गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्त यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां वृत्त के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 10 – वृत्त के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 10 – वृत्त
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्त
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 10 – वृत्त के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
वृत्त, त्रिज्या, व्यास, जीवा, वृत्तखंड, चक्रीय चतुर्भुज।
- एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की समान (या बराबर) जीवाएं केंद्र (या केंद्रों) पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
- यदि एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की जीवाएं केंद्र (या केंद्रों) पर बराबर कोण अंतरित करें तो वे जीवाएं बराबर होती हैं।
- वृत्त के केंद्र से उसकी किसी जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
- किसी वृत्त के केंद्र से होकर उसकी जीवा को समद्विभाजित करती हुई रेखा जीवा पर लंब होती है।
- दिए हुए तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त खींचा जा सकता है।
- एक वृत्त (या सर्वांगसम वृत्तों) की बराबर जीवाएं केंद्र (या केंद्रों) से समदूरस्थ होती हैं।
- वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ जीवाएं बराबर होती हैं।
- यदि एक वृत्त की दो जीवाएं बराबर हों तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं तथा विलोमतः यदि दो चाप सर्वांगसम हों तो उनकी संगत जीवाएं बराबर होती हैं।
- एक वृत्त के सर्वांगसम चाप केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करते हैं।
- किसी चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।
- एक ही वृत्त-खंड में बने कोण बराबर होते हैं।
- यदि दो बिंदुओं को मिलाने पर बना रेखाखंड उस रेखाखंड को अंतर्विष्ट करने वाली रेखा के एक ही ओर स्थित दो बिंदुओं पर बराबर कोण अंतरित करे ;बनाएद्ध, तो ये चारों बिंदु चक्रीय होते हैं।
- एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के प्रत्येक युग्म का योग 180º होता है।
- यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के एक युग्म का योग 180º हो, तो वह चतुर्भुज चक्रीय होता है।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1: आकृति 10.1 में दो सर्वांगसम वृत्तों के केंद्र O और O′ हैं। चाप AXB केंद्र O पर 75º का कोण अंतरित करता है तथा चाप A′ Y B′ केंद्र O′ पर 25° का कोण अंतरित करता है। तब चाप A X B और A′ Y B′ का अनुपात ह
हल : उत्तर (C)
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 10.2 में, AB और CD केंद्र O वाले वृत्त की दो बराबर जीवाएं हैं। OP और OQ क्रमशः AB और CD जीवाओं पर लंब हैं। यदि ∠POQ = 150º है, तो ∠APQ बराबर है (A) 30º (B) 75º (C) 15º (D) 60º
हल : उत्तर (B)
प्रश्नावली 10.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. किसी वृत्त का AD एक व्यास है और AB एक जीवा है। यदि AD = 34 cm, AB = 30 cm है, तो वृत्त के केंद्र से AB की दूरी है
(A) 17 cm (B) 15 cm (C) 4 cm (D) 8 cm
2. आकृति 10.3 में, यदि OA = 5 cm, AB = 8 cm तथा OD जीवा AB पर लंब है, तो CD बराबर है
(A) 2 cm (B) 3 cm (C) 4 cm (D) 5 cm
3. यदि AB = 12 cm, BC = 16 cm और AB रेखाखंड BC पर लंब है, तो A, B और C से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या है
(A) 6 cm (B) 8 cm (C) 10 cm (D) 12 cm
4. आकृति 10.4 में, यदि ∠ABC = 20º है, तो ∠AOC बराबर है
(A) 20º (B) 40º (C) 60º (D) 10º
5. आकृति 10.5 में, यदि AOB वृत्त का एक व्यास तथा AC = BC है, तो ∠CAB बराबर है
(A) 30º (B) 60º (C) 90º (D) 45º
6. आकृति 10.6 में, यदि ∠OAB = 40º है, तो ∠ACB बराबर है
(A) 50º (B) 40º (C) 60º (D) 70°
7. आकृति 10.7 में, यदि ∠DAB = 60º, ∠ABD = 50º है, तो ∠ACB बराबर है
(A) 60º (B) 50º (C) 70º (D) 80º
