गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां बहुपद के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 2 – बहुपद के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 2 – बहुपद
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 2 – बहुपद के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
- बहुपद का अर्थ
- बहुपद की घात
- गुणांक
- एकपदी, द्विपद, इत्यादि
- अचर, रैखिक, द्विघात बहुपद, इत्यादि
- चर के दिए हुए मान के लिए बहुपद का मान
- बहुपद के शून्यक
- शेषफल प्रमेय
- गुणनखंड प्रमेय
- मध्यपद को विभक्त कर एक द्विघात बहुपद का गुणनखंडन
गुणनखंड प्रमेय के प्रयोग द्वारा बीजीय व्यंजकों के गुणनखंड बीजीय सर्वसमिकाएँ:
बीजीय सर्वसमिकाएं –
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x – y)² = x² + 2xy + y²
x² – y² = (x + y) (x – y)
(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
(x + y + z)² = x² + y² + z² +2xy + 2zx
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = x³ + y³ + 3xy (x + y)
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = x³ – y³ – 3xy (x – y)
x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²)
x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)
x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy -yz -zx)
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि सभी x के लिए, x² + kx + 6 = (x + 2) (x + 3) है, तो k का मान है
(A) 1
(B) -1
(C) 5
(D) 3
हल : उत्तर (C)
प्रश्नावली 2.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. निम्नलिखित में से कौन एक बहुपद है?
2. √2 निम्नलिखित घात का एक बहुपद है:
(A) 2
(B) 0
(C) 1
(D)1/2
3. बहुपद 4x⁴ + 0x³ + 0x⁵ + 5x +7 की घात है:
(A) 4
(B) 5
(C) 3
(D) 7
4. शून्य बहुपद की घात है:
(A) 0
(B) 1
(C) कोई भी प्राकृत संख्या
(D) परिभाषित नहीं
5. यदि p (x) = x² -2√2x + 1 है, तो p(2√2) बराबर है:
(A) 0
(B) 1
(C) 4√2
(D) 8√2 + 1
6. जब x = -1 है, तो बहुपद 5x – 4x² + 3 का मान है:
(A) -6
(B) 6
(C) 2
(D) -2
7. यदि p(x) = x + 3 है, तो p(x) + p(-x) बराबर है:
(A) 3
(B) 2ग
(C) 0
(D) 6
8. शून्य बहुपद का शून्यक है:
(A) 0
(B) 1
(C) कोई वास्तविक संख्या
(D) परिभाषित नहीं
9. बहुपद p(x) = 2x + 5 का शून्यक है:
10. बहुपद 2x² + 7x – 4 के शून्यकों में से एक है:
11. यदि x⁵¹ + 51 को x + 1 से भाग दिया जाए, तो शेषफल है:
(A) 0
(B) 1
(C) 490
(D) 50
12. यदि x + 1 बहुपद 2x² + kx का एक गुणनखंड हो, तो k का मान है:
(A) -3
(B) 4
(C) 2
(D) -2
13. x + 1 निम्नलिखित बहुपद का एक गुणनखंड है:
(A) x³ + x² – x + 1
(B) x³ + x² + x + 1
(C) x⁴ + x³ – x² + 1
(D) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
14. (25x² – 1) + (1 + 5x)² के गुणनखंडों में से एक है:
(A) 5 + x
(B) 5 – x
(C) 5x – 1
(D) 10x
15. 249² – 248² का मान है:
(A) 1²
(B) 477
(C) 487
(D) 497
16. 4x² + 8x + 3 का गुणनखंडन है:
(A) (x + 1) (x + 3)
(B) (2x + 1) (2x + 3)
(C)(2x + 2) (2x + 5)
(D) (2x – 1) (2x – 3)
17. निम्नलिखित में से कौन (x +y)³ – (x³ + y³) का एक गुणनखंड है?
