गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रेखाएं और कोण यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां रेखाएं और कोण के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 6 – रेखाएं और कोण के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 6 – रेखाएं और कोण
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रेखाएं और कोण
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 6 – रेखाएं और कोण के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
पूरक कोण, संपूरक कोण, आसन्न कोण, रैखिक युग्म, शीर्षाभिमुख कोण।
- यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी हो तो इस प्रकार बने दोनों आसन्न कोण संपूरक होते हैं तथा इसका विलोम।
- यदि दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
- यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो
(i) संगत कोण बराबर होते हैं तथा इसका विलोम।
(ii) एकांतर अंतःकोण बराबर होते हैं तथा इसका विलोम।
(iii) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतःकोण संपूरक होते हैं तथा इसका विलोम। - एक ही रेखा के समांतर दो रेखाएं परस्पर समांतर होती हैं।
- त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।
- त्रिभुज का एक बहिष्कोण दोनों संगत अंतः अभिमुख कोणों के योग के बराबर होता है।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करने वाली एक तिर्यक रेखा के एक ही ओर के दोनों अंतःकोण 2 : 3 के अनुपात में हैं, तो दोनों कोणों में बड़ा कोण है
(A) 54° (B) 108° (C) 120° (D) 136°
हल : उत्तर (B)
प्रश्नावली 6.1
निम्नलिखित प्रश्नों के सही उत्तर लिखिए –
1. आकृति 6.1 में, यदि AB || CD || EF, PQ || RS, ∠RQD = 25° और ∠CQP = 60° है, तो ∠QRS बराबर है
(A) 85° (B) 135° (C) 145° (D) 110°
2. यदि किसी त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज है एक
(A) समद्विबाहु त्रिभुज
(B) अधिक कोण त्रिभुज
(C) समबाहु त्रिभुज
(D) समकोण त्रिभुज
3. एक त्रिभुज का एक बहिष्कोण 105° है तथा उसके दोनों अंतः विपरीत कोण बराबर हैं। इनमें से प्रत्येक बराबर कोण है
4. किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 5 : 3 : 7 है। वह त्रिभुज है एक
(A) न्यूनकोण त्रिभुज (B) अधिक कोण त्रिभुज
(C) समकोण त्रिभुज (D) समद्विबाहु त्रिभुज
5. यदि किसी त्रिभुज का एक कोण 130° है, तो अन्य दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण हो सकता है
(A) 50° (B) 65° (C) 145° (D) 155°
6. आकृति 6.2 में, POQ एक रेखा है। x का मान है
(A) 20° (B) 25° (C) 30° (D) 35°
7. आकृति 6.3 में, यदि OP||RS, ∠OPQ = 110° और ∠QRS = 130° है, तो ∠ PQR बराबर है
(A) 40° (B) 50° (C) 60° (D) 70°
8. एक त्रिभुज के कोण 2 : 4 : 3 के अनुपात में हैं। त्रिभुज का सबसे छोटा कोण है
(A) 60° (B) 40° (C) 80° (D) 20°
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : मान लीजिए कि OA, OB, OC और OD वामावर्त दिशा में ऐसी किरणें हैं कि ∠ AOB = ∠COD = 100°, ∠BOC = 82° तथा ∠AOD = 78° है। क्या यह कहना सत्य है कि AOC और BOD रेखाएं हैं।
हल : AOC एक रेखा नहीं है, क्योंकि ∠ AOB + ∠ COB = 100° + 82° = 182° है, जो 180° के बराबर नहीं है। इसी प्रकार, BOD भी एक रेखा नहीं है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि इसके एक ही ओर के दोनों अंतःकोण बराबर हैं। क्या दोनों रेखाएं सदैव समांतर होंगी? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल : व्यापक रूप में, दोनों रेखाएं समांतर नहीं होंगी क्योंकि दोनों बराबर कोणों का योग सदैव 180° नहीं होगा। ये रेखाएं तभी समांतर होंगी जब दोनों बराबर कोण 90° हों।
प्रश्नावली 6.2
1. आकृति 6.4 में, x + y के किस मान के लिए ABC एक रेखा होगी? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
2. क्या किसी त्रिभुज के सभी कोण 60° से कम हो सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
3. क्या किसी त्रिभुज के दो अधिक कोण हो सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
4. कोणों 45°ए 64° और 72° वाले कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
5. कोणों 53°, 64° और 63° वाले कितने त्रिभुज खींचे जा सकते हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
6. आकृति 6.5 में, x का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए l और m समांतर होंगे।
7. दो आसन्न कोण बराबर हैं। क्या यह आवश्यक है कि ये दोनों कोण समकोण हों? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
8. यदि दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बना एक कोण समकोण है, तो अन्य तीन कोणों के बारे में आप क्या कह सकते हैं? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
9. आकृति 6.6 में, कौन-सी दो रेखाएं समांतर हैं और क्यों?
