गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 9 – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 9 – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 9 – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
किसी बंद समतल आकृति का क्षेत्रफल उस आकृति के अंदर के क्षेत्र का माप होता हैः
छायांकित भाग (आकृति 9.1) वे क्षेत्र निरूपित करते हैं जिनके क्षेत्रफल सरल ज्यामितीय परिणामों का प्रयोग करके निर्धरित किए जा सकते हैं। ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल को मापने के लिए एक वर्ग इकाई (या मात्रक) मानक इकाई है।
- यदि ∆ ABC ≅ ∆ PQR है, तो ar (∆ ABC) = ar (∆ PQR) होता है। समतल आकृति ABCD का कुल क्षेत्रफल R दोनों त्रिभुजाकार क्षेत्रों R₁ और R₂, के योग के बराबर है, ar (R) = ar (R₁) + ar (R₂) है (आकृति 9.2)।
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- दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं परंतु इसका विलोम सदैव सत्य नहीं है।
- एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है।
- (i) एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुज, क्षेत्रफल में, बराबर होते हैं।
(ii) एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बना एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
- समान आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
- एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने त्रिभुज क्षेत्रफल में बराबर होते हैं।
- समान आधारों और समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों के संगत शीर्षलंब समान होते हैं।
- एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने आयत/समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
- यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : 12 cm और 16 cm विकर्णों वाले एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं
को मिलाने से बनी आकृति का क्षेत्रफल है
(A) 48 cm2 (B) 64 cm2 (C) 96 cm2 (D) 192 cm2
हल : उत्तर (A)
प्रश्नावली 9.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. एक त्रिभुज की माध्यिका उसे विभाजित करती है, दो
(A) बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में (B) सर्वांगसम त्रिभुजों में
(C) समकोण त्रिभुजों में (D) समद्विबाहु त्रिभुजों में
2. निम्नलिखित आकृतियों (आकृति 9.3) में से किसमें आप एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच, बने दो बहुभुज प्राप्त करते हैंः
3. 8 cm और 6 cm भुजाओं वाले एक आयत की आसन्न भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति है :
(A) 24 cm² क्षेत्रफल का एक आयत (B) 25 cm² क्षेत्रफल का एक वर्ग
(C) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समलंब (D) 24 cm² क्षेत्रफल का एक समचतुर्भुज
4. आकृति 9.4 में, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल है :
(A) AB × BM
(B) BC × BN
(C) DC × DL
(D) AD × DL
5. आकृति 9.5 में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABEM समान क्षेत्रफल के हैं, तो :
(A) ABCD का परिमाप = ABEM का परिमाप
(B) ABCD का परिमाप < ABEM का परिमाप
(C) ABCD का परिमाप > ABEM का परिमाप
(D) ABCD का परिमाप = 1/2 (ABEM का परिमाप)
6. एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु किसी भी एक शीर्ष को चैथा बिंदु लेकर एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, जिसका क्षेत्रफल बराबर है
(A) 1/2 ar (ABC)
(B) 1/3 ar (ABC)
(C) 1/4 ar (ABC)
(D) ar (ABC)
7. दो समांतर चतुर्भुज बराबर आधारों पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उनके क्षेत्रफल का अनुपात है
(A) 1 : 2 (B) 1 : 1 (C) 2 : 1 (D) 3 : 1
8. ABCD एक चतुर्भुज है जिसका विकर्ण AC उसे बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है। तब, ABCD
(A) एक आयत है
(B) सदैव एक समचतुर्भुज है
(C) एक समांतर चतुर्भुज है
(D) (A), (B) या (C) में से कोई भी होना आवश्यक नहीं
9. एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, तो त्रिभुज के क्षेत्रफल का समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल से अनुपात है
(A) 1 : 3 (B) 1 : 2 (C) 3 : 1 (D) 1 : 4
10. ABCD एक समलंब है जिसकी समांतर भुजाएं AB = a cm और DC = b cm है (आकृति 9:6)। E और F असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। ar (ABFE) और ar (EFCD) का अनुपात हैं
(A) a : b
(B) (3a + b) : (a + 3b)
(C) (a + 3b) : (3a + b)
(D) (2a + b) : (3a + b)
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिएः
