गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांख्यिकी और प्रायिकता यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां सांख्यिकी और प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 14 – सांख्यिकी और प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 14 – सांख्यिकी और प्रायिकता
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांख्यिकी और प्रायिकता
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 14 – सांख्यिकी और प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
सांख्यिकी
‘सांख्यिकी’ का अर्थ, प्राथमिक और गौण आंकड़े, यथाप्राप्त/अवर्गीकृत आंकड़े। आंकड़ों का परिसर (परास), वर्गीकृत आंकड़े – वर्ग अंतराल, वर्ग चिन्ह, आंकड़ों का प्रस्तुतीकरण – बारंबारता बंटन सारणी, विच्छिंद (असतत) बारंबारता बंटन तथा सतत बारंबारता बंटन।
- आंकड़ों का आलेखीय निरूपण
(i) दंड आलेख
(ii) एक समान चौड़ाई तथा असमान चौड़ाई वाले आयतचित्र
(iii) बारंबारता बहुभुज - केंद्रीय प्रवृति के मापक
(a) माध्य
(i) यथाप्राप्त आंकड़ों का माध्य
(b) माध्यक
माध्यक आंकड़ों का वह मान है जो आंकड़ों को दो बराबर भागों में बांटता है, जब कि आंकड़ों को आरोही (या अवरोही) क्रम में व्यवस्थित कर लिया गया है।
माध्यक का परिकलन
जब आंकड़ों को आरोही (या अवरोही) क्रम में व्यवस्थित कर लिया गया है, तो इन आंकड़ों का माध्यक निम्नलिखित प्रकार से परिकलित किया जाता है:
(c) बहुलक
वह प्रेक्षण जो अधिकतम बार आता है, अर्थात् अधिकतम बारंबारता वाला प्रेक्षण बहुलक कहलाता है। अवर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक प्रेक्षित/देख कर ही निर्धरित किया जा सकता है। प्रायिकता
- यादृच्छिक (या यादृच्छ) प्रयोग या केवल एक प्रयोग
- एक प्रयोग के परिणाम
- एक प्रयोग के अभिप्रयोग का अर्थ
- एक घटना E की प्रायोगिक (आनुभविक) प्रायिकता जिसे P(E) से व्यक्त करते हैं, निम्नलिखित से दी जाती हैः
- घटना E की प्रायिकता 0 से 1 तक कोई भी संख्या हो सकती है। विशेष स्थितियों में यह 0 या 1 भी हो सकती है।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : गणित के एक टेस्ट में 17 विद्यार्थियों द्वारा (100 में से) प्राप्त किए गए अंक नीचे दिए गए हैंः
91, 82, 100, 100, 96, 65, 82, 76, 79, 90, 46, 64, 72, 68, 66, 48, 49 इन आंकड़ों का परिसर हैः
(A) 46 (B) 54 (C) 90 (D) 100
हल : उत्तर (B)
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : वर्ग 130-150 का वर्ग चिन्ह है:
(A) 130 (B) 135 (C) 140 (D) 145
हल : उत्तर (C)
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : एक पासे को 1000 बार फेंका गया और परिणाम निम्नलिखित प्रकार से रिकार्ड किए गएः
यदि पासे को एक बार और फेंका जाए तो इसकी प्रायिकता कि यह 5 दर्शाएगाः
(A) 9/50 (B) 3/20 (C) 4/25 (D) 7/25
हल : उत्तर (B)
प्रश्नावली 14.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. वर्ग 90-120 का वर्ग चिन्ह है:
(A) 90 (B) 105 (C) 115 (D) 120
2. 25, 18, 20, 22, 16, 6, 17, 15, 12, 30, 32, 10, 19, 8, 11, 20 आंकड़ों का परिसर हैः
(A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 26