10. दो रेखाएं l और m एक ही रेखा n पर लंब हैं। क्या l और m परस्पर लंब हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : आकृति 6.7 में, तीन रेखाएं AB, CD और EF बिंदु O पर संगामी हैं। y का मान ज्ञात कीजिए।
हल : ∠AOE = ∠BOF = 5y (शीर्षाभिमुख कोण)
साथ ही, ∠COE + ∠AOE + ∠AOD = 180°
इसलिए 2y + 5y + 2y = 180°
या, 9y = 180°, जिससे y = 20° प्राप्त होता है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 6.8 में, x = y और a = b है। सिद्ध कीजिए कि l || n है।
हल : x = y (दिया है)
इसलिए, l || m (संगत कोण)
साथ ही, a = b (दिया है)
इसलिए, n || m (संगत कोण)
(1) और (2) से, l || n (एक ही रेखा के समांतर रेखाएं)
प्रश्नावली 6.3
1. आकृति 6.9 में, OD कोण ∠AOC का समद्विभाजक है, OE कोण ∠BOC का समद्विभाजक है तथा OD ⊥ OE है। दर्शाइए कि A, O और B संरेख हैं।
2. आकृति 6.10 में, ∠1 = 60° और ∠6 = 120° है। दर्शाइए कि m और n समांतर हैं।
3. AP और BQ उन दो एकांतर अंतःकोणों के समद्विभाजक हैं जो समांतर रेखाओं l और m के तिर्यक रेखा t द्वारा प्रतिच्छेद से बनते हैं (आकृति 6.11)। दर्शाइए कि AP || BQ है।
4. यदि आकृति 6.11 में, एकांतर अंतःकोणों के समद्विभाजक AP और BQ समांतर हैं, तो दर्शाइए कि l || m है।
5. आकृति 6.12 में, BA || ED और BC || EF है। दर्शाइए कि ∠ABC = ∠DEF है।
[संकेत : DE को आगे बढ़ाइए ताकि वह BC को, मान लीजिए P पर प्रतिच्छेद करें।]
6. आकृति 6.13 में, BA || ED और BC || EF है। दर्शाइए कि ∠ ABC + ∠ DEF = 180° है।
7. आकृति 6.14 में, DE || QR तथा AP और BP क्रमशः कोणों ∠ EAB और ∠ RBA के समद्विभाजक हैं। ∠APB ज्ञात कीजिए।
8. किसी त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है। इस त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।
9. एक त्रिभुज ABC का कोण A समकोण है। BC पर L एक बिंदु इस प्रकार है कि AL ⊥ BC है। सिद्ध कीजिए कि ∠ BAL = ∠ ACB है।
10. दो रेखाएं क्रमशः दो समांतर रेखाओं पर लंब हैं। दर्शाइए कि ये दोनों रेखाएं परस्पर समांतर हैं।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: आकृति 6.15 में, m और n दो समतल दर्पण हैं जो परस्पर लंब हैं। दर्शाइए कि आपतित किरण CA परावर्तित किरण BD के समांतर है।
हल : मान लीजिए कि A और B पर अभिलंब P पर मिलते हैं। क्योंकि दर्पण परस्पर लंब हैं, इसलिए BP || OA और AP || OB है।
अतः, BP ⊥ PA, अर्थात् ∠ BPA = 90°
इसलिए, ∠ 3 + ∠ 2 = 90° (कोण योग गुण)
अतः, ∠1 = ∠2 और ∠4 = ∠3 (आपतन कोण=परावर्तन कोण)
अतः, ∠1 + ∠4 = 90° [(1) से]
(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:
∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°
अर्थात्, ∠CAB + ∠DBA = 180°
अतः, CA || BD
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
हल : कक्षा IX की गणित पाठ्यपुस्तक में, प्रमेय 6.7 की उपपत्ति देखिए।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : एक त्रिभुज ABC के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 90° + 1/2 ∠A है।
