गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज यहां प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते है उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहां त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। इस पेज में NCERT Book के यूनिट 7 – त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।
श्रोत: राष्ट्रीय शैक्षिक अनुसन्धान और प्रशिक्षण परिषद्
कक्षा: 9
विषय: गणित
अध्याय: यूनिट 7 – त्रिभुज
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज
कक्षा 9 गणित विषय के यूनिट 7 – त्रिभुज के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर यहां प्राप्त करें।
(A) मुख्य अवधारणाएं और परिणाम
त्रिभुज और उसके भाग, त्रिभुजों की सर्वांगसमता, सर्वांगसमता और शीर्षों की संगतता, त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए कसौटियां (नियम): (i) SAS (ii) ASA (iii) SSS (iv) RHS
ASA कसौटी की एक विशिष्ट स्थिति के रूप में AAS कसौटी।
- एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
- एक त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएं बराबर होती हैं।
- दो दिए हुए बिंदु से समदूरस्थ एक बिंदु उन बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होता है।
- दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ एक बिंदु उन रेखाओं से बने कोणों के समद्विभाजकों पर स्थित होता है।
- किसी त्रिभुज में,
(i) बड़े कोण की सम्मुख भुजा लंबी होती है।
(ii) लंबी भुजा का सम्मुख कोण बड़ा होता है।
(iii) किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।
(B) बहु विकल्पीय प्रश्न
सही उत्तर लिखिए –
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : यदि ∆ ABC ≅ ∆ PQR है तथा ∆ ABC, ∆ RPQ के सर्वांगसम नहीं है, तो निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य नहीं है?
(A) BC = PQ (B) AC = PR (C) QR = BC (D) AB = PQ
हल : उत्तर (A)
प्रश्नावली 7.1
निम्नलिखित में से प्रत्येक में, सही उत्तर लिखिए –
1. निम्नलिखित में से कौन त्रिभुजों की सर्वांगसमता की एक कसौटी नहीं है?
(A) SAS (B) ASA (C) SSA (D) SSS
2. यदि AB = QR, BC = PR और CA = PQ है, तो
(A) ∆ ABC ≅ ∆ PQR
(B) ∆ CBA ≅ ∆ PRQ
(C) ∆ BAC ≅ ∆ RPQ
(D) ∆ PQR ≅ ∆ BCA
3. ∆ ABC में, AB = AC और ∠B = 50° है, तब ∠C बराबर है
(A) 40° (B) 50° (C) 80° (D) 130°
4. ∆ ABC में, BC = AB और ∠B = 80° है, तब ∠A बराबर है
(A) 80° (B) 40° (C) 50° (D) 100°
5. ∆ PQR में, ∠R = ∠P तथा QR = 4 cm और PR = 5 cm है, तब PQ की लम्बाई है
(A) 4 cm (B) 5 cm (C) 2 cm (D) 2.5 cm
6. D एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु इस प्रकार स्थित है कि AD कोण BAC को समद्विभाजित करता है। तब,
(A) BD = CD (B) BA > BD (C) BD > BA (D) CD > CA
7. यह दिया है कि ∆ ABC ≅ ∆ FDE है तथा AB = 5 cm, ∠B = 40° और ∠A = 80° है। तब निम्नलिखित में से कौन सत्य है?