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि P किसी त्रिभुज ABC की माध्यिका AD पर स्थित कोई बिंदु है, तो ar (ABP) ≠ ar (ACP) है।
हल : असत्य, क्योंकि ar (ABD) = ar (ACD) और ar (PBD) = ar (PCD), और इसीलिए, ar (ABP) = ar (ACP) है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : यदि आकृति 9.7 में, PQRS और EFRS दो समांतर चतुर्भुज हैं, तो ar (MFR) = 1/2 ar (PQRS) है।
हल : सत्य, क्योंकि ar (PQRS) = ar (EFRS) = 2 ar (MFR) है।
प्रश्नावली 9.2
सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए –
1. ABCD एक समांतर चतुर्भुज और X भुजा AB का मध्य-बिंदु है। ar (AXCD) = 24 cm² है तो ar (ABC) = 24 cm² है।
2. PQRS एक आयत है, जो त्रिज्या 13 cm वाले एक वृत्त के चतुर्थांश के अंतर्गत है। A भुजा PQ पर स्थित कोई बिंदु है। यदि PS = 5 cm है, तो ar (PAS) = 30 cm² है।
3. PQRS एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल 180 cm² है तथा A विकर्ण QS पर स्थित कोई बिंदु है। तब ∆ ASR का क्षेत्रफल 90 cm² है।
4. ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिंदु है। तब, ar (BDE) = 1/4 ar ( ABC) है।
5. आकृति 9.8 में, ABCD और EFGD दो समांतर चतुर्भुज हैं तथा G भुजा CD का मध्य-बिंदु है। तब, ar (DPC) = 1/2 ar (EFGD) है।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : PQRS एक वर्ग है। T और U क्रमशः PS और QR के मध्य-बिंदु हैं (आकृति 9.9)। ∆ OTS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 8 cm है तथा O रेखाखंड TU और QS का प्रतिच्छेद बिंदु है।
हल : PS = PQ = 8 cm है तथा TU || PQ है।
ST = 1/2 PS = 1/2 × 8 = 4 cm
साथ ही, PQ = TU = 8 cm
इसलिए, OT = 1/2 TU = 1/2 × 8 = 4 cm
अतः, ∆OTS का क्षेत्रफल
= 1/2 × ST × OT [क्योंकि OTS एक समकोण त्रिभुज है]
= 1/2 × 4 cm² = 8 cm²
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : ABCD एक समांतर चतुर्भुज तथा BC को Q तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि AD = CQ है (आकृति 9.10)। यदि AQ भुजा DC को P पर प्रतिच्छेद करता है, तो दर्शाइए कि ar (BPC) = ar (DPQ)
हल : ar (ACP) = ar (BCP) (1)
[एक आधार पर तथा एक ही समांतर रेखाओं के बीच बने दो त्रिभुज]
ar (AOQQ) = ar (ADC) (2)
ar (ADC) – ar (ADP) = ar (AOQQ) – ar (ADP)
अतः, ar (APC) = ar (DPQ) (3)
(1) और (3) से, हमें प्राप्त होता हैः
ar (BCP) = ar (DPQ)
प्रश्नावली 9.3
1. आकृति 9.11 में, PSDA एक समांतर चतुर्भुज है। PS पर बिंदु Q और R इस प्रकार लिए गए हैं कि PQ = QR = RS है। तथा PA || QB || RC है। सिद्ध कीजिए कि ar (PQE) = ar (CFD) है।
2. X और Y त्रिभुज LMN की भुजा LN पर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि LX = XY = YN हैं। X से होकर जाती हुई एक रेखा LM के समांतर खींची गई जो MN को Z पर मिलती है (देखिए आकृति 9.12)। सिद्ध कीजिए कि ar (LZY) = ar (MZYX) है।
3. समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 90 cm² है (आकृति 9.13)। ज्ञात कीजिएः
(i) ar (ABEF)
(ii) ar (ABD)
(iii) ar (BEF)
4. ∆ ABC, D भुजा AB का मध्य-बिंदु है तथा P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है। यदि रेखाखंड CQ || PD भुजा AB से Q पर मिलता है (आकृति 9.14), तो सिद्ध कीजिए कि ar (BPQ) = 1/2 ar (ABC) है।
5. ABCD एक वर्ग है। E और F क्रमशः BC और CD भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं। यदि R रेखाखंड EF का मध्य-बिंदु है (आकृति 9.15), तो सिद्ध कीजिए कि ar (AER) = ar (AFR) है।
6. O एक समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई बिंदु है (आकृति 9.16)। सिद्ध कीजिए कि ar (PSO) = ar (PQO) है।
7. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें BC को E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि CE = BC है (आकृति 9.17)। AE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ar (DFB) = 3 cm² है, तो समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
8. एक समलंब ABCD में, AB || DC है तथा L भुजा BC का मध्य-बिंदु है। L से होकर, एक रेखा PQ || AD खींची गई है, जो AB को P पर और बढ़ाई गई DC को Q पर मिलती है (आकृति 9.18), सिद्ध कीजिए ar (ABCD) = ar (APQD)
9. यदि किसी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाया जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए हुए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है (आकृति 9.19)। [संकेत : BD को मिलाइए और A से BD पर लंब खींचिए।]
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : आकृति 9.20 में, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P और Q भुजा BC को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (APQ) = ar (DPQ) = 1/6 ar (ABCD) है।