8. ABCD एक ऐसा चक्रीय चतुर्भुज है कि AB इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त का एक व्यास है तथा ∠ADC = 140º है। तब, ∠BAC बराबर है
(A) 80º (B) 50º (C) 40º (D) 30º
9. आकृति 10.8 में, BC वृत्त का व्यास है तथा ∠BAO = 60º है। तब, ∠ADC बराबर है
(A) 30º (B) 45º (C) 60º (D) 120º
10. आकृति 10.9 में, ∠AOB = 90º और ∠ABC = 30º है। तब, ∠CAO बराबर है:
(A) 30º (B) 45º (C) 90º (D) 60º
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1: किसी जीवा द्वारा वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिंदुओं पर अंतरित कोण बराबर होते हैं।
हल : असत्य। यदि दोनों बिंदु केवल एक ही वृत्तखंड (दीर्घ या लघु) में स्थित होते हैं, तभी बराबर होते हैं, अन्यथा नहीं।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक वृत्त की जीवाएं जिनकी लंबाईयां 10 cm और 8 cm हैं केंद्र से क्रमशः 8.0 cm और 3.5 cm की दूरियों पर हैं।
हल : असत्य। क्योंकि बड़ी जीवा केंद्र से कम दूरी पर होती है।
प्रश्नावली 10.2
निम्नलिखित में प्रत्येक के लिए सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए –
1. एक वृत की दो जीवाएं AB और CD में से प्रत्येक केंद्र से 4 cm की दूरी पर है। तब, AB = CD है।
2. केंद्र O वाले वृत्त की दो जीवाएं AB और AC, OA के विपरीत ओर स्थित हैं। तब, ∠OAB = ∠OAC है।
3. O और O′ केंद्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त A और B दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। तब, ∠AOB = ∠AO′B है।
4. तीन संरेख बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।
5. दो बिंदुओं A और B से होकर 3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जा सकता है, यदि AB = 6 cm है।
6. AOB वृत्त का एक व्यास है तथा C वृत्त पर स्थित कोई बिंदु है। तब, AC² + BC² = AB² है।
7. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, जिसमें ∠A = 90°, ∠B = 70°, ∠C = 95° और ∠D = 105° है।
8. यदि A, B, C, और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 30° और ∠BDC = 60° है, तो D उस वृत्त का केंद्र है, जो A, B और C बिंदुओं से होकर खींचा जाता है।
9. यदि A, B, C और D चार बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠BAC = 45° और ∠BDC = 45° है, तो A, B, C और D चक्रीय है।
10. आकृति 10.10 में, यदि AOB एक व्यास है और ∠ADC = 120° है, तो ∠CAB = 30° है।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: आकृति 10.11 में, AOC वृत्त का एक व्यास है तथा चाप AXB = 1/2 चाप BYC है। ∠BOC ज्ञात कीजिए।
हल : क्योंकि चाप AXB = 1/2 चाप BYC है,
इसलिए ∠AOB = 1/2 ∠BOC
साथ ही, ∠AOB + ∠BOC = 180º
अतः, 1/2 ∠BOC + ∠BOC = 180º
या ∠BOC = 2/3 × 180º 120º
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 10.12 में, ∠ABC = 45º है। सिद्ध कीजिए कि OA ⊥ OC है।
हल : ∠ABC = 1/2 ∠AOC है। अर्थात् ∠AOC = 2∠ABC = 2 × 45º = 90º या OA ⊥ OC
प्रश्नावली 10.3
1. यदि एक वृत्त के चाप AXB और CYD सर्वांगसम हैं तो AB और CD का अनुपात ज्ञात कीजिए।
2. यदि एक वृत्त PXAQBY की एक जीवा AB का लंब समद्विभाजक वृत्त को P और Q बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, तो सिद्ध कीजिए कि चाप PXA ≅ चाप PYB है।
3. A, B और C किसी वृत्त पर स्थित तीन बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि AB, BC और CA के लंब समद्विभाजक संगामी हैं।
4. AB और AC एक वृत्त की दो बराबर जीवाएं हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC का समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
5. यदि वृत्त की दो जीवाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त के केंद्र से होकर जाता है, तो सिद्ध कीजिए कि दोनों जीवाएं समांतर हैं।
6. ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है कि A शीर्षों B, C और D से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र है। सिद्ध कीजिए कि ∠CBD + ∠CDB = 1/2 ∠BAD है।