(A) x² + y² + 2xy
(B) x² + y² – xy
(C) xy²
(D) 3xy
18. (x + 3)³ के प्रसार में x का गुणांक है:
(A) 1
(B) 9
(C) 18
(D) 27
19. यदि x/y + y/x =-1 (x, y ≠ 0) है, तो x³ – y³ का मान है:
(A) 1
(B) -1
(C) 0
(D)1/2
21. यदि है, a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ बराबर है:
(A) 0
(B) abc
(C) 3abc
(D) 2abc
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
(i) असत्य, क्योंकि चर का घातांक एक पूर्ण संख्या नहीं है।
प्रश्नावली 2.2
1. निम्नलिखित में से कौन से व्यंजक बहुपद हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
2. क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
(i) एक द्विपद के अधिकतम दो पद हो सकते हैं
(ii) प्रत्येक बहुपद एक द्विपद है।
(iii) एक द्विपद की घात 5 हो सकती है।
(iv) एक बहुपद का शून्यक सदैव 0 होता है।
(v) एक बहुपद के एक से अधिक शून्यक नहीं हो सकते हैं।
(vi) घात 5 वाले दो बहुपदों के योग की घात सदैव 5 होती है।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 :
(i) जांच कीजिए कि p(x), g(x) का एक गुणज है या नहीं, जहां
p(x) = x³ – x + 1 और g(x) = 2 – 3x है।
(ii) जांच कीजिए कि g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं, जहां
p(x) = 8x³ – 6x³ -4x + 3 और g(x) = x/3 – 1/4 है।
प्रदर्शन प्रश्न 2 : a का मान ज्ञात कीजिए, यदि x – a बहुपद x³ – ax² + 2x + a – 1का एक गुणनखंड है।
हल : मान लीजिए कि p(x) = x³ – ax² + 2x + a – 1
क्योंकि x – a, p(x) का एक गुणनखंड है, इसलिए p(a) = 0 है।
अर्थात, a³ – a(a)² + 2a = a – 1 = 0
या a³ – a³ + 2a + a – 1 = 0
या 3a = 1
अतः a = 1/3
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : (i) घनों का वास्तविक रूप से परिकलन किए बिना 48³ – 30³ – 18³ का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) घनों को ज्ञात किए बिना (x -y³) + (y – z)³ + (z – x)³ के गुणनखंडन कीजिए।
हल : हम जानते हैं कि x³ + y³ + z³ – 3xy = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx) है।
इसलिए, यदि x + y + z = 0 हो, तो x³ + y³ + z³ – 3xy = 0 अर्थात् x³ + y³ + z³ – 3xy
(i) हमें 48³ – 30³ – 18³ = 48³ + (–30)³ + (–18)³ का मान ज्ञात करना है।
यहां, 48 + (–30) + (–18) = 0
अतः, 48³ + (–30)³ + (–18)³ = 3 × 48 × (–30) × (–18) = 77,760
(ii) यहां, (x – y) + (y – z) + (z – x) = 0 है।
अतः, (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 3(x – y) (y – z) (z – x).
प्रश्नावली 2.3
1. निम्नलिखित बहुपदों को एक पद वाले, दो पद वाले, इत्यादि बहुपदों में वर्गीकृत कीजिए:
(i) x² + x + 1
(ii) y³ – 5y
(iii) xy + yz + zx
(iv) x² – 2xy + y² + 1
2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक की घात निर्धारित कीजिए:
(i) 2x – 1
(ii) –10
(iii) x³ – 9x + 3x⁵
(iv) y³ (1 – y⁴)
(i) बहुपद की घात
(ii) x³ का गुणांक
(iii) x⁶ का गुणांक
(iv) अचर पद
4. निम्नलिखित में से प्रत्येक में का गुणांक लिखिए:
(i) π/6x + x² – 1
(ii) 3x – 5
(iii) (x –1) (3x –4)
(iv) (2x –5) (2x² – 3x + 1)
5. निम्नलिखित को एक अचर, रैखिक, द्विघात और त्रिघात बहुपदों के रूप में वर्गीकृत कीजिए:
(i) 2 – x² + x³
(ii) 3x³
(iii) 5t – √7
(iv) 4 – 5y²
(v) 3
(vi) 2 + x
(vii) y³ – y
(viii) 1 + x + x²
(ix) t²
(x) √2x – 1
6. एक ऐसे बहुपद का उदाहरण दीजिए, जो:
(i) घात 1 का एक एकपदी है।
(ii) घात 20 का एक द्विपद है।
(iii) घात 2 का एक त्रिपद है।
7. बहुपद 3x³ – 4x² + 7x – 5 के मान ज्ञात कीजिए, जब x = 3 हो तथा x = –3 हो।
8. यदि p(x) = x² – 4x + 3 है, तो p(2) – p(–1) + p (1/2) का मान निकालिए।