3. एक बारंबारता बंटन में, एक वर्ग का मध्य-बिंदु 10 है तथा उसकी चौड़ाई 6 है। इस वर्ग की निम्न सीमा हैः
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 12
4. किसी बारंबारता बंटन में पांच सतत वर्गों में से प्रत्येक की चौड़ाई 5 है तथा सबसे छोटे वर्ग की निम्न सीमा 10 है। सबसे बड़े वर्ग की उपरि सीमा हैः
(A) 15 (B) 25 (C) 35 (D) 40
5. मान लीजिए कि एक सतत बारंबारता बंटन में एक वर्ग का मध्य-बिंदु m है और उपरि वर्ग सीमा l है। इस वर्ग की निम्न वर्ग सीमा हैः
(A) 2m + l (B) 2m – l (C) m – l (D) m – 2l
6. एक बारंबारता बंटन के वर्ग चिन्ह 15, 20, 25, … हैं। वर्ग चिन्ह 20 के संगत वर्ग हैंः
(A) 12.5 – 17.5 (B) 17.5 – 22.5 (C) 18.5 – 21.5 (D) 19.5 – 20.5
7. वर्ग अंतराल 10-20, 20-30, में संख्या 20 निम्नलिखित में सम्मिलित है:
(A) 10-20
(B) 20-30
(C) दोनों अंतरालों में
(D) इनमें से किसी में भी नहीं
8. निम्नलिखित आंकड़ों के लिए, एक अंतराल 250-270 (270 सम्मिलित नहीं) लेते हुए बराबर मापों के वर्ग अंतरालों वाली एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है:
268, 220, 368, 258, 242, 310, 272, 342, 310, 290, 300, 320, 319, 304, 402, 318, 406, 292, 354, 278, 210, 240, 330, 316, 406, 215, 258, 236.
वर्ग अंतराल 310-330 की बारंबारता है :
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
9. निम्नलिखित आंकड़ों के लिए एक वर्ग 63-72 (72 सम्मिलित है) लेते हुए बराबर मापों के वर्ग वाली एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी की रचना की जाती है:
30, 32, 45, 54, 74, 78, 108, 112, 66, 76, 88, 40, 14, 20, 15, 35, 44, 66, 75, 84, 95, 96, 102, 110, 88, 74, 112, 14, 34, 44.
इस बंटन में वर्गों की संख्या होगी:
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
10. बारंबारता बंटन
का एक आयतचित्र खींचने के लिए, वर्ग 25 – 45 की समायोजित बारंबारता है:
(A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 2
11. पांच संख्याओं का माध्य 30 है। यदि इनमें से एक संख्या को हटा दिया जाए, तो उनका माध्य 28 हो जाता है। हटाई गई संख्या है
(A) 28 (B) 30 (C) 35 (D) 38
12. यदि x, x + 3, x + 5, x + 7 प्रेक्षणों और x + 10 का माध्य 9 है, तो अंतिम तीन प्रेक्षणों का माध्य है
(A) –1
(B) 0
(C) 1
(D) n – 1
14. यदि आंकड़ों के प्रत्येक प्रेक्षण में 5 की वृद्धि की जाती है तो उनका माध्य
(A) वही रहता है (B) प्रारंभिक माध्य का पांच गुना हो जाता है
(C) 5 कम हो जाता है (D) 5 बढ़ जाता है
18. 100 प्रेक्षणों का माध्य 50 है। यदि इनमें से एक प्रेक्षण 50 को 150 से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो परिणामी माध्य हो जाएगा :
(A) 50.5 (B) 51 (C) 51.5 (D) 52
19. 50 संख्याएं दी हुई हैं। इनमें से प्रत्येक संख्या को 53 में से घटाया जाता है तथा इस प्रकार प्राप्त संख्याओं का माध्य –3.5 ज्ञात किया जाता है। दी हुई संख्याओं का माध्य है:
(A) 46.5 (B) 49.5 (C) 53.5 (D) 56.5
20. 25 प्रेक्षणों का माध्य 36 है। इन प्रेक्षणों में से यदि प्रथम 13 प्रेक्षणों का माध्य 32 है तथा अंतिम 13 का माध्य 40 है तो 13वां प्रेक्षण है :
(A) 23 (B) 36 (C) 38 (D) 40
21. 78, 56, 22, 34, 45, 54, 39, 68, 54, 84 आंकड़ों का माध्यक है