7. O त्रिभुज ABC का परिकेंद्र है तथा D आधर BC का मध्य-बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ∠BOD = ∠A है।
8. एक उभयनिष्ठ कर्ण AB पर दो समकोण त्रिभुज ACB और ADB इस प्रकार खींचे गए हैं कि वे विपरीत ओर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BAC = ∠BDC है।
9. एक वृत्त की दो जीवाएं AB और AC उसके केंद्र पर क्रमशः 90º और 150º के कोण अंतरित करती हैं। ∠BAC ज्ञात कीजिए, यदि AB और AC केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं।
10. यदि BM और CN त्रिभुज ABC की भुजाओं AC और AB पर खींचे गए लंब हैं, तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु B, C, M और N चक्रीय हैं।
11. यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज के आधर के समांतर कोई रेखा उसकी बराबर भुजाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए खींची जाए, तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बना चतुर्भुज चक्रीय होता है।
12. यदि किसी चक्रीय चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर है, तो सिद्ध कीजिए कि इसके विकर्ण भी बराबर हैं।
13. एक त्रिभुज ABC का परिकेंद्र O है। सिद्ध कीजिए कि ∠OBC + ∠BAC = 90º है।
14. किसी वृत्त की एक जीवा उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखंड में किसी बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
15. आकृति 10.13 में, ∠ADC = 130° और जीवा BC = जीवा BE है। ∠CBE ज्ञात कीजिए।
16. आकृति 10.14 में, ∠ACB = 40º है। ∠OAB ज्ञात कीजिए।
17. एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के अंतर्गत इस प्रकार है कि AB वृत्त का व्यास है और ∠ADC = 130º है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
18. केंद्रों O और O′ वाले दो वृत्त बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A (या B) से होकर एक रेखा PQ रेखाखंड OO′ के समांतर खींची जाती है, जो वृत्तों को P और Q पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि PQ = 2 OO′ है।
19. आकृति 10.15 में, AOB वृत्त का व्यास है तथा C, D और E अर्धवृत पर स्थित कोई तीन बिंदु हैं। ∠ACD + ∠BED का मान ज्ञात कीजिए।
20. आकृति 10.16 में, ∠OAB = 30º और ∠OCB = 57º है। ∠BOC और ∠AOC ज्ञात कीजिए।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : सिद्ध कीजिए कि दो वृत्त परस्पर दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद नहीं कर सकते।
हल : मान लीजिए कि दो वृत्त ऐसे हैं, जो A, B और C तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। स्पष्टतः A, B और C संरेख नहीं हैं। हम जानते हैं कि तीन असंरेख बिंदुओं से होकर एक और केवल एक ही वृत्त खींचा जा सकता है। अतः बिंदुओं A, B और C से होकर दो वृत्त नहीं खींचे जा सकते हैं। दूसरे शब्दों में, दो वृत्त दो से अधिक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : सिद्ध कीजिए की वृत्त के अंदर किसी बिंदु से होकर जाने वाली सभी जीवाओं में से वह जीवा सबसे छोटी होती है, जो उस बिंदु से होकर जाने वाले व्यास पर लंब होती है।
हल : मान लीजिए कि केंद्र O वाले वृत्त के अंदर P कोई बिंदु है। P से होकर जाने वाले व्यास XY पर लंब एक जीवा AB खींचिए जो P से होकर जाए। माना CD, बिंदु P से होकर जाती हुई एक अन्य जीवा है। O से CD पर ON लंब खींजिए। तब ∆ONP एक समकोण त्रिभुज है (आकृति 10.17)। इसलिए, इसका कर्ण OP भुजा ON से बड़ा है। हम जानते हैं कि वह जीवा जो केंद्र से निकटतम दूरी पर होती है उस जीवा से बड़ी होती है जो केंद्र से अधिक दूरी पर होती है। अतः CD > AB है। अतः, AB बिंदु P से होकर जाने वाली जीवाओं में सबसे छोटी है।
प्रश्नावली 10.4
1. यदि एक वृत्त की दो बराबर जीवाएं परस्पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के दो भाग दूसरी जीवा के दोनों भागों के पृथक-पृथक बराबर होते हैं।
