कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – संख्या पद्धतियां

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – संख्या पद्धतियां यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां संख्या पद्धतियां के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 1 – संख्या पद्धतियां के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 1 – संख्या पद्धतियां

कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – संख्या पद्धतियां

कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 1– संख्या पद्धतियां के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधरणाएं और परिणाम

• परिमेय संख्याएं
• अपरिमेय संख्याएं
• संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याएं निर्धरित करना
• वास्तविक संख्याएं और उनके दशमलव प्रसार
• संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण
• वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएं
• हर का परिमेयीकरण

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांकों के नियम

• एक संख्या परिमेय संख्या कहलाती है, यदि उसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
• एक संख्या जिसे p/q के रूप में न लिखा जा सके (जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है) अपरिमेय संख्या कहलाती है।
• सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को मिलाकर वास्तविक संख्याओं का संग्रह कहा जाता है।
• एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती होता है तथा एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है।
• यदि r एक परिमेय संख्या है और s एक अपरिमेय संख्या है तो r + s अपरिमेय संख्याएं होती हैं। साथ ही, यदि r एक शून्येतर परिमेय संख्या हो तो rs और r/s अपरिमेय संख्याएं होती हैं।
• धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए :

• यदि p और q परिमेय संख्याएं तथा a एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो

(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –

प्रश्नावली 1.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –

1. प्रत्येक परिमेय संख्या है:
(A) एक प्राकृत संख्या
(B) एक पूर्णांक
(C) एक वास्तविक संख्या
(D) एक पूर्ण संख्या

2. दो परिमेय संख्याओं के बीच में:
(A) कोई परिमेय संख्या नहीं होती
(B) ठीक एक परिमेय संख्या होती है
(C) अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएं होती हैं
(D) केवल परिमेय संख्याएं होती हैं तथा कोई अपरिमेय संख्या नहीं होती

3. एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण नहीं हो सकता:
(A) सांत
(B) असांत
(C) असांत आवर्ती
(D) असांत अनावर्ती

4. किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल होता है:
(A) सदैव एक अपरिमेय संख्या
(B) सदैव एक परिमेय संख्या
(C) सदैव एक पूर्णांक
(D) कभी परिमेय संख्या, कभी अपरिमेय संख्या

5. संख्या √2 का दशमलव प्रसार है:
(A) एक परिमित दशमलव
(B) 1.41421
(C) असांत आवर्ती
(D) असांत अनावर्ती

6. निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है?

7. निम्नलिखित में से कौन – सी एक अपरिमेय संख्या है?

8. √2 और √3 के बीच एक परिमेय संख्या है :

9. p/q के रूप में 1.999… का मान, जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0, होगा :

10. 2√3 + √3 बराबर है :
(A) 2√6
(B) 6
(C) 3√3
(D) 4√6

11. √10 × √15 बराबर है :
(A) 6√5
(B) 5√6
(C) √25
(D) 10√5

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: क्या ऐसी दो अपरिमेय संख्याएं हैं जिनका योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएं हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल : हाँ
3 + √2 और 3 – √2 दो अपरिमेय संख्याएं हैं।
(3 + √2) + (3 – √2 = 6, एक परिमेय संख्या
(3 + √2) (3 – √2 = 7, एक परिमेय संख्या
अतः, हमें दो ऐसी परिमेय संख्याएं प्राप्त हैं, जिनका योग और गुणनफल दोनों ही परिमेय संख्याएं हैं।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य:
एक संख्या x ऐसी है कि x² अपरिमेय है परंतु x⁴ परिमेय है। एक उदाहरण की सहायता से अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्नावली 1.2
1. मान लीजिए कि x और y क्रमशः परिमेय और अपरिमेय संख्याएं हैं। क्या x + y आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? अपने उत्तर की पुष्टि के लिए एक उदाहरण दीजिए।

2. मान लीजिए कि x एक परिमेय संख्या है और y एक अपरिमेय संख्या है। क्या xy आवश्यक रूप से एक अपरिमेय संख्या है? एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

3. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
(i) √2/3 एक परिमेय संख्या है।
(ii) किन्हीं दो पूर्णांकों के बीच अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक हैं।
(iii) 15 और 18 के बीच में परिमेय संख्याओं की संख्या परिमित है।
(iv) कुछ संख्याएं ऐसी हैं कि जिन्हें p/q, q ≠ 0 के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहां p और q दोनों पूर्णांक हैं।
(v) एक अपरिमेय संख्या का वर्ग सदैव एक परिमेय संख्या होती है।
(vi) √12/√3 एक परिमेय संख्या नहीं है, क्योंकि √12 और √3 पूर्णांक नहीं हैं।
(vii) √15/√3, p/q, q ≠ 0 के रूप में लिखी है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

4. औचित्य देते हुए, निम्नलिखित को परिमेय या अपरिमेय संख्याओं के रूप में वर्गीवृफत कीजिएः

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: संख्या रेखा पर √13 निर्धरित कीजिए।
हल : हम 13 को दो प्राकृत संख्याओं के वर्गों के योग के रूप में लिखते हैं:
13 = 9 + 4 = 3² + 2² संख्या रेखा पर, OA = 3 मात्रक (इकाई) लीजिए। OA पर एक लंब BA = 2 मात्रक खींचिए। OB को मिलाइए (देखिए आकृति 1.1)।
पाइथागोरस प्रमेय से, OB = √13 है।
परकार का प्रयोग करते हुए, केन्द्र O और त्रिज्या OB लेकर, एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु C पर प्रतिच्छेद करता है। तब, बिंदु C ही √13 के संगत है।