(A) DF = 5 cm, ∠F = 60°
(B) DF = 5 cm, ∠E = 60°
(C) DE = 5 cm, ∠E = 60°
(D) DE = 5 cm, ∠D = 40°
8. एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाइयां 5 cm और 1.5 cm हैं। इस त्रिभुज की तीसरी भुजा की लंबाई निम्नलिखित नहीं हो सकती
(A) 3.6 cm (B) 4.1 cm (C) 3.8 cm (D) 3.4 cm
9. ∆ PQR में, यदि ∠R > ∠Q है, तो
(A) QR > PR (B) PQ > PR (C) PQ < PR (D) QR < PR
10. त्रिभुजों ABC और PQR में, AB = AC, ∠C = ∠P और ∠B = ∠Q है। ये दोनों त्रिभुज हैं
(A) समद्विबाहु परंतु सर्वांगसम नहीं (B) समद्विबाहु और सर्वांगसम
(C) सर्वांगसम परंतु समद्विबाहु नहीं (D) न तो सर्वांगसम और न ही समद्विबाहु
11. त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = FD तथा ∠A = ∠D है। दोनों त्रिभुज SAS अभिगृहीत से सर्वांगसम होंगे, यदि
(A) BC = EF (B) AC = DE (C) AC = EF (D) BC = DE
(C) तर्क के साथ संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : दो त्रिभुजों ABC और DEF में, AB = DE और AC = EF है। दोनों त्रिभुजों में से दो कोणों के नाम बताइए जो बराबर होने चाहिए, ताकि ये दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हों। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल : वांछित दोनों कोण ∠A और ∠E हैं। जब ∠A = ∠E है, तो SAS कसौटी से ∆ABC ≅ ∆ EDF है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : त्रिभुजों ABC और DEF में, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E और AB = EF है। क्या दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
हल : दोनों त्रिभुजों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है क्योंकि AB और EF दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएं नहीं हैं।
प्रश्नावली 7.2
1. त्रिभुजों ABC और PQR में, ∠A = ∠Q और ∠B = ∠R है। ∆ PQR की कौन सी भुजा ∆ ABC की भुजा AB के बराबर होनी चाहिए कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हों? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
2. त्रिभुजों ABC और PQR में, ∠A = ∠Q और ∠B = ∠R है। ∆ PQR की कौन-सी भुजा ∆ ABC की भुजा BC के बराबर होनी चाहिए कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम हों? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
3. “यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएं और एक कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और एक कोण
के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।” क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
4. “यदि किसी त्रिभुज के दो कोण और एक भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोण और एक भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज अवश्य ही सर्वांगसम होने चाहिए।” क्या यह कथन सत्य है? क्यों?
5. क्या भुजाओं की लंबाइयां 4 cm, 3 cm और 7 cm लेकर किसी त्रिभुज की रचना की जा सकती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
6. ∆ ABC ≅ ∆ RPQ दिया हुआ है। क्या यह कहना सत्य है कि BC = QR है? क्यों?
7. यदि ∆ PQR ≅ ∆ EDF है, तो क्या यह कहना सत्य है कि PR = EF है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
8. ∆ PQR में, ∠P = 70° और ∠R = 30° है। इस त्रिभुज की कौन-सी भुजा सबसे लंबी है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
9. AD किसी त्रिभुज ABC की एक माध्यिका है। क्या यह कहना सत्य है कि AB + BC + CA > 2 AD है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
10. M किसी त्रिभुज ABC की भुजा BC पर स्थित एक बिंदु ऐसा है कि AM कोण BAC का समद्विभाजक है। क्या यह कहना सत्य है कि त्रिभुज का परिमाप 2 AM से अधिक है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
11. क्या भुजाओं की लंबाइयां 9 cm, 7 cm और 17 cm लेकर किसी त्रिभुज की रचना की जा सकती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
12. क्या भुजाओं की लंबाइयां 8 cm, 7 cm और 4 cm लेकर किसी त्रिभुज की रचना की जा सकती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
(D) संक्षिप्त उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1 : आकृति 7.1 में, PQ = PR और ∠Q = ∠R है। सिद्ध कीजिए कि ∆ PQS ≅ ∆ PRT है।
हल : ∆ PQS और ∆ PRT में,
PQ = PR (दिया है)
∠Q = ∠R (दिया है)
तथा ∠QPS = ∠RPT (एक ही कोण)
अतः, ∆ PQS ≅ ∆ PRT (ASA)
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : आकृति 7.2 में, दो रेखाएं AB और CD परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद इस प्रकार करती हैं कि BC || DA और BC = DA है। दर्शाइए कि बिंदु O दोनों ही रेखाखंडों AB और CD का मध्य-बिंदु है।
