गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – हीरोन का सूत्र यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां हीरोन का सूत्र के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 12 – हीरोन का सूत्र के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 12 – हीरोन का सूत्र
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – हीरोन का सूत्र
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 12 – हीरोन का सूत्र के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
- आयत
(a) क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
(b) परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)![]()
- वर्ग
(a) क्षेत्रफल = (भुजा)²
(b) परिमाप = 4 × भुजा
(c) विकर्ण = √2 × भुजा - आधार (b) और शीर्षलंब (h) वाला त्रिभुज
क्षेत्रफल = 1/2 × b × h - a, b और c भुजाओं वाला त्रिभुज
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- आधार a और बराबर भुजाओं b वाला समद्विबाहु त्रिभुज
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- भुजा a वाला समबाहु त्रिभुज
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- आधार b और शीर्षलंब h वाला समांतर चतुर्भुज
क्षेत्रफल = bh - d₁ क1 और d₂ विकर्णों वाला समचतुर्भुज
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- समांतर भुजाओं a और b तथा इन समंातर भुजाओं के बीच h दूरी वाला समलंब क्षेत्रफल = 1/2 (a + b) × h
- भुजा a वाला समषड्भुज क्षेत्रफल = 6 × भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
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(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : किसी समकोण त्रिभुज का आधार 8 cm और कर्ण 10 cm है। इसका क्षेत्रफल होगा
(A) 24 cm² (B) 40 cm² (C) 48 cm² (D) 80 cm²
हल : उत्तर (A)
प्रश्नावली 12.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 cm2 है। इसके कर्ण की लंबाई है।
(A) √32 cm (B) √16 cm (C) √48 cm (D) √24 cm
2. एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 m है। इसका क्षेत्रफल है
(A) 10√3 m² (B) 15√3 m² (C) 20√3 m² (D) 100√3 m²
3. एक त्रिभुज की भुजाएं 56 cm, 60 cm और 52 cm लंबाईयों की हैं। तब, त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(A) 1322 cm² (B) 1311 cm² (C) 1344 cm² (D) 1392 cm²
4. 2√3 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(A) 5.196 cm² (B) 0.866 cm² (C) 3.496 cm² (D) 1.732 cm²
5. क्षेत्रफल 9√3 cm² वाले एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है
(A) 8 cm (B) 36 cm (C) 4 cm (D) 6 cm
6. यदि एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16 3 cm2 है, तो इस त्रिभुज का परिमाप है
(A) 48 cm (B) 24 cm (C) 12 cm (D) 36 cm
7. एक त्रिभुज की भुजाएं 35 cm, 54 cm और 61 cm की हैं। इसके सबसे लंबे शीर्षलंब की लंबाई है
(A) 16√5 cm (B) 10√5 cm (C) 24√5 cm (D) 28 cm
8. आधार 2 cm और बराबर भुजाओं में से एक भुजा 4 cm वाले समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है 
9. एक त्रिभुजाकार बोर्ड के किनारे 6 cm, 8 cm और 10 cm लंबाईयों के हैं। इस पर 9 पैसे प्रति cm2 की दर से पेंट कराने का व्यय है
(A) 2.00 रु (B) 2.16 रु (C) 2.48 रु (D) 3.00 रु
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए:
प्रश्नावली 12.2
सत्य या असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए –
1. आधार 4 cm और ऊंचाई 6 cm वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 cm² है।
2. एक त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 8 cm² है, जिसमें AB = AC = 4 cm है तथा ∠A = 90º है।
3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 5/4√11 cm² होगा, यदि उसका परिमाप 11 cm है और आधार 5 cm है।
4. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 20√3 cm² है, जिसकी प्रत्येक भुजा 8 cm है।
5. यदि एक समचतुर्भुज की एक भुजा 10 cm और एक विकर्ण 16 cm है, तो उस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 cm² है।
6. एक समांतर चतुर्भुज का आधार और संगत शीर्षलंब क्रमशः 10 cm और 3.5 cm हैं। उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 30 cm² है।
7. भुजा a वाले एक समषड्भुज का क्षेत्रफल भुजा a वाले पांच समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
8. एक त्रिभुजाकार मैदान जिसकी भुजाएं 51 m, 37 m और 20 m हैं को 3 रु. प्रति m² की दर से समतल कराने का व्यय 918 रु है।
9. एक त्रिभुज की भुजाएं 11 cm, 12 cm और 13 cm की हैं। 12 cm लंबी भुजा के संगत शीर्षलंब की लंबाई 10.25 cm है।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक त्रिभुजाकर खेत की भुजाएं 41 m, 40 m और 9 m की हैं। ज्ञात कीजिए कि इस खेत में गुलाब की कितनी क्यारियां बनाई जा सकती हैं, यदि औसतन प्रत्येक गुलाब की क्यारी के लिए 900 cm² स्थान की आवश्यकता है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 12.1 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्नावली 12.3
1. भुजाओं 50 m, 65 m और 65 m वाले त्रिभुजाकार खेत में 7 रु प्रति m² की दर से घास लगवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
2. एक फ्रलाईओवर की त्रिभुजाकार पार्श्व दीवारों को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवारों की भुजाएं 13 m, 14 m और 15 m हैं। विज्ञापनों से एक वर्ष में 2000 रु प्रति m² की दर से आय होती है। एक कंपनी इनमें से एक दीवार को 6 महीने के लिए किराए पर लेती है। उस कंपनी ने कितना किराया दिया होगा?