(A) 45 (B) 49.5 (C) 54 (D) 56
22. एक सतत बारंबारता बंटन का बारंबारता बहुभुज खींचने के लिए, हम उन बिंदुओं को आलेखित करते हैं जिनकी कोटियां क्रमशः वर्गों की बारंबारताएं होती हैं तथा भुज क्रमशः होते हैं
(A) वर्गों की उपरि सीमाएं (B) वर्गों की निम्न सीमाएं
(C) वर्गों के वर्ग चिन्ह (D) पिछले वर्गों की उपरि सीमाएं
23. 4, 4, 5, 7, 6, 7, 7, 12, 3 संख्याओं का माध्यक है:
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
24. 115, 14, 19, 20, 14, 15, 16, 14, 15, 18, 14, 19, 15, 17, 15 आंकड़ों का बहुलक है:
(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17
25. 642 व्यक्तियों पर किए गए एक प्रतिदर्श अध्ययन में यह पाया गया कि 514 व्यक्तियों के पास हाई स्कूल सर्टिफिकेट हैं। यदि इनमें एक व्यक्ति को यादृच्छिक रूप से चुना जाए तो इसकी प्रायिकता कि उस व्यक्ति के पास हाई स्कूल सर्टिफिकेट हैः
(A) 0.5 (B) 0.6 (C) 0.7 (D) 0.8
26. 19.36 महीने की आयु वाले 364 बच्चों पर किए गए एक सर्वे में यह पाया गया कि 91 बच्चे आलू के चिप्स खाना पसंद करते हैं। इनमें से एक बच्चा यदि यादृच्छिक (यदृच्छ) रूप से चुना जाता है तो इसकी प्रायिकता कि वह बच्चा आलू के चिप्स पसंद नहीं करेगा, है:
(A) 0.25 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.80
27. किसी कक्षा के विद्यार्थियों की एक मेडिकल परीक्षा में निम्नलिखित रक्त समूह रिकार्ड किए गएः
इस कक्षा में से एक विद्यार्थी यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस विद्यार्थी का रक्त समूह B होने की प्रायिकता हैः
(A) 1/4 (B) 13/40 (C) 3/10 (D) 1/8
28. दो सिक्कों को 1000 बार उछाला जाता है और इनके परिणाम निम्नलिखित प्रकार से रिकार्ड किए जाते हैंः
इस सूचना के आधर पर, अधिकतम एक चित की प्रायिकता है:
(A) 1/5 (B) 1/4 (C) 4/5 (D) 3/4
29. एक संग्रह में से 80 बल्ब यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं और उनके जीवन कालों (घंटों में) को निम्नलिखित बारंबारता सारणी के रूप में रिकार्ड किया गया :
इस संग्रह में से एक बल्ब यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बल्ब का जीवन काल 1150 घंटा होने की प्रायिकता है:
(A) 1/80 (B) 7/16 (C) 0 (D) 1
30. उपरोक्त प्रश्न 29 को देखिए। इस संग्रह में से एक बल्ब यादृच्छय रूप से चुने जाने पर, इसका जीवन काल 900 घंटे से कम होने की प्रायिकता है
(A) 11/40 (B) 5/16 (C) 7/16 (D) 9/16
(C) तर्वफ के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : आंकड़ों 2, 8, 6, 5, 4, 5, 6, 3, 6, 4, 9, 1, 5, 6, 5 का माध्य 5 दिया गया है। इस सूचना के आधर पर क्या यह कहना सही है कि 10, 12, 10, 2, 18, 8, 12, 6, 12, 10, 8, 10, 12, 16, 4 आंकड़ों का माध्य 10 है? कारण दीजिए।
हल : यह सही है। क्योंकि दूसरे आंकड़ों में प्रत्येक प्रेक्षण पहले आंकड़ों के प्रत्येक प्रेक्षण को 2 से गुणा करके प्राप्त किया गया है, इसलिए माध्य पहले आंकड़ों के माध्य का दुगुना होगा।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक आयतचित्र में आयतों के क्षेत्रफल बारंबारताओं के समानुपाती हैं। क्या आप कह सकते हैं कि आयतों की लंबाइयां भी बारंबारताओं के समानुपाती हैं?