9. निम्नलिखित बहुपदों के लिए, p(0), p(1) और p(–2) ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = 10x – 4x² – 3
(ii) p(y) = (y + 2) (y – 2)
10. जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य:
(i) –3 बहुपद x – 3 का एक शून्यक है।
(iii) -4/5 बहुपद 4 –5y का एक शून्यक है।
(iv) 0 और 2 बहुपद t² – 2t के शून्यक हैं।
(v) –3 बहुपद y² + y – 6 का एक शून्यक है।
11. निम्नलिखित में से प्रत्येक में, बहुपद क्र शून्यक ज्ञात कीजिए:
(i) p(x) = x – 4
(ii) g(x) = 3 – 6x
(iii) q(x) = 2x –7
(iv) h(y) = 2y
12. बहुपद p(x) = (x – 2)² – (x + 2)² के शून्यक ज्ञात कीजिए।
13. वास्तविक विभाजन द्वारा भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए जब पहले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग दिया जाता है: x⁴ + 1; x –1
14. शेषफल प्रमेय से शेषफल ज्ञात कीजिए, जब p(x) को g(x) से भाग दिया जाता है, जहां
(i) p(x) = x³ – 2x² – 4x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x³ – 3x² + 4x + 50, g(x) = x – 3
(iii) p(x) = 4x³ – 12x² + 14x – 3, g(x) = 2x – 1
(iv) p(x) = x³ – 6x² + 2x – 4, g(x) = 1 – 3/2 x
15. जांच कीजिए कि p(x), g(x) का एक गुणज है या नहीं:
(i) p(x) = x³ – 5x² + 4x – 3, g(x) = x – 2
(ii) p(x) = 2x³ – 11x² – 4x + 5, g(x) = 2x + 1
16. दर्शाइए कि:
(i) x + 3 बहुपद 69 + 11x – x² + x³ का एक गुणनखंड है।
(ii) 2x – 3 बहुपद x + 2x³ – 9x² + 12 का एक गुणनखंड है।
17. निर्धारित कीजिए कि निम्नलिखित में से किस बहुपद का x – 2 एक गुणनखंड है:
(i) 3x² + 6x – 24
(ii) 4x² + x – 2
18. दर्शाइए कि p – 1 बहुपद p¹⁰ – 1का एक गुणनखंड है और साथ ही p¹¹ – 1 का भी एक गुणनखंड है।
19. m के किस मान के लिए, x³ – 2mx² + 16 द्विपद x + 2 से विभाज्य है?
20. यदि x + 2a बहुपद x⁵ – 4a²x³ + 2x + 2a + 3 का एक गुणनखंड है, तो a ज्ञात कीजिए।
21. m का मान ज्ञात कीजिए ताकि 2x – 1 बहुपद 8x⁴ + 4x³ – 16x² + 10x + m का एक गुणनखंड हो।
22. यदि x + 1 बहुपद ax³ + x² – 2x + 4a – 9 का एक गुणनखंड है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
23. गुणनखंड कीजिए:
(i) x² + 9x + 18
(ii) 6x² + 7x – 3
(iii) 2x² – 7x – 15
(iv) 84 – 2r – 2r²
24. गुणनखंड कीजिए:
(i) 2x³ – 3x² – 17x + 30
(ii) x³ – 6x² + 11x – 6
(iii) x³ + x² – 4x – 4
(iv) 3x³ – x² – 3x + 1
25. उपयुक्त सर्वसमिका का उपयोग करते हुए निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) 103³
(ii) 101 × 102
(iii) 999²
26. निम्नलिखित के गुणनखंड कीजिए:
(i) 4x² + 20x + 25
(ii) 9y² – 66yz + 121z²
27. निम्नलिखित के गुणनखंड कीजिए:
(i)9x² – 12x + 3
(ii) 9x² – 12x + 4
28. निम्नलिखित का प्रसार लिखिए:
(i) (4a – b + 2c)²
(ii) (3a – 5b – c)²
(iii) (– x + 2y – 3z)²
29. निम्नलिखित के गुणनखंड कीजिए:
(i) 9x² + 4y² + 16z² + 12xy – 16yz – 24xz
(ii) 25x² + 16y² + 4z² – 40xy + 16yz – 20xz
(iii) 16x² + 4y² + 9z² – 16xy – 12yz + 24 xz
30. यदि a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 26 है, तो a² + b² + c² का मान ज्ञात कीजिए।
31. निम्नलिखित का प्रसार कीजिए:
32. निम्नलिखित के गुणनखंड कीजिए:
33. निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
34. गुणनखंड कीजिए:
(i) 1 + 64x³
(ii) a³ – 2√2 b³
35. निम्नलिखित गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(2x – y + 3z) (4x² + y² + 9z² + 2xy + 3yz – 6xz)
36. गुणनखंड कीजिए:
(i) a³ – 8b³ – 64c³ – 24abc
(ii) 2√2 a³ + 8b³ – 27c³ + 18√2 abc.