2. यदि एक समलंब की असमांतर भुजाएं बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि यह एक चक्रीय चतुर्भुज है।
3. यदि P, Q और R क्रमशः एक त्रिभुज की BC, CA और AB भुजाओं के मध्य-बिंदु हैं तथा AD शीर्ष A से BC पर लंब है, तो सिद्ध कीजिए कि बिंदु P, Q, R और D चक्रीय हैं।
4. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। A और B से होकर एक वृत्त इस प्रकार खींचा जाता है कि वह AD को P पर और BC को Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि P, Q, C और D चक्रीय हैं।
5. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक और उसकी सम्मुख भुजा का लंब समद्विभाजक, यदि प्रतिच्छेद करते हैं तो, उस त्रिभुज के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करते हैं।
6. यदि किसी वृत्त AYDZBWCX की दो जीवाएं AB और CD समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं (आकृति 10.18), तो सिद्ध कीजिए कि चाप CXA + चाप DZB = चाप AYD + चाप BWC = एक अर्धवृत है।
7. यदि ABC किसी वृत्त के अंतर्गत एक समबाहु त्रिभुज है तथा P लघु चाप BC पर स्थित कोई बिंदु है, जो B या C के संपाती नहीं है, तो सिद्ध कीजिए कि PA कोण BPC का समद्विभाजक है।
8. आकृति 10.19 में, AB और CD एक वृत्त की दो जीवाएं हैं, जो E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠AEC = 1/2 (चाप CXA द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण + चाप DYB द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण) है।
9. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों के समद्विभाजक इस चतुर्भुज के परिगत वृत्त को P और Q, बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि PQ इस वृत्त का व्यास है।
10. एक वृत्त की त्रिज्या √2 cm है। 2 cm लंबाई वाली जीवा द्वारा यह वृत्त दो वृत्त-खंडों में विभाजित किया जाता है। सिद्ध कीजिए कि इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्त-खंड के किसी बिंदु पर बना कोण 45º है।
11. एक वृत्त की दो बराबर AB और CD जीवाएं बढ़ाने पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि PB = PD है।
12. AB और AC त्रिज्या r वाले एक वृत्त की दो जीवाएं इस प्रकार हैं कि AB = 2AC है। यदि p और q क्रमशः केंद्र से AB और AC की दूरियां हैं, तो सिद्ध कीजिए कि 4q² = p² + 3r² है।
13. आकृति 10.20 में, O वृत्त का केंद्र है और ∠BCO = 30° है। x और y ज्ञात कीजिए।
14. आकृति 10.21 में, O वृत्त का केंद्र है, BD = OD और CD ⊥ AB है। ∠CAB ज्ञात कीजिए।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्त
यूनिट 10 वृत्त के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 10.1
1. (D)
2. (A)
3. (C)
4. (B)
5. (D)
6. (A)
7. (C)
8. (B)
9. (C)
10. (D)
प्रश्नावली 10.2
1. सत्य, क्योंकि केंद्र से दोनों जीवाओं की दूरियां बराबर हैं।
2. असत्य, कोण तभी बराबर होंगे, जब AB = AC हो।
3. सत्य, क्योंकि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएं संगत केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
4. असत्य, क्योंकि दो बिंदुओं से होकर जाने वाला वृत्त इन दोनों बिंदुओं के संरेख तीसरे बिंदु से होकर नहीं जा सकता।
5. सत्य, क्योंकि AB व्यास होगा।
6. सत्य, क्योंकि ∠C एक समकोण है AC² + BC² = AB²
7. असत्य, क्योंकि ∠A + ∠C = 90°+ 95° = 185° ≠ 180°
8. सत्य, क्योंकि ऐसे अनेक बिंदु D हो सकते हैं कि ∠BDC = 60° हो तथा ऐसा प्रत्येक बिंदु A,B और C बिंदुओं से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र नहीं हो सकता।
9. सत्य, एक ही वृत्तखंड के कोण
10. सत्य, ∠B = 180° –120° = 60° , ∠CAB = 90° – 60° = 30°
प्रश्नावली 10.3
1. 1:1
9. 60°
14. 30°
15. 100°
16. 50°
17. 40°
19. 278
20. ∠BOC = 66°, ∠AOC = 54°
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – वृत्त की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