हल : नहीं। यह तभी सत्य होगा, जब सभी वर्गमाप बराबर हों।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : आंकड़ों 2, 3, 9, 16, 9, 3, 9 पर विचार कीजिए। क्योंकि सबसे बड़ा मान 16 है, तो क्या यह कहना सही है कि आंकड़ों का बहुलक 16 है? कारण दीजिए।
हल : इन आंकड़ों का बहुलक 16 नहीं है। दिए हुए आंकड़ों का बहुलक अधिकतम बारंबारता वाला प्रेक्षण होता है न कि अधिकतम मान वाला प्रेक्षण।
प्रश्नावली 14.2
1. बारंबारता सारणी
को आलेखीय रूप से नीचे दर्शाए अनुसार निरूपित किया गया है:
क्या आप सोचते हैं कि यह निरूपण सही है? क्यों?
2. विद्यार्थियों को दिए गए गणित के एक निदानात्मक टेस्ट में (100 में से) उनके द्वारा प्राप्त किए गए अंक निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किए गए:
46, 52, 48, 11, 41, 62, 54, 53, 96, 40, 98, 44
उपरोक्त आंकड़ों के लिए कौन-सा ‘औसत’ एक अच्छा प्रतिनिधित्व करेगा और क्यों?
3. एक बच्चा कहता है कि 3, 14, 18, 20, 5 का माध्यक 18 है। यह बच्चा माध्यक ज्ञात करने के बारे में क्या नहीं जानता है?
4. फुटबाल के एक खिलाड़ी द्वारा 10 मैचों में किए गए गोलों की संख्या निम्नलिखित हैः
1, 3, 2, 5, 8, 6, 1, 4, 7, 9
क्योंकि मैचों की संख्या 10 (एक सम संख्या) है, इसलिए
5. क्या यह कहना सही है कि आयतचित्र में प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संगत वर्ग अंतराल की माप के समानुपाती होता है? यदि नहीं, तो कथन को सही रूप में लिखिए।
6. एक सतत बंटन के वर्ग चिन्ह निम्नलिखित हैं:
1.04, 1.14, 1.24, 1.34, 1.44, 1.54 और 1.64
क्या यह कहना सही है कि अंतिम अंतराल 1.55 – 1.73 होगा? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
7. 30 बच्चों से पूछा गया कि उन्होंने पिछले सप्ताह कितने घंटे टी.वी. के प्रोग्राम देखे। इसके परिणाम निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किए गए:
क्या हम कह सकते हैं कि उस सप्ताह में 10 या उससे अधिक घंटों तक टी वी देखने वाले बच्चों की संख्या 22 है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
8. क्या किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता एक ऋणात्मक संख्या हो सकती है? यदि नहीं, तो क्यों?
9. क्या किसी घटना की प्रायोगिक प्रायिकता 1 से अधिक हो सकती है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
10. जैसे-जैसे एक सिक्के के उछालों की संख्या बढ़ती जाती है, चितों की संख्या और पटों की संख्या का अनुपात 1/2 हो जाता है। क्या यह सही है? यदि नहीं, तो इसे सही रूप में लिखिए।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : कक्षा IX की 30 लड़कियों की लंबाई (cm में) नीचे दी गई हैंः
140, 140, 160, 139, 153, 153, 146, 150, 148, 150, 152, 146, 154, 150, 160, 148, 150, 148, 140, 148, 153, 138, 152, 150, 148, 138, 152, 140, 146, 148.
इन आंकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए।
हल : 30 लड़कियों की लंबाइयों का बारंबारता बंटन
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : निम्नलिखित आंकडे़ आरोही क्रम में व्यवस्थित है :
26, 29, 42, 53, x, x + 2, 70, 75, 82, 93
यदि इनका माध्यक 65 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल : प्रेक्षणों की संख्या (n) = 10 है जो एक सम संख्या है।
प्रदर्शित प्रश्न 3 : यहां एक जन्म-मृत्यु दर सारणी का एक अंश दिया गया हैः
(i) इस सूचना के आधर पर, 60 वर्ष की आयु के व्यक्ति की एक वर्ष के अंदर मृत्यु हो जाने की प्रायिकता क्या है?