हल : BC || AD (दिया है)
अतः, ∠CBO = ∠DAO (एकांतर अंतःकोण)
और ∠BCO = ∠ADO (एकांतर अंतःकोण)
साथ ही, BC = DA (दिया है)
इसलिए, ∆ BOC ≅ ∆ AOD (ASA)
अतः, OB = OA और OC = OD है, अर्थात् O दोनों रेखाखंडों AB और CD का मध्य-बिंदु है।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : आकृति 7.3 में, PQ > PR है तथा QS तथा RS क्रमशः ∠Q और ∠R के समद्विभाजक हैं। दर्शाइए कि SQ > SR है।
हल : PQ > PR (दिया है)
इसलिए, ∠R > ∠Q (लंबी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है।)
अतः, ∠SRQ > ∠SQR (प्रत्येक कोण का आध)
अतः, SQ > SR (बड़े कोण की सम्मुख भुजा लंबी होगी।)
प्रश्नावली 7.3
1. ABC समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा BD और CE इसकी दो माध्यिकाएं हैं। दर्शाइए कि BD = CE है।
2. आकृति 7.4 में, D और E त्रिभुज ABC की भुजा BC पर दो बिंदु इस प्रकार स्थित हैं कि BD = CE औरAD = AE है। दर्शाइए कि ∆ ABD ≅ ∆ ACE है।
3. CDE एक वर्ग ABCD की भुजा CD पर बना एक समबाहु त्रिभुज है (आकृति 7.5)। दर्शाइए कि ∆ADE ≅ ∆ BCE है।
4. आकृति 7.6 में, BA ⊥AC और DE ⊥ DF इस प्रकार हैं कि BA = DE और BF = EC है। दर्शाइए कि ∆ ABC ≅ ∆ DEF है।
5. एक ∆ PSR की भुजा SR पर एक बिंदु Q इस प्रकार स्थित है कि PQ = PR है। सिद्ध कीजिए कि PS > PQ है।
6. ∆ PQR की भुजा QR पर S कोई बिंदु स्थित है। दर्शाइए कि PQ + QR + RP > 2 PS है।
7. AB = AC वाले एक ∆ ABC की भुजा, AC पर D कोई बिंदु स्थित है। दर्शाइए कि CD < BD है।
8. आकृति 7.7 में, l || m है तथा M रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि M किसी भी रेखाखंड CD का मध्य-बिंदु है जिसके अंतःबिंदु क्रमशः l और m पर स्थित हैं।
9. AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। BO को एक बिंदु M तक बढ़ाया जाता है। सिद्ध कीजिए कि ∠MOC = ∠ABC है।
10. AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों B और C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि ∠ABC के आसन्न एक बहिष्कोण ∠BOC के बराबर है।
11. आकृति 7.8 में, AD कोण BAC का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB > BD है।
(E) दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
प्रतिदर्श प्रश्न 1: आकृति 7.9 में, ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण B समकोण इस प्रकार है कि ∠BCA = 2 ∠BAC है। दर्शाइए कि कर्ण AC = 2 BC है।
प्रतिदर्श प्रश्न 2 : सिद्ध कीजिए कि यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज के दो कोण और उनकी अंतर्गत भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और उनकी अंतर्गत भुजा के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
हल : कक्षा IX की गणित पाठ्यपुस्तक की प्रमेय 7.1 की उपपत्ति देखिए।
प्रतिदर्श प्रश्न 3 : यदि एक त्रिभुज के किसी कोण का समद्विभाजक उसकी सम्मुख भुजा को भी समद्विभाजित करे, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समद्विबाहु होगा।
प्रतिदर्श प्रश्न 4 : S किसी त्रिभुज ∆ PQR के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि SQ + SR < PQ + PR है।
हल : QS को PR से T पर प्रतिच्छेद करने के लिए बढ़ाइए (देखिए आकृति 7.11)।
∆ PQT से, हमें प्राप्त होता हैः PQ + PT > QT (किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है)
अर्थात्, PQ + PT > SQ + ST (1)
∆ TSR से, हमें प्राप्त होता हैः ST + TR > SR (2)
(1) और (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता हैः PQ + PT + ST + TR > SQ + ST + SR
अर्थात्, PQ + PT + TR > SQ + SR
अर्थात्, PQ + PR > SQ + SR
या SQ + SR < PQ + PR
प्रश्नावली 7.4
1. एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
2. एक समतल दर्पण LM के सम्मुख स्थित बिंदु A पर रखी किसी वस्तु का प्रतिबिम्ब एक प्रेक्षक D से बिंदु B पर देखता है, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है। सिद्ध कीजिए कि यह प्रतिबिम्ब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर है जितनी दूरी पर वह वस्तु दर्पण के सम्मुख है।
[संकेत : CN दर्पण पर अभिलंब है। साथ ही, आपतन कोण = परावर्तन कोण।]
3. AB = AC वाला ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा D भुजा BC पर इस प्रकार स्थित है कि AD ⊥ BC है (आकृति 7.13)। ∠BAD = ∠CAD सिद्ध करने के लिए, किसी विद्यार्थी ने निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाईः ∆ ABD और ∆ ACD में, AB = AC (दिया है) ∠B = ∠C (क्योंकि AB = AC) तथा ∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक 90°) अतः, ∆ ABD ≅ ∆ ACD (AAS) इसलिए, ∠BAD = ∠CAD (CPCT) उपरोक्त तर्कणों में क्या कमी है?