37. घनों का वास्तविक रूप से परिकलन किए बिना निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
38. घनों को ज्ञात किए बिना गुणनखंड कीजिए:
(x – 2y)³ + (2y – 3z)³ + (3z – x)³
39. निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) x³ + y³ – 12xy + 64, tc x + y = – 4 है।
(ii) x³ – 8y³ – 36xy – 216, tc x = 2y + 6 है।
40. उस आयत की लंबाई और चैड़ाई के लिए संभव व्यंजक दीजिए जिसका क्षेत्रफल 4a² + 4a –3 है।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि x + y = 12 और xy = 27 हो, तो x³ + y³ का मान ज्ञात कीजिए।हल :
x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y² )
= (x + y) [(x + y)² – 3xy]
= 12 [12² – 3 × 27]
= 12 × 63 = 756
वैकल्पिक हल :
x³ + y³ = (x + y) 3 – 3xy (x + y)
= 12³ – 3 × 27 × 12
= 12 [12² – 3 × 27]
= 12 × 63 = 756
प्रश्नावली 2.4
1. यदि बहुपदों az³ + 4z² + 3z – 4 और z³ – 4z + a को z – 3 से भाग देने पर, प्रत्येक दशा में समान शेषफल प्राप्त होता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
2. बहुपद p(x) = x⁴ – 2x³ + 3x²– ax + 3a – 7 को x + 1 से भाग देने पर शेषफल 19 प्राप्त होता है। a का मान ज्ञात कीजिए। उस स्थिति में भी शेषफल ज्ञात कीजिए जब इस बहुपद को x + 2 से भाग दिया जाता है।
3. यदि x – 2 और x – 1/2 दोनों ही px² + 5x + r के गुणनखंड हैं, तो दर्शाइए कि p = r है।
4. बिना वास्तविक विभाजन के सिद्ध कीजिए कि x² – 3x + 2 से 2x⁴ – 5x³ + 2x² – x + 2 विभाज्य है। [संकेत : x² – 3x + 2 के गुणनखंड कीजिए]
5. (2x – 5y)³ – (2x + 5y)³ को सरल कीजिए।
6. x² + 4y² + z² + 2xy + xz – 2yz को (– z + x – 2y) से गुणा कीजिए।
7. यदि a, b और ब में से प्रत्येक शून्येतर है तथा a + b + c = 0 है, तो सिद्ध कीजिए कि
8. यदि a + b + c = 5 और ab + bc + ca = 10 है, तो सिद्ध कीजिए कि
a³ + b³ + c 3 –3abc = – 25 है।
9. सिद्ध कीजिए कि (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³ = 3(a + b ) (b + c) (c + a) है।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद
यूनिट 2 बहुपद के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 2.1
1. (C)
2. (B)
3. (A)
4. (D)
5. (B)
6. (A)
7. (D)
8. (C)
9. (B)
10. (B)
11. (D)
12. (C)
13. (B)
14. (D)
15. (D)
16. (B)
17. (D)
18. (D)
19. (C)
20. (C)
21. (C)
प्रश्नावली 2.2
1. बहुपद : (i), (ii), (iv), (vii)
क्योंकि, सरल करने के बाद इनमें से प्रत्येक में चर का घातांक एक पूर्ण संख्या है।
2. (i) असत्य, क्योंकि एक द्विपद में ठीक दो पद होते हैं।