(ii) इसकी प्रायिकता क्या है कि 61 वर्ष की आयु वाला व्यक्ति 4 वर्ष तक जीवित रहेगा?
हल : (i) हम देखते हैं कि 60 वर्ष की आयु वाले कुल 16090 व्यक्तियों में से (16090 – 11490), अर्थात् 4600 व्यक्ति 61वें वर्ष के होने से पहले ही मर जाते हैं।
अतः, P(60 वर्ष की आयु के व्यक्ति की एक वर्ष के अंदर मृत्यु ) = 4600/16090 = 460/1609
(ii) 61 वर्ष की आयु वाले व्यक्तियों की संख्या = 11490
इनमें से 4 वर्ष तक जीवित बचने वाले व्यक्तियों की संख्या = 2320
अतः, P(61 वर्ष की आयु का व्यक्ति 4 वर्ष तक जीवित बचेगा) = 2320/11490 = 232/1149
प्रश्नावली 14.3
1. 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह निम्नलिखित रूप में रिकार्ड किए गए :
A, B, O, A, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, AB, B, A, AB, B, A, A, O, A, AB, B, A, O, B, A, B, A
इन आंकड़ों के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी तैयार कीजिए।
2. π का मान 35 दशमलव स्थानों तक नीचे दिया गया है:
3.1415926535897932 3846264338327950288
दशमलव बिंदु के बाद आने वाले 0 से 9 अंकों तक की एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
3. गणित के एक टेस्ट में, 33 विद्यार्थियों द्वारा (100 में से) प्राप्त किए गए अंक निम्नलिखित हैंः
69, 48, 84, 58, 48, 73, 83, 48, 66, 58, 84, 66, 64, 71, 64, 66, 69, 66, 83, 66, 69, 71, 81, 71, 73, 69, 66, 66, 64, 58, 64, 69, 69
इन आंकड़ों को एक बारंबारता बंटन द्वारा निरूपित कीजिए।
4. निम्नलिखित आंकड़ों से एक सतत बारंबारता बंटन तैयार कीजिए रू
वर्ग अंतरालों के माप भी ज्ञात कीजिए।
5. दिए हुए बारंबारता बंटन को एक सतत वर्गीकृत बंटन में बदलिए:
किन अंतरालों में 153.5 और 157.5 सम्मिलित किए जाएंगे?
6. किसी महीने में एक परिवार द्वारा विभिन्न मदों पर किए गए व्यय निम्नलिखित हैं:
उपरोक्त को निरूपित करने के लिए एक दंड आलेख खींचिए।
7. किसी देश द्वारा शिक्षा पर पांच वर्षों के एक अंतराल (2002-2006) में किए गए व्यय (करोड़ रुपयों में) नीचे दिए गए हैं:
उपरोक्त सूचना को एक दंड आलेख से निरूपित कीजिए।
8. निम्नलिखित सारणी किसी पुस्तक के एक पृष्ठ पर अधिकांशतः प्रयुक्त किए गए a, e, i, o, r, t और u अक्षरों की बारंबारताएं दर्शा रही है :
उपरोक्त सूचना को एक दंड आलेख से निरूपित कीजिए।
9. यदि निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य 20.2 है, तो p का मान ज्ञात कीजिए :
11. एक कक्षा में 50 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 30 लड़कियां हैं। एक टेस्ट में लड़कियों द्वारा (100 में से) प्राप्त किए गए अंकों का माध्य 73 तथा लड़कों का 71 है। संपूर्ण कक्षा के माध्य प्राप्तांक ज्ञात कीजिए।
12. 50 प्रेक्षणों का माध्य 80.4 प्राप्त हुआ। परंतु बाद में यह ज्ञात हुआ कि एक स्थान पर 96 को 69 पढ़ लिया गया है। सही माध्य ज्ञात कीजिए।
