर्ड पहेली
डाउन
1.9 का घन
2. 12, ____, 37, को एक पाइथागोरियन त्रिक बनाने के लिए एक अज्ञात संख्या।
4. न्यूनतम संख्या जिससे 248 को गुणा करने पर गुणनफल पूर्णघन है।
5. 75 का वर्ग।
6. 5 और 11 से विभाज्य न्यूनतम वर्ग संख्या।
9. बिना जोड़े इसका योग ज्ञात कीजिए- 1+ 3+ 5+ 7+ 9+ 11
10. न्यूनतम संख्या जिसे 7669 में जोड़ने पर पूर्ण वर्ग प्राप्त होता है।
एक्रॉस
2. 19 का वर्ग।
3. नीचे दी गयी संख्याओं को देखें एवं उस संख्या की खोज करें, जो पूर्ण वर्ग नहीं है- 81, 100, 144, 25000
7. 4489 का वर्गमूल।
8. 1 के अतिरिक्त वह न्यूनतम संख्या जो पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन दोनों है।
10. 357911 का घनमूल।
11. वह न्यूनतम संख्या जिसे 374695 में से घटाने पर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त हो।
कक्षा 8 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल
यूनिट 3 – वर्ग- वर्गमूल तथा घन- घनमूल के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
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