कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।

(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम

• घनाभ जिसकी लंबाई = l, चौड़ाई = bऔर ऊंचाई = h
  (a) घनाभ का आयतन = lbh
  (b) घनाभ का कुल या संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 ( lb + bh + hl )
  (c) घनाभ का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 h (l + b)
  
• घन जिसका किनारा या कोर = a
  (a) घन का आयतन = a³
  (b) घन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²
  (c) घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²
  (d) घन का विकर्ण = a√3
• बेलन जिसकी त्रिज्या = r, ऊंचाई = h
  (a) बेलन का आयतन = πr ²h
  (b) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh
  (c) बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)
• शंकु क्षेत्रापफल जिसकी ऊंचाई = h, त्रिज्या = r और तिर्यक ऊंचाई = l
  (a) शंकु का आयतन = 1/3 πr² h
  (b) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
  (c) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (l + r)
  

• गोला जिसकी त्रिज्या = r
  (a) गोले का आयतन = 4/3 πr³
  (b) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
• अर्धगोला जिसकी त्रिज्या = r
  (a) अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³
  (b) अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
  (c) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि एक बेलन की त्रिज्या आधी कर दी जाए और ऊंचाई दुगुनी कर दी जाए, तो उसका आयतन होगा
(A) वही (B) दुगुना (C) आध (D) चार गुना
हल : उत्तर (C)

प्रश्नावली 13.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर लिखिए –
1. यदि एक गोले की त्रिज्या 2r है, तो उसका आयतन होगा

2. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 cm² है। घन का आयतन हैः
(A) 8 cm³ (B) 512 cm³ (C) 64 cm³ (D) 27 cm³

3. एक शंकु की ऊंचाई 8.4 cm है और उसके आधार की त्रिज्या 2.1 cm है। इसे पिघला कर एक गोले के रूप में ढाला जाता है। गोले की त्रिज्या है
(A) 4.2 cm (B) 2.1 cm (C) 2.4 cm (D) 1.6 cm

4. यदि एक बेलन की त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए और ऊंचाई आधी कर दी जाए, तो इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा
(A) आध (B) दोगुना (C) वही (D) चार गुना

5. एक शंकु जिसकी त्रिज्या r/2 और तिर्यक ऊंचाई 2l है, का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

6. दो बेलनों की त्रिज्याएं 2:3 के अनुपात में हैं तथा उनकी ऊंचाईयों का अनुपात 5:3 है। उनके आयतनों का अनुपात है
(A) 10 : 17 (B) 20 : 27 (C) 17 : 27 (D) 20 : 37

7. एक घन का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 256 m² है। घन का आयतन है
(A) 512 m³ (B) 64 m³ (C) 216 m³ (D) 256 m³

8. 16m लंबे, 12m चौड़े और 4m गहरे एक गड्ढे में रखे जा सकने वाले 4 m × 50 cm × 20cm विमाओं वाले तख्तों की संख्या है
(A) 1900 (B) 1920 (C) 1800 (D) 1840

9. 10 m × 10 m × 5m विमाओं वाले एक कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लंबे डंडे की लंबाई है
(A) 15 m (B) 16 m (C) 10 m (D) 12 m

10. एक अर्धगोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 6 cm से 12 cm हो जाती है। दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है
(A) 1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 2 : 3 (D) 2 : 1

(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
सत्य या असत्य लिखिए और उत्तर का औचित्य दीजिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : एक लंब वृत्तीय बेलन एक गोले के परिगत है, जिसकी त्रिज्या r है, जैसाकि आकृति 13.1 में दर्शाया गया है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है।

हल : सत्य। यहां गोले की त्रिज्या = बेलन की त्रिज्या = r
गोले का व्यास = बेलन की ऊंचाई = 2r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (2r) = 4πr²

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक घन का किनारा r cm है। यदि इस घन में से सबसे बड़ा संभव लंब वृत्तीय शंकु काटा जाता है, तो शंकु का आयतन (cm³ में) 1/6 πr³ है।