13. दस प्रेक्षणों 6, 14, 15, 17, x + 1, 2x – 13, 30, 32, 34 और 43 को आरोही क्रम में लिखा गया है। इन आंकड़ों का माध्यक 24 है। x का मान ज्ञात कीजिए।
14. किसी बास्केट बाॅल टीम द्वारा मैचों की एक शृंखला में निम्नलिखित प्वाइंट अर्जित किए गएः
17, 2, 7, 27, 25, 5, 14, 18, 10, 24, 48, 10, 8, 7, 10, 28
इन आंकड़ों के लिए माध्यक और बहुलक ज्ञात कीजिए।
15. आकृति 14.2 में, एक आयतचित्र दिया है जो किसी फैक्ट्री की श्रमिकों की दैनिक मजदूरी दर्शाता है। इसके लिए एक बारंबारता बंटन सारणी की रचना कीजिए।
16. एक कंपनी ने 4000 परिवारों को यादृच्छिक रूप से चुना तथा उनके आय स्तर और घर में स्थित टी.वी. सेटों की संख्या में संबंध ज्ञात करने हेतु एक सर्वेक्षण किया। इस प्रकार प्राप्त सूचनाओं को निम्नलिखित सारणी के रूप में सूचीबद्ध किया गया है:
निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए –
(i) एक परिवार की आय 10000 रु – 14999 रु होने और घर में ठीक एक टी.वी. सेट होना
(ii) एक परिवार की आय 25000 रु और उससे अधिक होना और घर में दो टी.वी. सेट होना।
(iii) एक परिवार में एक भी टी.वी. सेट नहीं होना।
17. दो पासों को एक साथ 500 बार फेंका जाता है। प्रत्येक बार उनके उफपर आई संख्याओं के योग को ज्ञात करके नीचे दी गई सारणी के अनुसार रिकार्ड किया गया हैः
यदि इन पासों को एक बार पुनः फेंका जाए तो निम्नलिखित योग ज्ञात करने की क्या प्रायकिता है?
(i) 3
(ii) 10 से अधिक
(iii) 5 से कम या उसके बराबर
(iv) 8 और 12 के बीच
18. पैक किए गए प्रत्येक डिब्बे में बल्बों की संख्या 40 है। इनमें से 700 डिब्बों के खराब बल्बों की संख्या ज्ञात करने के लिए जांच की गई तथा इसके परिणाम निम्नलिखित सारणी में दिए गए हैंः
इन डिब्बों में से एक डिब्बा यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस डिब्बे में
(i) कोई बल्ब खराब नहीं होगा?
(ii) खराब बल्बों की संख्या 2 से 6 तक होगी?
(iii) 4 से कम खराब बल्ब होंगे?
19. पिछले 200 कार्य दिवसों में, किसी मशीन द्वारा निर्मित खराब पुर्जों की संख्या निम्नलिखित सारणी में दी गई है:
इसकी प्रायिकता निर्धरित कीजिए कि कल के उत्पादन में
(i) कोई खराब पुर्जा नहीं होगा। (ii) न्यूनतम एक खराब पुर्जा होगा।
(iii) 5 से अधिक खराब पुर्जे नहीं होंगे। (iv) 13 से अधिक खराब पुर्जे होंगे।
20. कुछ समय पहले ही किए गए एक सर्वे मे यह पाया गया कि एक फैक्ट्री के श्रमिकों की आयु का बंटन निम्नलिखित है :
यदि इनमें से एक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुना जाता है तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह व्यक्ति
(i) 40 वर्ष या उससे अधिक आयु का होगा?
(ii) 40 वर्ष से कम आयु का होगा?
(iii) 30 और 39 वर्ष के बीच की आयु का होगा?
(iv) 60 वर्ष से कम आयु का होगा परंतु 39 वर्ष से अधिक होगा?