3. एक समबाहु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित किसी बिंदु से तीनों भुजाओं पर लंब डाले जाते हैं। इन लंबों की लंबाई 14 cm, 10 cm और 6 cm हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 32 cm है। एक बराबर भुजा और आधार का अनुपात 3 : 2 है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5. आकृति 12.2 में दिए हुए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही, शीर्ष A से भुजा DC पर शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
6. एक खेत एक समांतर चतुर्भुज के आकार का है, जिसकी भुजाएं 60 m और 40 m हैं तथा एक विकर्ण 80 m है। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
7. एक त्रिभुजाकार खेत का परिमाप 420 m है तथा इसकी भुजाओं का अनुपात 6 : 7 : 8 है। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
8. एक चतुर्भुज ABCD की भुजाएं (एक क्रम में लेने पर) 6 cm, 8 cm, 12 cm और 14 cm हैं तथा प्रथम दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
9. एक समचतुर्भुज के आकार की शीट (चादर), जिसका परिमाप 40 cm और एक विकर्ण 12cm है, को दोनों ओर से 5 रु प्रति m² की दर से पेंट किया जाता है। पेंट करवाने की लागत ज्ञात कीजिए।
10. आकृति 12.3 में दी हुई ऊंचाई PQ वाले समलंब PQRS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि एक त्रिभुज की प्रत्येक भुजा दुगुनी कर दी जाती है, तो इस प्रकार बने नए त्रिभुज और प्रारंभिक त्रिभुज के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
प्रश्नावली 12.4
1. आकृति 12.4 में दी हुई पतंग को बनाने के लिए प्रत्येक शेड (रंग) के कितने कागज की आवश्यकता होगी, यदि ABCD विकर्ण 44 cm वाला एक वर्ग है।
2. एक त्रिभुज का परिमाप 50 cm है। त्रिभुज की एक भुजा छोटी भुजा से 4 cm लंबी है तथा तीसरी भुजा छोटी भुजा के दुगुने से 6 cm कम है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
3. एक समलंब का क्षेत्रफल 475 cm² है तथा ऊंचाई 19 cm है। इसकी समांतर भुजाओं की लंबाइयां ज्ञात कीजिए, यदि एक समांतर भुजा दूसरी समांतर भुजा से 4 cm अधिक है।
4. एक मकान का निर्माण करने के लिए एक आयताकार भूखंड दिया गया, जिसकी लंबाई 40 m है तथा सामने की चौड़ाई 15 m है। नियमों के अनुसार, सामने और पीछे की ओर न्यूनतम 3 m चौड़ी जगह तथा प्रत्येक अन्य ओर पर न्यूनतम 2 m चौड़ी जगह छोड़नी आवश्यक है। वह अधिकतम क्षेत्र ज्ञात कीजिए जिसमें मकान का निर्माण किया जा सकता है।
5. एक खेत समलंब के आकार का है, जिसकी समांतर भुजाएं 90 m और 30 m की हैं। ये दोनों भुजाएं तीसरी भुजा से समकोण पर मिलती हैं। चौथी भुजा की लंबाई 100 m की है। यदि 1m² खेत की जुताई की लागत 4 रु है, तो खेत की जुताई में लगने वाली कुल लागत ज्ञात कीजिए।
6. आकृति 12.5 में, ∆ ABC की भुजाओं में AB = 7.5 cm, AC = 6.5 cm और BC = 7 cm है। आधार BC पर एक समांतर चतुर्भुज DBCE की रचना की जाती है, जो क्षेत्रफल में ∆ ABC के बराबर है। इस समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई DF ज्ञात कीजिए।
7. एक आयत ABCD की विमाएं 51 cm × 25 cm हैं। इस आयत में से एक समलंब PQCD काटा जाता है, जिसकी समांतर भुजाएं QC और PD हैं और ये 9 : 8 के अनुपात में हैं, जैसा कि आकृति 12.6 में दर्शाया गया है। यदि समलंब PQCD का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का 5/6 भाग है, तो QC और PD की लंबाइयां ज्ञात कीजिए।
8. 50 cm × 70 cm विमाओं वाली एक आयताकार टाइल पर, आकृति 12.7 में दर्शाए अनुसार एक डिजाइन बनाया जाता है। इस डिजाइन में 8 त्रिभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 26 cm, 17 cm और 25 cm की हैं। डिजाइन का पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा टाइल के शेष भाग का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – हीरोन का सूत्र
यूनिट 12 हीरोन का सूत्र के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 12.1
1. (A)
2. (D)
3. (C)
4. (A)
5. (D)
6. (B)
7. (C)
8. (A)
9. (B)
प्रश्नावली 12.2
1. असत्य, त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 cm² है।
2. सत्य, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/ 2 × 4 × 4 = 8 cm² है।
3. सत्य, प्रत्येक बराबर भुजा = 3 cm है।
4. असत्य, त्रिभुज का क्षेत्रफल 16√3 cm² है।
5. सत्य, दूसरा विकर्ण 12 cm होगा।
6. असत्य, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 35 cm² है।
7. असत्य, सभी 6 समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ही क्षेत्रफल होगा।
8. सत्य, क्षेत्रफल = 306 m²
9. सत्य, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 12√105 cm²
प्रश्नावली 12.3
1. 10500 रु
2. 84,000 रु
3. 300√3 cm
4. 32√2 cm²
5. 180 cm²
6. 600√15 m²
7. 2100√15 m²
8. 24(√6+1) cm²
9. 960 रु
10. 114 m²
प्रश्नावली 12.4
1. पीला : 484 m² ; लाल : 242 m² ; हरा : 373.04 m²
2. 2√20 30 cm²
3. 23 cm, 27 cm
4. 374 cm²
5. 19200 रु
6. 3 cm
7. 45 cm, 40 cm
8. 1632 cm² , 1868 cm²
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – हीरोन का सूत्र की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