(ii) असत्य, x³ + x + 1 एक बहुपद है, द्विपद नहीं।
(iii) सत्य, क्योंकि द्विपद एक बहुपद है जिसकी घात एक पूर्ण संख्या ≥ 1 होती है। अतः, घात
5 भी हो सकती है।
(iv) असत्य, क्योंकि एक बहुपद का शून्य कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।
(v) असत्य, क्योंकि एक बहुपद के कितने भी शून्य हो सकते हैं। यह बहुपद की घात पर निर्भर
करता है।
(vi) असत्य, x⁵ + 1 और – x⁵ + 2x + 3 घात 5 के दो बहुपद हैं, परंतु इनके योग की
घात 1 है।
प्रश्नावली 2.3
1. (i) एक चर (ii) एक चर
(iii) तीन चर (iv) दो चर
2. (i) 1 (ii) 0 (iii) 5 (iv) 7
3. (i) 6 (ii) 1/5 (iii) -1 (iv) 1/5
4. (i) 1 (ii) 0 (iii) 3 (iv) -16
5. अचर बहुपद : (v)
रैखिक बहुपद : (iii), (vi), (x)
द्विघात बहुपद: (iv), (viii), (ix)
त्रिघात बहुपद : (i), (ii), (vii)
6. (i) 10x (ii) x²⁰ + 1 (iii) 2x 2 – x – 1
7. 61, –143
8. -31/4
9. (i) –3, 3, – 39 (ii) – 4, –3, 0
10. (i) असत्य (ii) सत्य (iii) असत्य (iv) सत्य (v) सत्य
11. (i) 4 (ii) 1/2 (iii) 7/2 (iv) 0
12. 0
13. x³ + x² + x + 1, 2
14. (i) 0 (ii) 62 (iii) 3/2 (iv) -136/7
15. (i) नहीं (ii) नहीं
17. (i)
19. 1
20. 3/2
21. -2
22. 2
23. (i) (x + 6) (x + 3)
(ii) (3x –1) (2x + 3)
(iii) (x – 5) (2x + 3)
(iv) 2(7 + r) (6 – r)
24. (i) (x – 2) (x + 3) (2x – 5)
(ii) (x – 1) (x – 2) (x – 3)
(iii) (x + 1) (x – 2) (x + 2)
(iv) (x – 1) (x + 1) (3x – 1)
25. (i) 1092727
(ii) 10302
(iii) 998001
26. (i) (2x + 5)²
(ii) (3y – 11z)²
27. (i) 3(x – 1) (3x – 1)
(ii) (3x – 2) (3x – 2)
28. (i) 16a² + b² + 4c² – 8ab – 4bc + 16ac
(ii) 9 a² + 25b² +c² – 30ab +10bc – 6ac
(iii) x² + 4y² + 9z² – 4xy – 12yz + 6xz
29. (i) (3x + 2y – 4z) (3x + 2y – 4z)
(ii) (–5x + 4y + 2z) (–5x + 4y + 2z)
(iii) (4x – 2y + 3z) (4x – 2y + 3z)
30. 29
31. (i) 27a³ – 54a²b + 36ab² – 8b³
32. (i) (1– 4a) (1 – 4a) (1 – 4a)
33.
34. (i) (1+ 4x) (1– 4x + 16x²)
(ii) (a – √2 b) (a² + √2 ab +2b²)
35. 8x³– y³ + 27z³ + 18xyz
36. (i) (a –2b – 4c) (a²+4b²+16c² + 2ab – 8bc + 4ac)
(ii) (√2a + 2b – 3c) (2a² + 4b² + 9c² – 2√2ab + 6bc + 3√2ac)
37.
38. 3(x – 2y) (2y –3z) (3z – x)
39. (i) 0 (ii) 0
40. एक संभावित उत्तर है :
लंबाई = 2a – 1, चैड़ाई = 2a + 3
प्रश्नावली 2.4
1. -1
2. a = 5; 62
5. –120x²y – 250y³
6. x³– 8y³– z³– 6xyz
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – बहुपद की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