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: कक्षा VIII के विभिन्न अनुभागों (सेक्शनों) के विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन निम्नलिखित है:
उपरोक्त बंटन के लिए एक आयतचित्र खींचिए।
हल : उपरोक्त बारंबारता बंटन सारणी में वर्ग अंतराल बराबर चौड़ाई के नहीं हैं। अतः हम आयतचित्र में आयतों की लंबाइयों में उपयुक्त संशोधन करेंगे ताकि आयतों के क्षेत्रफल बारंबारताओं के समानुपाती हो जाएं। इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:
अब, हम अंतिम स्तंभ में दी लंबाइयों वाले आयत खींच कर नीचे दर्शाया हुआ आयतचित्र खींचते हैः
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : कक्षा IX के दो अनुभागों के विद्यार्थी, जिनमें से प्रत्येक में 30 विद्यार्थी हैं, एक गणित ओलंपियाड की परीक्षा में बैठते हैं। उनके द्वारा प्राप्त किए गए अंक इस प्रकार हैंः
46 31 74 68 42 54 14 61 83 48 37 26 8 64 57
93 72 53 59 38 16 88 75 56 46 66 45 61 54 27
27 44 63 58 43 81 64 67 36 49 50 76 38 47 55
77 62 53 40 71 60 58 45 42 34 46 40 59 42 29
वर्ग 0.9, 10.19, इत्यादि का प्रयोग करते हुए, उपरोक्त आंकड़ों के लिए एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए तथा फिर उन विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिन्होंने 49 से अधिक अंक प्राप्त किए हैं।
उपरोक्त सारणी से, हम प्राप्त करते हैं कि 49 से अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या (12 + 10 + 6 + 3 + 1) = 32 है।
प्रश्नावली 14.4
1. 60 विद्यार्थियों के गणित में (100 में से) प्राप्त किए गए अंक निम्नलिखित हैं:
16, 13, 5, 80, 86, 7, 51, 48, 24, 56, 70, 19, 61, 17, 16, 36, 34, 42, 34, 35, 72, 55, 75, 31, 52, 28,72, 97, 74, 45, 62, 68, 86, 35, 85, 36, 81, 75, 55, 26, 95, 31, 7, 78, 92, 62, 52, 56, 15, 63,25, 36, 54, 44, 47, 27, 72, 17, 4, 30.
वर्ग 0 – 9 से प्रारंभ करते हुए और प्रत्येक वर्ग की चौड़ाई 10 रखते हुए, एक वर्गीकृत बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।
2. उपरोक्त प्रश्न 1 को देखिए। इसके लिए प्रत्येक वर्ग की चौड़ाई 10 रखते हुए एक वर्गीकृत बारंबारता सारणी इस प्रकार बनाइए कि इसमें एक वर्ग 10 – 20 (20 सम्मिलित नहीं) हो।
3. निम्नलिखित बंटन के लिए एक आयतचित्र खींचिए :
4. निम्नलिखित वर्गीकृत बारंबारता बंटन को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्र खींचिए :
5. किसी पौधे की 62 पत्तियों की लंबाइयां मिलिमीटरों में मापी जाती है तथा इससे प्राप्त आंकड़े नीचे दी सारणी द्वारा निरूपित हैं :
उपरोक्त आंकड़ों को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्र खींचिए।
6. एक कक्षा के 80 विद्यार्थियों द्वारा (100 में से) प्राप्त किए गए अंक निम्नलिखित हैं:
उपरोक्त आंकड़ों को निरूपित करने के लिए एक आयतचित्र खींचिए।
7. निम्नलिखित सारणी एक राजमार्ग पर किसी स्थान से होकर जाने वाली कारों की चालों के बारंबारता बंटन को दर्शाती है :
उपरोक्त आंकड़ों के लिए एक आयतचित्र और एक बारंबारता बहुभुज खींचिए।
8. उपरोक्त प्रश्न 7 को देखिए। इन आंकड़ों को निरूपित करने के लिए बिना आयतचित्र खींचे एक बारंबारता बहुभुज खींचिए।
9. निम्नलिखित सारणी किसी कक्षा के अनुभागों A और B द्वारा प्राप्त किए गए अंकों का बंटन दर्शाती है:
इन दोनों अनुभागों के विद्यार्थियों के प्राप्तांकों को एक ही आलेख कागज पर दो बारंबारता बहुभुजों से निरूपित कीजिए। आप क्या देखते हैं?