[संकेत : याद कीजिए कि जब AB = AC हो, तो ∠B = ∠C को कैसे सिद्ध किया जाता है।]
4. P कोण ABC के समद्विभाजक पर स्थित कोई बिंदु है। यदि P से होकर BA के समांतर खींची गई रेखा BC से Q पर मिलती है, तो सिद्ध कीजिए कि BPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
5. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = BC और AD = CD है। दर्शाइए कि BD दोनों कोणों ABC और ADC को समद्विभाजित करता है।
6. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। ∠A का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। सिद्ध कीजिए कि BC = 2 AD है।
7. O एक वर्ग ABCD के अभ्यंतर में स्थित बिंदु इस प्रकार है कि OAB एक समबाहु त्रिभुज है। सिद्ध कीजिए कि ∆ OCD एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
8. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि बिंदु A और D आधार BC के विपरीत ओर स्थित हैं, AB = AC और DB = DC है। दर्शाइए कि AD रेखाखंड BC का लंब समद्विभाजक है।
9. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AC = BC है। AD और BE क्रमशः BC और AC पर शीर्षलंब हैं। सिद्ध कीजिए कि AE = BD है।
10. सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा की संगत माध्यिका के दोगुने से बड़ा होता है।
11. दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA < 2 (BD + AC) होता है।
12. दर्शाइए कि एक चतुर्भुज ABCD में, AB + BC + CD + DA > AC + BD होता है।
13. एक त्रिभुज ABC में, D भुजा AC का मध्य-बिंदु है ताकि BD = 1/2 AC है। दर्शाइए कि ∠ABC एक समकोण है।
14. एक समकोण त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि कर्ण के मध्य-बिंदु को उसके सम्मुख शीर्ष से मिलाने वाला रेखाखंड कर्ण का आधा होता है।
15. दो रेखाएं l और m बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं तथा P बिंदु O से होकर जाने वाली रेखा n पर स्थित कोई बिंदु इस प्रकार है कि P रेखाओं l और m से समदूरस्थ है। सिद्ध कीजिए कि n रेखाओं l और m के बीच बनने वाले कोण का समद्विभाजक है।
16. एक समलंब ABCD की क्रमशः समांतर भुजाओं AB और DC के मध्य-बिंदुओं M और N को मिलाने वाला रेखाखंड दोनों भुजाओं AB और DC पर लंब है। सिद्ध कीजिए कि AD = BC है।
17. ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि विकर्ण AC दोनों कोणों A और C का समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि AB = AD और CB = CD है।
18. ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है तथा ∠C का समद्विभाजक भुजा AB को D पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि AC + AD = BC है।
19. AB और CD क्रमशः एक चतुर्भुज ABCD की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएं हैं। ∠B और ∠D में से निश्चित कीजिए कि कौन बड़ा है।
20. सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज को छोड़कर, किसी त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा का सम्मुख कोण एक समकोण के 2/3 भाग से बड़ा होता है।
21. ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AB = AD और CB = CD है। सिद्ध कीजिए कि AC, BD का लंब समद्विभाजक है।
कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज
यूनिट 7 त्रिभुज के उत्तर यहां से प्राप्त करें।
प्रश्नावली 7.1
1. (C)
2. (B)
3. (B)
4. (C)
5. (A)
6. (B)
7. (B)
8. (D)
9. (B)
10. (A)
11. (B)
प्रश्नावली 7.2
1. QR; ये ASA द्वारा सर्वांगसम होंगे।
2. RP; ये AAS द्वारा सर्वांगसम होंगे।
3. नहीं; कोण अंतर्गत कोण होने चाहिए।
4. नहीं; भुजाएं संगत भुजाएं होनी चाहिए।
5. नहीं; दो भुजाओं का योग = तीसरी भुजा।
6. नहीं; BC = PQ
7. हां; ये संगत भुजाएं हैं।
8. PR; बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।
9. हां; AB + BD > AD और AC + CD > AD
10. हां; AB + BM > AM और AC + CM > AM
11. नहीं; दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से कम है।
12. हां; क्योंकि प्रत्येक स्थिति में, दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
प्रश्नावली 7.4
1. 60°, 60°, 60°
3. इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए ∠ABD = ∠ACD का प्रयोग गलत है।
19. ∠B बड़ा होगा।
इस पेज पर दिए गए कक्षा 9 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न उत्तर – त्रिभुज की सहायता से छात्रों की तैयारी अच्छे तरीके से हो सकती है। परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने के लिए और अपनी तैयारी सुदृढ़ तरीके से करने के लिए छात्र इस पेज पर दिए गए महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तरों को देख सकते हैं।