प्रश्नावली 13.2
निम्नलिखित में से प्रत्येक में सत्य या असत्य लिखिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिएः
1. एक गोले का आयतन उस बेलन के आयतन का 2/3 होता है जिसकी ऊंचाई और व्यास गोले के व्यास के बराबर है।

2. यदि एक लंब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या आधी कर दी जाए और ऊंचाई दुगुनी कर दी जाए, तो उसके आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

3. एक लंब वृत्तीय शंकु में ऊंचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊंचाई सदैव एक समकोण त्रिभुज की भुजाएं नहीं होते हैं।

4. यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए तथा उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कोई परिवर्तन न किया जाए, तो उसकी ऊंचाई अवश्य ही आधी हो जाएगी।

5. किनारे 2r वाले एक घन में समावेशित किए जा सकने वाले सबसे बड़े लंब वृत्तीय शंकु का आयतन त्रिज्या r वाले अर्ध गोले के आयतन के बराबर होता है।

6. एक बेलन और एक लंब वृत्तीय शंकु के समान आधार और समान ऊंचाई हैं। बेलन का आयतन शंकु के आयतन का तिगुना है।

7. एक शंकु, अर्ध गोला और बेलन समान आधार और समान ऊंचाई के हैं। इनके आयतनों का अनुपात 1 : 2 : 3 है।

8. यदि किसी घन के विकर्ण की लंबाई 6√3 cm है तो उसके किनारे की लंबाई 3 cm है।

9. यदि एक गोला एक घन के अंतर्गत है, तो घन के आयतन का गोले के आयतन से अनुपात 6 : π है।

10. यदि एक बेलन की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए और उसकी ऊंचाई आधी कर दी जाए, तो उसका आयतन दुगुना हो जाएगा।

(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: 5 cm त्रिज्या वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4 cm त्रिज्या वाले एक शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का पांच गुना है। शंकु की ऊंचाई और आयतन ज्ञात कीजिए (π = 22/7 लेते हुए)।

प्रतिदर्श प्रश्न 2 : एक गोले की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है। सिद्ध कीजिए कि इस गोले के आयतन में 33.1% की वृद्धि हो जाएगी।

प्रश्नावली 13.3
1. एक 16 cm × 8 cm × 8 cm आंतरिक विमाओं वाले आयताकार पेटी में, धातु के गोले पैक किए जाते हैं जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 2 cm है। 16 गोले पैक किए (रखे) जाने पर पेटी को एक परिरक्षक द्रव से भर दिया जाता है। इस द्रव का आयतन ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर निकटतम पूर्णांक तक दीजिए। [π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।]

2. पानी को संचरित करने वाली एक टंकी एक घन के आकार की है। इसे पूरा भरने पर, इसमें पानी का आयतन 15.625 m³ है। यदि इस समय टंकी में पानी की गहराई 1.3 m है तो इस टंकी में से पहले से प्रयुक्त किए गए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

3. यदि 4.2 cm व्यास वाली एक गोलाकार गेंद को पूर्णतः पानी में डुबो दिया जाए, तो उसके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

4. उस शंक्वाकार तंबू को बनाने में लगे केनवास की मात्रा ज्ञात कीजिए जिसकी ऊंचाई 3.5 m है तथा आधार की त्रिज्या 12 m है।

5. एक ही धातु के बने दो ठोस गोलों का भार 5920 g और 740 g है। यदि छोटे गोले का व्यास 5 cm है, तो बड़े गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

6. कोई स्कूल अपने विद्यार्थियों को प्रत्येक दिन 7 cm व्यास वाले बेलनाकार गिलासों में दूध देता है। यदि गिलास दूध से 12 cm ऊंचाई तक भरा रहता है, तो ज्ञात कीजिए कि 1600 विद्यार्थियों के लिए प्रतिदिन कितने लीटर दूध की आवश्यकता होगी?

7. 2.5 m लंबे और 1.75 m त्रिज्या वाले एक बेलनाकार रोलर (roller) को जब सड़क पर रोल किया गया तो पाया गया कि उसने 5500 m² के क्षेत्रफल को तय कर लिया है। रोलर ने कितने चक्कर लगा लिए थे?