टिप्पणी : हम OA = 2 मात्रक और AB = 3 मात्रक भी ले सकते हैं।

प्रदर्शन प्रश्न 3 : सरल कीजिए : (3√5 – 5√2) (4√5 + 3√2)
हल : (3√5 – 5√2) (4√5 + 3√2)
= 12×5 – 20√2 × √5 + 9√5 × √2 – 15 × 2
= 60 – 20√10 + 9√10 – 30
= 30 – 11√10

प्रश्नावली 1.3
1. ज्ञात कीजिए कि कौन से चर x, y, z और u परिमेय संख्याएं निरूपित करते हैं तथा कौन से चर अपरिमेय संख्याएं निरूपित करते हैं:
(i) x² = 5
(ii) y² = 9
(iii) z² = .04
(iv) u² = 17/4

2. निम्नलिखित के बीच में तीन परिमेय संख्याएं ज्ञात कीजिए:
(i) -1 और -2
(ii) 0.1 और 0.11
(iii) 5/7 और 6/7
(iv) 1/4 और 1/5

3. निम्नलिखित के बीच में एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या प्रविष्ट कीजिए:
(i) 2 और 3
(ii) 0 और 0.1
(iii) 1/3 और 1/2
(iv) -2/5 और 1/2
(v) 0.15 और 0.16
(vi) √2 और √3
(vii) 2.357 और 3.121
(viii) .0001 और .001
(ix) 3.623623 और 0.484848
(x) 6.375289 और 6.375738

4. निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए:
7, 7.2, -13/2, -12/5

5. संख्या रेखा पर √5, √10 और √17 को निर्धरित कीजिए।

6. संख्या रेखा पर निम्नलिखित संख्याओं को ज्यामितीय रूप से निरूपित कीजिए:
(i) √4.5 (ii) √5.6 (iii) √8.1 (iv) √2.3

7. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहां p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है :

8. दर्शाइए कि 0.142857142857… = 1/7 है।

9. निम्नलिखित को सरल कीजिए :

10. निम्नलिखित को हर का परिमेयीकरण कीजिए :

11. निम्नलिखित में से प्रत्येक में a और b के मान ज्ञात कीजिए :

12. यदि a = 2 + √3 है, तो a – 1/a का मान ज्ञात कीजिए।

13. निम्नलिखित में से प्रत्येक में हर का परिमेयीकरण कीजिए और फिर √2 = 1.414, 3 = 1.732 और √5 = 2.236 लेते हुए, तीन दशमलव स्थानों तक प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए।

14. सरल कीजिए :

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्नावली 1.4

कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – संख्या पद्धतियां

यूनिट 1 संख्या पद्धतियां के उत्तर यहां से प्राप्त करें।

प्रश्नावली 1.1
1. (C)
2. (C)
3. (D)
4. (D)
5. (D)
6. (C)
7. (D)
8. (C)
9. (C)
10. (C)
11. (B)
12. (A)
13. (D)
14. (B)
15. (B)
16. (C)
17. (C)
18. (B)
19. (A)
20. (A)
21. (C)

प्रश्नावली 1.2
1. हां। मान लीजिए कि x = 21, y = √2 एक परिमेय संख्या है।
अब x + y = 21 + √2 + 1.4142… = 22.4142…
जो असांत और अनावर्ती है। अतः x + y अपरिमेय है।

2. नहीं, 0 × √2 = 0 जो अपरिमेय नहीं है।

3. (i) असत्य। यद्दपि √2/3, p/q के रूप का है परन्तु p, अर्थात √2 एक पूर्णांक नहीं है।
(ii) असत्य; 2 और 3 के मध्य कोई पूर्णांक नहीं है।
(iii) असत्य क्योंकि किन्ही दो परिमेय संख्याओं के बीच हम अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएं ज्ञात कर सकते हैं।
(iv) सत्य। √2/√3, p/q के रूप का है, परन्तु p और q यहां पूर्णांक नहीं हैं।
(v) असत्य क्योंकि (∜2)² = √2, जो एक परिमेय संख्या नहीं है।
(vi) असत्य, क्योंकि √12/√3 = √4 = 2, जो एक परिमेय संख्या है।
(vii) असत्य, क्योंकि √15/√3 = √5 = √5/1 यहां p अर्थात, √5 एक पूर्णांक नहीं है।

4. (i) परिमेय, क्योंकि √196 = 14
(ii) 3√18 = 9√2, जो एक परिमेय औरएक अपरिमेय संख्या का गुणनफल है और इसलिए एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्नावली 1.3
1. परिमेय संख्याएं : (ii), (iii)
अपरिमेय संख्याएं : (i), (iv)

2. (i) -1.1, -1.2, -1.3
(ii) 0.101, 0.102, 0.103
(iii) 51/70, 52/70, 53/70
(iv) 9/40, 17/80, 19/80

3. (i) 2.1, 2.040040004…
(ii) 0.03, 0.007000700007…
(iii) 5/12, 0.414114111…
(iv) 0, 0.151151115…
(v) 0.151, 0.151551555…
(vi) 1.5, 1.585585558…
(vii) 3, 3.101101110…
(viii) 0….11, .0001131331333…
(ix) 1, 1.909009000…
(x) 6.3753, 6.375414114111…

7. (i) 1/5
(ii) 8/9
(iii) 47/9
(iv) 1/999
(v) 23/90
(vi) 133/990
(vii) 8/2475
(viii) 40/99

12. 2√3

13. (i) 2.309
(ii) 2.449
(iii) 0.463
(iv) 0.318

14. (i) 6
(ii) 2025/64
(iii) 9
(iv) 5
(v) 3⁻⅓
(vi) -3
(vii) 16

प्रश्नावली 1.4
1. 167/90
2. 1
3. 2.063
4. 7
5. 98
6. 1/2
7. 214

इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – संख्या पद्धतियां की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।

कक्षा 9 गणित