हल : P और Q से होकर, AB के समांतर PR और PR खींचिए (आकृति 9.21)।
अब, PQRS एक समांतर चतुर्भुज है तथा इसका आधार PQ = 1/3 BC है।
ar (APD) = 1/2 ar (ABCD) [एक ही आधार BC और BC || AD] (1)
ar (AQD) = 1/2 ar (ABCD) (2)
(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है ar (APD) = ar (AQD) (3)
दोनों पक्षों में से ar (AOD) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है
ar (APD) – ar (AOD) = ar (AQD) – ar (AOD)
ar (APO) = ar (OQD), (4)
(4) के दोनों पक्षों में ar (OPQ) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता हैः
ar (APO) + ar (OPQ) = ar (OQD) + ar (OPQ)
ar (APQ) = ar (DPQ)
क्योंकि, ar (APQ) = 1/2 ar (PQRS), इसलिए
ar (DPQ) = 1/2 ar (PQRS)
अब, ar (PQRS) = 1 3 ar (ABCD)
अतः, ar (APQ) = ar (DPQ)
= 1/2 ar (PQRS) = 1/2 × 1/3 ar (ABCD)
= 1/6 ar (ABCD)
प्रदर्शित प्रश्न 2 : आकृति 9.22 में, l, m, और n, सरल रेखाएं इस प्रकार हैं कि l || m है तथा n रेखा l को P पर तथा m को Q पर प्रतिच्छेद करती है। ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि शीर्ष A, रेखा l पर स्थित है, शीर्ष C और D रेखा m पर स्थित हैं तथा AD || n है। दर्शाइए कि ar (ABCQ) = ar (ABCDP)
हल : ar (APD) = ar (AQD) (1)
[एक ही आधार AD पर है तथा एक ही समांतर रेखाओं AD और n के बीच में स्थित है]
(1) के दोनों पक्षों में ar (ABCD) जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है ar (APD) + ar (ABCD) = ar (AQD) + ar (ABCD)
या ar (ABCDP) = ar (ABCQ) है।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : आकृति 9.23 में, BD || CA है, E रेखाखंड CA का मध्य-बिंदु है तथा BD = 1/2 CA है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABC) = 2ar (DBC) है।
हल : DE को मिलाइए। यहां BCED एक समांतर चतुर्भुज है, क्योंकि BD = CE और BD || CE है।
ar (DBC) = ar (EBC) (1)
[एक ही आधार BC और एक ही समांतर रेखाओं की बीच में है]
∆ ABC में, BE एक माध्यिका है।
अतः, ar (EBC) = 1/2 ar (ABC)
अब, ar (ABC) = ar (EBC) + ar (ABE)
इसलिए, ar (ABC) = 2 ar (EBC),
अतः, ar (ABC) = 2 ar (DBC) [(1) से]
प्रश्नावली 9.4
1. किसी समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर कोई बिंदु E लिया जाता है। AE और DC को बढ़ाया जाता है जिससे वे F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ADF) = ar (ABFC) है।
2. एक समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से होकर एक रेखा खींची जाती है, जो AD को P और BC से Q पर मिलती है। दर्शाइए कि च्फ इस समांतर चतुर्भुज ABCD को बराबर क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है।
3. एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएं BE और CF परस्पर बिंदु G पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆ GBC का क्षेत्रफल चतुर्भुज AFGE के क्षेत्रफल के बराबर है।
4. आकृति 9.24 में, CD || AE और CY || BA है। सिद्ध कीजिए कि ar (CBX) = ar (AXY) है।
5. ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC, DC = 30 cm और AB = 50 cm है। यदि X और Y क्रमशः AD और BC के मध्य-बिंदु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (DCYX) = 7/9 ar (XYBA) है।
6. त्रिभुज ABC में यदि L और M क्रमशः AB और AC भुजाओं पर इस प्रकार स्थित बिंदु हैं कि LM || BC है। सिद्ध कीजिए कि ar (LOB) = ar (MOC) है।
7. आकृति 9.25 में, ABCDE एक पंचभुज है। AC के समांतर खींची गई BP बढ़ाई गई DC को P पर तथा AD के समांतर खींची गई EQ बढ़ाई गई CD से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि ar (ABCDE) = ar (APQ) है।
8. यदि एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएं G पर मिलती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ar (AGB) = ar (AGC) = ar (BGC) = 1/3 ar (ABC) है।
9. आकृति 9.26 में, X और Y क्रमशः AC और AB के मध्य-बिंदु हैं, QP || BC और CYQ और BXP सरल रेखाएं हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (ABP) = ar (ACQ) है।
10. आकृति 9.27 में, ABCD और AEFD दो समांतर चतुर्भुज हैं। सिद्ध कीजिए कि ar (PEA) = ar (QFD) है। [संकेत : PD को मिलाइए।]
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
यूनिट 9 समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 9.1
1. (A)
2. (D)
3. (D)
4. (C)
5. (C)
6. (A)
7. (B)
8. (D)
9. (B)
10. (B)
प्रश्नावली 9.2
प्रश्नावली 9.3
3. (i) 90 cm2 (ii) 45 cm2 (iii) 45 cm2
7. 12 cm2
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