8. 5000 जनसंख्या वाले एक छोटे गांव में प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 75 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गांव में 40 m × 25 m × 15 m मापन की एक उपरि टंकी है। इस टंकी का पानी कितने दिन तक पर्याप्त रहेगा?

9. एक दुकानदार के पास 5cm त्रिज्या का एक लड्डू है। इतनी ही सामग्री से 2.5 cm त्रिज्या वाले कितने लड्डू बनाए जा सकते हैं?

10. 6 cm, 8 cm और 10 cm वाले एक समकोण त्रिभुज को उसकी 8 cm वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार बनने वाले ठोस का आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: वर्षा के पानी को, जो 6 m लंबाई और 6 m चौड़ाई के एक सपाट आयताकार पृष्ठ पर गिरता है, एक आंतरिक त्रिज्या 20 cm वाले एक बेलनाकार बर्तन में स्थानांतरित कर लिया जाता है। यदि वर्षा 1 cm हुई है, तो बेलनाकार बर्तन में पानी कितनी ऊंचाई तक भर जाएगा? अपना उत्तर निकटतम पूर्णांक तक दीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)

प्रश्नावली 13.4
1. दोनों ओर से खुली एक बेलनाकार ट्यूब एक लोहे की चादर की बनी है जिसकी मोटाई 2 cm है। यदि इसका व्यास 16 cm और लंबाई 100 cm है तो ज्ञात कीजिए कि इस ट्यूब के बनाने में कितने cm³ लोहे का प्रयोग किया गया है।

2. 28 cm व्यास वाली एक अर्धवृत्ताकार धातु की चादर को मोड़कर एक शंकु के आकार का खुला कप बनाया गया है। इस कप की धारिता ज्ञात कीजिए।

3. 165 m³ क्षेत्रफल वाले एक कपड़े को 5 m त्रिज्या वाले एक शंक्वाकार तंबू के रूप में बनाया जाता है।
(i) इस तंबू में कितने विद्यार्थी बैठ सकते हैं, यदि औसतन एक विद्यार्थी भूमि पर 5/7 m² स्थान घेरता है?
(ii) इस शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

4. किसी फैक्ट्री के लिए पानी एक अर्धगोलाकार टंकी में संचरित किया जाता है जिसका आंतरिक व्यास 14 m है। इस टंकी में 50 किलोलीटर पानी है। इस टंकी को पूरा भरने के लिए पानी पंप द्वारा भरा जाता है। टंकी में पंप द्वारा भरे गए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।

5. दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

6. 4 cm भुजा वाले एक घन के अंदर एक गोला है जो उसकी भुजाओं को स्पर्श करता है। इन दोनों के बीच में रिक्त स्थान का आयतन ज्ञात कीजिए।

7. एक ही त्रिज्या वाले एक गोले और एक लंब वृत्तीय बेलन के आयतन बराबर हैं। बेलन का व्यास उसकी ऊंचाई से कितने प्रतिशत अधिक है?

8. 30 वृत्ताकार प्लेटों को जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 14 cm और मोटाई 3 cm है, एक के ऊपर एक रखकर एक बेलनाकार ठोस बनाया जाता है। इस प्रकार बने बेलन का ज्ञात कीजिए :
(i) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल,
(ii) आयतन

कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

यूनिट 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के उत्तर यहां से प्राप्त करें।

प्रश्नावली 13.1
1. (D)
2. (C)
3. (B)
4. (C)
5. (B)
6. (B)
7. (A)
8. (B)
9. (A)
10. (A)

प्रश्नावली 13.2

प्रश्नावली 13.3
1. 488 cm³
2. 7.5 cm³
3. 14.8 cm³
4. 471.42 m²
5. 5 cm
6. 739.2 लीटर
7. 200 चक्कर
8. 40 दिन
9. 8 लड्डू
10. 304 cm³ , 188.5 cm²

प्रश्नावली 13.4
1. 8800 cm³
2. 677.6 cm³
3. 110, 241.7 cm³
4. 668.66 m³
5. 16 : 9
6. 30.48 cm³
7. 50%
8. (i) 9152 cm² (ii) 55440 cm³

इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।

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