हल : आइए आकृति 6.16 में दर्शाए अनुसार आकृति खींचें।
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°(त्रिभुज का कोण योग गुण)
अतः, 1/2 ∠A + 1/2 ∠ABC + 1/2 ∠ACB = 1/2 × 180° = 90°
अतः, 1 2 ∠A + ∠OBC + ∠OCB = 90° (क्योंकि BO और CO क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक हैं)
परंतु ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB =180° (कोण योग गुण)
(2) में से (1) को घटाने पर, हमें प्राप्त होता हैः
∠BOC + ∠OBC + ∠OCB – 1 2 ∠A – ∠OBC – ∠OCB = 180° – 90°
अर्थात्, ∠BOC = 90° + 1 2 ∠A
प्रश्नावली 6.4
1. यदि दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं तो सिद्ध कीजिए कि शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
2. ∆ ABC के अंतःकोण ∠B और बहिष्कोण ∠ACD के समद्विभाजक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠BTC = 1/2 ∠BAC है।
3. एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने संगत कोणों के युग्म के समद्विभाजक समांतर होते हैं।
4. सिद्ध कीजिए कि एक दिए हुए बिंदु से होकर, हम एक दी हुई रेखा पर केवल एक लंब ही खींच सकते हैं।
[संकेत : विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का प्रयोग कीजिए।]
5. सिद्ध कीजिए कि दो रेखाएं जो क्रमशः दो प्रतिच्छेदी रेखाओं पर लम्ब हो, परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
[संकेत : विरोधाभास द्वारा उपपत्ति का प्रयोग कीजिए।]
6. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज के कम से कम दो न्यूनकोण अवश्य होने चाहिए।
7. आकृति 6.17 में, ∠Q > ∠R, PA कोण ∠QPR का समद्विभाजक है तथा PM ⊥ QR है। सिद्ध कीजिए कि ∠APM = 1/2 (∠Q – ∠R) है।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रेखाएं और कोण
यूनिट 6 रेखाएं और कोण के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 6.1
1. (C)
2. (D)
3. (A)
4. (A)
5. (D)
6. (A)
7. (C)
8. (B)
प्रश्नावली 6.2
1. x + y को 180° के बराबर होना चाहिए। ABC को एक रेखा होने के लिए दोनों आसन्न कोणों का योग 180° होना चाहिए।
2. नहीं, कोणों का योग 180° से कम होगा।
3. नहीं, कोणों का योग 180° से अधिक नहीं हो सकता।
4. कोई नहीं, कोणों का योग 181° नहीं हो सकता।
5. अपरिमित रूप से अनेक त्रिभुज, प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होगा।
6. 136°
7. नहीं, जब ये रैखिक युग्म बनाएंगे, तभी प्रत्येक कोण समकोण होगा।
8. रैखिक युग्म अभिगृहीत द्वारा प्रत्येक एक समकोण होगा।
9. l || m क्योंकि 132° + 48° = 180° तथा p, q के समांतर नहीं है क्योंकि 73° + 106° ≠ 180° है।
10. नहीं, ये समांतर हैं।
प्रश्नावली 6.3
7. . 90°
8. 40°, 60°, 80°
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – रेखाएं और कोण की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