10. निम्नलिखित बंटन का माध्य 50 है।
a का मान ज्ञात कीजिए और फिर 30 और 70 की बारंबारता ज्ञात कीजिए।
11. किसी परीक्षा में लड़के और लड़कियों के (100 में से) प्राप्त अंकों के माध्य क्रमशः 70 और 73 हैं। यदि इसी परीक्षा में, सभी विद्यार्थियों के प्राप्तांकों का माध्य 71 है, तो लड़के और लड़कियों की संख्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
12. एक अस्पताल में, ब्लड शुगर के स्तर (mg/dl) की जांच के लिए 25 रोगी भर्ती किए गए तथा प्राप्त परिणाम निम्नलिखित रहे:
87 71 83 67 85
77 69 76 65 85
85 54 70 68 80
73 78 68 85 73
81 78 81 77 75
उपरोक्त आंकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक (mg/dl) ज्ञात कीजिए।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांख्यिकी और प्रायिकता
यूनिट 14 सांख्यिकी और प्रायिकता के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 14.1
1. (B)
2. (D)
3. (B)
4. (C)
5. (B)
6. (B)
7. (B)
8. (C)
9. (B)
10. (D)
11. (D)
12. (C)
13. (B)
14. (D)
15. (B)
16. (B)
17. (C)
18. (B)
19. (D)
20. (B)
21. (C)
22. (C)
23. (C)
24. (B)
25. (D)
26. (C)
27. (C)
28. (C)
29. (C)
30. (D)
प्रश्नावली 14.2
1. सही नहीं है। वर्ग असमान चौड़ाइयों के हैं, एक समान चौड़ाई के नहीं।
2. माध्यक आंकड़ों का एक अच्छा प्रतिनिधि होगा, क्योंकि
(i) प्रत्येक मान केवल एक बार आ रहा है।
(ii) आंकड़े चरम मानों से प्रभावित हो रहे हैं।
3. माध्यक ज्ञात करने से पहले, आंकड़ों को आरोही (या अवरोही) क्रम में व्यवस्थित करना होता है।
4. नहीं, माध्यक ज्ञात करने से पहले आंकड़ों को आरोही (या अवरोही) क्रम में व्यवस्थित करना होता है।
5. यह सही नहीं है। एक आयत चित्र में, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल उसकी बारंबारता के समानुपाती होता है।
6. यह सही नहीं है क्योंकि दो क्रमगत प्राप्तांकों का अंतर वर्ग माप के बराबर होना चाहिए।
7. नहीं, वास्तव में एक सप्ताह में 10 या 10 से अधिक घंटे तक टी वी देखने वालों की संख्या 4 + 2, अर्थात् 6 है।
8. नहीं, क्योंकि उन अभिप्रयोगों की संख्या जिनमें कोई घटना हो सकती है ऋणात्मक नहीं हो सकती तथा अभिप्रयोगों की कुल संख्या सदैव धनात्मक होती है।
9. नहीं, क्योंकि उन अभिप्रयोगों की संख्या जिनमें कोई घटना हो सकती है अभिप्रयोगों की कुल संख्या से अधिक नहीं हो सकती।
10. नहीं, जैसे-जैसे एक सिक्के के उछालों की संख्या बढ़ती जाती है वैसे-वैसे चितों की संख्या और कुल उछालों की संख्या का अनुपात 1/2 के निकटतर होता जाता है, ठीक 1/2 नहीं होता।
प्रश्नावली 14.3
16. (i) 0.06 (ii) 0.19 (iii) 3/400
17. (i) 0.06 (ii) 0.086 (iii) 0.282 (iv) 0.254
18. (i) 4/7 (ii) 59/350 (iii) 669/700
19. (i) 0.25 (ii) 0.75 (iii) 0.73 (iv) 0
20. (i) 0.675 (ii) 0.325 (iii) 0.135 (iv) 0.66
प्रश्नावली 14.4
10. a = 5, 30 की बारंबारता 28 है तथा 70 की 24 है।
11. 2 : 1
12. माध्य = 75.64, माध्यक = 77, बहुलक = 85
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – सांख्यिकी और प्रायिकता की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
